邏輯推理是打開數(shù)學(xué)解題之門的鑰匙
——以一道模擬考試題的講評為例

李金蛟

(常州市第一中學(xué),江蘇 常州 213000)

1 教學(xué)困擾

隨著課程改革的深入和高考命題指導(dǎo)思想的調(diào)整[1],數(shù)學(xué)高考命題的方向和難度有了明顯的變化,特別是高考壓軸題,由于其內(nèi)容的綜合性、方法的非典型性、思維的深刻性、思路的隱蔽性,學(xué)生普遍反映想不到解題方法,甚至有的教師看了標(biāo)準(zhǔn)答案后也不知如何講清解題的思路,更不用說如何利用它提升學(xué)生的解題能力.數(shù)學(xué)題目是無限的,課堂上教師講解的題目和學(xué)生練習(xí)的題目都是有限的,如何以有限的題目去應(yīng)對無限的挑戰(zhàn)呢?新課程背景下師生對數(shù)學(xué)解題課堂教學(xué)水平有了更高的追求,希望不但“知其然”而且“知其所以然”,了解數(shù)學(xué)解題中更多確定的、規(guī)范性的要素,掌握尋找解題方向的常見路徑,因此目前普遍運(yùn)用的題型識別教學(xué)已越來越不能滿足學(xué)生和高考的需求.

筆者認(rèn)為解決以上困擾的關(guān)鍵是在指導(dǎo)學(xué)生掌握尋找解題方向的常見路徑的基礎(chǔ)上,以“題眼”為起點(diǎn)運(yùn)用邏輯推理尋找到達(dá)結(jié)論的路徑,或以“模型”為“子目標(biāo)”運(yùn)用邏輯推理探索由條件變形為“模型”的路徑,從而確定解題方向,并為師生的解法提出合理的、清晰的“辯護(hù)”,從而在“辯護(hù)”中展示自己的思維過程,提高學(xué)生的解題能力[2].筆者以一道?？碱}為例進(jìn)行了設(shè)計(jì)和教學(xué)試驗(yàn),學(xué)生反響強(qiáng)烈,尋找解題方向的思路更明確了,確定函數(shù)值為相應(yīng)符號點(diǎn)的方法更精確了,在后續(xù)考試中相關(guān)題目的得分率顯著提高.

2 教學(xué)實(shí)錄

例1已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=xlna-alnx+(x-e)2,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．

1)當(dāng)a=e時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

2)求證:f(x)存在極值點(diǎn)x0,并求x0的最小值．

(2022年江蘇省蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江四市一模數(shù)學(xué)試卷第22題)

2.1 尋找解題方向路徑1:觀察“題眼”,“順藤摸瓜”

師:第1)小題比較簡單,大家做得很好,老師就只提一個問題:為什么求當(dāng)a=e時,函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,而不是求a取其他值時函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,這里體現(xiàn)了命題者怎樣的考量呢?

生1:因?yàn)閑是特殊值,所以當(dāng)a=e時,f(x)中相應(yīng)的系數(shù)值好求!

師:e是特殊值,而當(dāng)a=1時,f(x)中相應(yīng)的系數(shù)值更好求啊,是否還體現(xiàn)在其他方面?

生2:f(x)中對數(shù)函數(shù)及對數(shù)式中的底數(shù)是e.

師:為什么題目條件中,函數(shù)f(x)=xlna-alnx+(x-e)2中的(x-e)2沒有按常規(guī)展開?

生3:命題者釋放了“善意”:x=e是f(x)=xlna-alnx+(x-e)2的零點(diǎn),即f(e)=0.

生4:在對f(x)求導(dǎo)后的式子中應(yīng)保留括號,即對(x-e)2整體求導(dǎo),得

這樣容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=e時,x=e也是f′(x)的零點(diǎn).

生5:老師,我找到求解方向了!令f′(x)=g(x),則

從而f′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).又

當(dāng)a∈(0,e)時,h′(a)>0,h(a)單調(diào)遞增;當(dāng)a∈(e,+∞)時,h′(a)<0,h(a)單調(diào)遞減.因此,當(dāng)a=e時,

[h(a)]max=h(e)=0,

即

f′(e)≤0.

我只能做到這里,下面就做不下去了.

