放縮構造巧擬合 數(shù)形互助見本質
——例談放縮法在函數(shù)擬合中的應用

孫杭哲, 孫波英

(慈溪中學,浙江 慈溪 315300)

在2023年3月的寧波十校聯(lián)考和4月的寧波二模考試中,都出現(xiàn)了零點大小關系的相關問題.寧波十校聯(lián)考中的壓軸題以極其“詭異”的形式難倒了一眾學生,又以簡約、質樸無華的解法驚艷了所有人.驚嘆、贊賞之余,筆者仔細揣摩,似乎洞察出此題的核心,擬從不同視角對這一試題進行多元分析,以此猜想參考答案的由來以及函數(shù)擬合與不等式放縮的內在聯(lián)系,彰顯數(shù)學思想在解題中的引領作用,并談談筆者對于今后導數(shù)復習備考的一點看法與建議.

例1已知函數(shù)f(x)=|x-1|ex和g(x)=a|x|的圖象共有3個不同的交點,并且它們的橫坐標從左到右依次記為x1,x2,x3.

1)求實數(shù)a的取值范圍;

2)求證:2x3-x2+x1<2a.

(2023年浙江省寧波市十校聯(lián)考數(shù)學試題第22題)

1 解題預備

例1和后文的例2解題中要用到的經典放縮式如下(可作為二級結論):

1)ex≥x+1.

2)ex≥ex.

本文僅對例1第2)小題重點分析,為便于后文的分析,先對第1)小題進行解答.

1)解顯然,xi≠0,其中i=1,2,3,則

根據(jù)趨勢分析可得函數(shù)h(x)的圖象如圖1所示,故a>0,且x1<0

圖1

2 解法分析

以下重點對第2)小題進行分析:

待證不等式雖為三元,但變量間彼此關聯(lián).比較自然的想法是對其進行拆分,化歸為熟悉的類型.拆分的方式分為兩種:1)x1+x2+2(x3-x2)<2a;2)(x3-x2)+x1+x3<2a.利用對稱構造法不難得到x1+x2<0,證明的重點在于x3-x2

思路1結合函數(shù)圖象,該函數(shù)為下凸函數(shù),在其外側必定存在兩條切線可以把它“包住”,并且由此得到的兩個零點很容易解出,以此為橋梁即可得證.

圖2

該切線放縮的本質即ex≥ex.

由此可見,切線放縮只不過是線性擬合的一種,在一定程度上會將不等式變緊,但能得到降低證明難度的效果.解題時可根據(jù)需要選擇特定的直線,而不應局限于“切線”.值得注意的是,割線擬合也是一種線性擬合手段.

思路2思路1利用ex≥ex進行放縮,然而ex≥x+1更為常見,能否仿照思路1求解呢?

則

函數(shù)的大致圖象如圖3所示,故|x2-x3|<|x4-x5|=a.

圖3

這就是參考答案給出的解法:

從而

2x3-x2+x1<2a.

對上述解法進行優(yōu)化,即得解法3:

即

兩式相加,得

x1+x3

同理可得

兩式相加,得

x3-x2

從而

2x3-x2+x1<2a.

事實上,解法2和解法3殊途同歸.

3 拓展延伸

探究問題往往比得到答案更有價值.答案的作用是在苦苦思索與探究無果之后,提供一種可能的思路.但答案的負面作用也很明顯——它會大大限制你的思維.因此,從答案中汲取經驗,為今后的解題服務,這才是答案的價值.

此題的參考答案從一定程度上解釋了可利用“函數(shù)擬合”方法解題的原因.無論是零點差還是零點和、零點積,其實都是在研究函數(shù)零點之間的大小關系.如果零點可以解出,那么就轉化為不等式進行求證.但大多數(shù)情況下,由于ex,lnx等元素的存在,方程往往是超越方程,不可解.可以嘗試使用其他函數(shù)來逼近它,由此得到零點的大小關系.這在幾何上是函數(shù)擬合(函數(shù)逼近);在代數(shù)上,是解不等式、解方程.

泰勒擬合是函數(shù)擬合的一種常用方法,即利用待定系數(shù)法在極值點處用二次函數(shù)、對勾函數(shù)擬合.但此方法有時精度不夠,局限性較強.例1提供了另一種對學生而言切實可行的操作方案——利用熟知不等式進行放縮、擬合.下面再通過例2對此方法進行深入分析.

(2023年浙江省寧波市高三數(shù)學第二次模擬試題第22題)

圖4

lnm1+lnm2>1+ln(2a).

因為

lnx-ax2=0,

即

lnx2-2ax2=0,

所以

lnm-m-ln 2a=0,

于是只需證m1+m2>1-ln(2a).考慮使用

代入擬合即可(下略).

評注上述兩種解法都用到了同一個不等式,參考答案中使用的對數(shù)均值不等式其實也來源于此.只要找到命題時的“母函數(shù)”,各種方法都可以信手拈來.

3 總結

本文從例1的自然解法入手,從切線擬合到雙曲擬合,從特殊的切線到一般的放縮式,并由此拓展介紹了函數(shù)擬合在解決零點大小相關問題時的多角度應用.

零點和、差、積、商問題中必定存在等式,其實質是利用等式證明不等式,“放縮式”溝通了“等”與“不等”,在超越式與有理式之間架起了橋梁.導數(shù)的本質在于“于細微處化曲為直”,函數(shù)擬合思想的重要性可見一斑.同時,換元思想對于簡化問題起著重要作用,通過換元法構建新的不等式是一種常用方法.解題時可根據(jù)需要對函數(shù)進行平移、伸縮變換.

在新高考的背景下,回歸本質成為復習備考的重中之重.在教材中,對于函數(shù)逼近留下了不少可圈可點的試題.在教學中,教師應利用已有習題、深挖內涵,向學生灌輸這一思想.作為學生,養(yǎng)成畫圖意識十分重要.數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微,一個個的放縮式并不是孤立的代數(shù)式,而是有其深刻的幾何內涵.如果將二者割裂,那么無疑是囫圇吞棗,不得要領.

本文旨在揭示一類零點范圍問題的本質,并提供一種命題的思路.但函數(shù)擬合對于高等數(shù)學知識有限的高中生而言并非是一種通法.命題手段是唯一的,但解題方法是多元的,目光不應禁錮于此.