師:我們知道,解題的本質(zhì)就是在條件和結(jié)論之間架起連通的橋梁.前面我們從條件出發(fā),其實(shí)也可以從結(jié)論向條件前進(jìn),只要二者在某處相遇即可.如何才能證明f(x)存在極值點(diǎn)x0呢?

生6:只要證明f′(x)存在零點(diǎn),通常的思路是運(yùn)用零點(diǎn)存在定理,即在某個區(qū)間內(nèi)找到兩點(diǎn),使f′(x)的值異號.現(xiàn)在我們已經(jīng)得到f′(e)≤0,那么只要找到一個x1,使得f′(x1)≥0就行了,但這個x1我不會找.

這里不等式u(x)>0是易求解的不等式就好了.

師:說得很好!但如何找到相應(yīng)的不等式u(x)>0呢?觀察函數(shù)

含x的式子只有兩項(xiàng),將其中哪一項(xiàng)進(jìn)行放縮呢?放縮后得到的不等式容易求解嗎?

生8:因?yàn)閤>e,所以

只需取

就滿足f′(x1)≥0.由前面知f′(e)≤0和零點(diǎn)存在定理可得:存在x0∈[e,x1),使得f′(x0)=0,且當(dāng)a=e時,x0=e,故x0的最小值為e.

師:生8完全正確.誰能總結(jié)一下前面的解題思路?

生9:第一步,依據(jù)在審題時捕捉命題者釋放出來的“善意”,發(fā)現(xiàn)x=e是此題的特殊值,它不僅是f(x)=xlna-alnx+(x-e)2的零點(diǎn),且滿足f′(e)≤0,因此是此題的“題眼”;第二步,根據(jù)x>e,對f′(x)進(jìn)行放縮得到

f′(x)>u(x)≥0,

其中不等式u(x)≥0是容易求解的不等式,找出它的一個解,再運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可證得存在x0.

師:總結(jié)得非常好!求解導(dǎo)數(shù)壓軸題的一個切入口就是捕捉命題者釋放出來的善意,尋找“題眼”指引方向,依據(jù)解題子目標(biāo):容易求解的不等式u(x)≥0,“精確”放縮確定“點(diǎn)位”.此題為什么是縮小,而不是放大呢?何時是放大呢?

生10:此題的任務(wù)是找到一個x1,使得f′(x1)≥0,因此可將f′(x1)縮小;如果找到一個x1,使得f′(x1)≤0,那么就應(yīng)將f′(x1)放大.

師:放縮的方法可能不止一種,但要放縮適度,保證所得到的新不等式的解能滿足原來的不等式.

評注俗話說“無巧不成書”,許多數(shù)學(xué)題的條件(或結(jié)論)有其區(qū)別于其他題目的內(nèi)部特殊結(jié)構(gòu)或特征.若能找到它的特殊性,則有助于我們發(fā)現(xiàn)珍藏解題思路寶庫的窗戶.數(shù)學(xué)題是人來命制的,因此題目或明或暗地體現(xiàn)了命題者的意圖與設(shè)想,尋找命題者留下的編制“痕跡”與“破綻”,如x=e就是命題者留下來的“破綻”,也是了解題目信息的窗口,更是此題的突破口,因此稱其為“題眼”.從“題眼”入手,既可窺一斑而見全豹,理解把握題目的本質(zhì),又可盡快領(lǐng)悟命題者的意圖,感受其內(nèi)心思維活動或釋放出來的“善意”.因此,本方法的關(guān)鍵是先尋找到“題眼”,并以此為推理的起點(diǎn),尋找解題方向,再“精確”放縮鎖定“點(diǎn)位”.

2.2 尋找解題方向路徑2:心有“模型”,“推理成真”

師:證明函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)的常規(guī)思路(或模型)是什么?

生11:要證明f(x)存在極值點(diǎn),即證明f′(x)存在零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)異號,因此先求

而f′(x)是關(guān)于x的分式,且定義域?yàn)?0,+∞),故只需考慮分子對應(yīng)的二次函數(shù):令

t(x)=2x2+(lna-2e)x-a=0,

x1<0

令x0=x2,f(x)的單調(diào)性如表1所示:

表1 f (x)的單調(diào)性

下面用換元法求導(dǎo)證明x0的最小值為e即可,此方法有點(diǎn)煩瑣,但我不知道怎么改進(jìn).

師:每一道數(shù)學(xué)題目的解題方法可能不一樣,但思考的基本方向主要有兩個,即“形”和“數(shù)”.我們先從“形”的方向來考慮改進(jìn),哪位同學(xué)能給出思路?

師:哪位同學(xué)能從“數(shù)”的方向考慮改進(jìn)?

下面的任務(wù)就是消去參數(shù)a,而且我們想要得到的是一個含有“≥”的不等式,就是要求右邊式子a-x0lna對應(yīng)函數(shù)的最值.記u(t)=t-x0lnt,可求得u(t)的最小值為

u(x0)=x0-x0lnx0,

從而

即

又因?yàn)閤0>0,所以

2x0+lnx0-(2e+1)≥0.

設(shè)v(t)=2t+lnt-(2e+1),可證得v(t)正是我們要尋找的函數(shù).

評注歸納并構(gòu)建解題模型是由實(shí)踐形成認(rèn)識的過程,是用有限道題目的講解去應(yīng)對考試命題中無窮道備選題的重要手段,更是數(shù)學(xué)思想方法形成的基礎(chǔ)和中間階段.解題中以歸納好的常見解題模型為解題子目標(biāo),如同下棋用棋譜作為目標(biāo)牽引一樣,有利于提升學(xué)生觀察和思考的視野,讓學(xué)生在更高的平臺上思考問題,有預(yù)見地、主動地、明確地進(jìn)行解題方法設(shè)計(jì),以已有模型為目標(biāo)借助邏輯推理、猜想等手段探索解題的思路,形成高質(zhì)量的解題范式,快速提高學(xué)生的解題能力,為學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想提供有力的支撐.因此,選擇適當(dāng)?shù)摹澳Ｐ汀睘橥评淼摹敖K點(diǎn)”,引導(dǎo)我們探索“思路”,既是認(rèn)識指導(dǎo)實(shí)踐的過程,也是提升學(xué)生邏輯推理能力的過程.

3 教后反思

數(shù)學(xué)解題是解題者自己再發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造的過程,其解法的獲得過程是內(nèi)隱的、混沌的、模糊的,甚至是偶然的,常依賴解題者個人解題經(jīng)驗(yàn)的積累.而要提高學(xué)生的解題能力,就要在解題教學(xué)中探尋自然的、平常的解法產(chǎn)生路徑,從而暴露解題者的思維過程,明確解題方向的規(guī)律,以便讓所有的學(xué)生都有機(jī)會學(xué)會解題.

本節(jié)課嘗試尋找兩條解題方向路徑:一是從題目本身特征出發(fā).因?yàn)閿?shù)學(xué)題是世界文化藝術(shù)精品,是人類對自然認(rèn)識的表達(dá),對題目條件與結(jié)論的設(shè)置體現(xiàn)了命題者對數(shù)學(xué)的整體理解和感悟,并蘊(yùn)藏在“題眼”中,因此我們借助邏輯推理的力量理解題意,就能透過“題眼”“看穿”命題者的意圖,提升學(xué)生對題目解題方向的感知和預(yù)判能力,順利找到題目的解法.二是以平常積累的題型為基礎(chǔ).如同圍棋機(jī)器人“阿爾法”一樣,搜尋與求解的題目匹配的目標(biāo)模型,借助邏輯推理的力量揭開籠罩在數(shù)學(xué)問題上的神秘面紗,依據(jù)數(shù)學(xué)的知識對解題的方法、方向進(jìn)行判斷、選擇,尋找題目條件與結(jié)論之間的邏輯聯(lián)系或轉(zhuǎn)化軌跡,把題型作為指引解題方向的“燈塔”,以題型特征為牽引向目標(biāo)逐漸靠近,在推理的過程中讓學(xué)生看清問題的本質(zhì),讓學(xué)生的思考有章可循并不斷深化,感悟數(shù)學(xué)思想方法的精髓,提升學(xué)生解題的化歸能力和思維品質(zhì),提高學(xué)生獨(dú)立思考的思維能力,實(shí)現(xiàn)快速解題的目的[3].

要讓學(xué)生學(xué)會解題,就要暴露解題者的思維過程,就需要借助邏輯推理的力量為解法尋找合理、清晰的“辯護(hù)”,因此邏輯推理是打開數(shù)學(xué)解題之門的鑰匙.