學(xué)生觀察能力在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

高健 謝徽 賈旋

[摘? 要] 數(shù)學(xué)解題中的觀察能力強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)觀察，把握問(wèn)題本質(zhì)，探尋解題規(guī)律.將觀察能力應(yīng)用在高中解題中，有利于增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題解決意識(shí)，提高教師的解題教學(xué)水平.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué);觀察能力;注意點(diǎn)

引言

心理學(xué)家巴甫洛夫曾在自己的實(shí)驗(yàn)室里貼著“觀察、觀察、再觀察”的標(biāo)語(yǔ)，正是這種“善于觀察”的技能使巴甫洛夫在心理學(xué)界取得了偉大的成就[1]. 觀察是學(xué)生解決問(wèn)題的突破口，是學(xué)生有效解題的重要途徑.觀察法作為一種重要的學(xué)習(xí)方法，貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程. 有效的觀察能力不僅可以幫助學(xué)生快速發(fā)現(xiàn)問(wèn)題特點(diǎn)、尋找問(wèn)題突破口，還能促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高解題效率. 因此，本文重點(diǎn)闡述學(xué)生的觀察能力在數(shù)學(xué)解題中的意義、價(jià)值和應(yīng)用，以及解題教學(xué)的注意點(diǎn)，旨在增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力，確保師生雙邊互動(dòng)的解題教學(xué)活動(dòng)有活力、有效率、有價(jià)值.

學(xué)生的觀察能力在數(shù)學(xué)解題中的意義、價(jià)值

1. 明確解題思路，把握問(wèn)題本質(zhì)

“觀察”意在全方位地考察事物的形態(tài)，明確事物的特征，這種方式不僅為人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題提供了重要的基礎(chǔ)和前提，而且是增強(qiáng)學(xué)生問(wèn)題解決意識(shí)、幫助學(xué)生把握問(wèn)題本質(zhì)的應(yīng)有之義[2]. 在數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生通過(guò)觀察已知量與未知量之間的關(guān)系、明確條件與問(wèn)題之間的內(nèi)在聯(lián)系，探尋問(wèn)題解決的突破口，厘清解題思路，在題干隱含的眾多信息中尋找有價(jià)值的關(guān)鍵因素，篩選最佳的解題途徑和方法，以“問(wèn)題解決”為目的，把握問(wèn)題本質(zhì)，提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果. 因此，教師應(yīng)該有意識(shí)、有目的，創(chuàng)新引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的特點(diǎn)和規(guī)律，使學(xué)生把握問(wèn)題本質(zhì)、領(lǐng)悟知識(shí)內(nèi)涵.

2. 轉(zhuǎn)變思維方式，促進(jìn)解法創(chuàng)新

處處留心皆學(xué)問(wèn)，敢于觀察、善于觀察、精于觀察的一個(gè)人，既有助于自己在所從事的研究和職業(yè)上越走越遠(yuǎn)，又有利于自己防止半途而廢情況的頻頻發(fā)生. 相反，如果一個(gè)人只是蒙頭研究，對(duì)周?chē)娜?、事物視而不?jiàn)，那么他的精神世界必定充滿(mǎn)空虛與茫然，猶如井底之蛙，只限于自己狹窄的眼光和視角看待問(wèn)題，不去觀察、不去思考、不去鉆研，難以有所創(chuàng)新，最終只會(huì)無(wú)所成就[3]. 一道高中數(shù)學(xué)題考查的知識(shí)點(diǎn)往往不是單一的，而是多種知識(shí)點(diǎn)相互交叉、相互聯(lián)系，促使其解法也是多種多樣的. 此時(shí)，學(xué)生有效的觀察能力便是解決問(wèn)題的重要法寶，在觀察中轉(zhuǎn)變思考方式，在探索中更新陳舊思維，進(jìn)而促進(jìn)解法創(chuàng)新.

3. 落實(shí)教育價(jià)值，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

蘇霍姆林斯基曾說(shuō)：“如果說(shuō)，復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)之母，那么，觀察就是知識(shí)的理解和記憶之母.”[4]解題教學(xué)的表層目標(biāo)是促使學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和提升學(xué)生的解題技能，深層目標(biāo)是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶、突出數(shù)學(xué)的教育價(jià)值和意義. 同時(shí)，教學(xué)目標(biāo)的呈現(xiàn)與落實(shí)，需要以“問(wèn)題”為指向、以“情境”為載體，無(wú)論是課堂教學(xué)還是解題練習(xí)，以問(wèn)題情境為航標(biāo)更有利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、教育意義的落實(shí)[5]. 近些年，高考試題越來(lái)越注重問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，以情境為背景激發(fā)學(xué)生的解題興趣，以問(wèn)題為載體培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，最終凸顯數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值與實(shí)用意義，在觀察能力的培養(yǎng)中潛移默化地向?qū)W生滲透教育本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

學(xué)生的觀察能力在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1. 局部觀察——改變思維方式

整體與局部是兩個(gè)相對(duì)立的概念，但兩者互有聯(lián)系、不可分割. 在數(shù)學(xué)解題中，局部觀察法不失為一個(gè)簡(jiǎn)捷易操作的重要方法，被學(xué)生廣泛使用. 但大部分學(xué)生使用時(shí)難以把握問(wèn)題的本質(zhì)，對(duì)題目的理解深度有所欠缺. 因此，需要教師不斷啟發(fā)和引導(dǎo)，以問(wèn)題鏈的方式與學(xué)生進(jìn)行有效互動(dòng)，幫助學(xué)生挖掘題目中的隱含信息，進(jìn)而找到問(wèn)題解決的切入點(diǎn)和突破口，明確解題思路，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì).

例1 設(shè)變量x，y均為實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=，試求log（x+4y）的值.

分析 此題考查的是函數(shù)定義域以及對(duì)數(shù)函數(shù)求值，如果僅從整體的角度思考該題，那么短時(shí)間內(nèi)難以發(fā)掘有效的解法，因此不妨從局部進(jìn)行觀察. 該題重在求對(duì)數(shù)函數(shù)的值，從問(wèn)題出發(fā)有兩種思路：第一，利用條件分別求出x，y的值;第二，利用整體思想求出x+4y的值. 基于此，回歸到題目所給的已知條件去分析——條件只有實(shí)數(shù)x，y以及兩者所滿(mǎn)足的關(guān)系式，此時(shí)學(xué)生的觀察能力的作用將不言而喻，需要學(xué)生從局部觀察所給的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)該關(guān)系式中隱含著“二次根式的被開(kāi)方數(shù)大于等于0”“分母不能為0”的條件，實(shí)則就是以“函數(shù)”的視角求該關(guān)系式的“定義域”，將定義域求出后問(wèn)題便迎刃而解. 因此，此題中的關(guān)系式是掣肘學(xué)生解決該題的瓶頸，需要學(xué)生善于通過(guò)局部視角進(jìn)行觀察，在觀察中明確出題意圖，在探究中發(fā)現(xiàn)解題突破點(diǎn).

解析 因?yàn)閥=，所以64-x2≥0，

x2-64≥0，

x+8≠0，解得x=8. 將x=8代入y=中，可得y=0. 所以log（x+4y）=log（8+4×0）=log8= -1.

大部分學(xué)生看到此題時(shí)無(wú)從下手，歸結(jié)為兩方面的原因：（1）學(xué)生難以明了此題考查的知識(shí)點(diǎn)以及知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，根據(jù)問(wèn)題只知道求對(duì)數(shù)函數(shù)的值，因此容易陷入“只探究x，y的值而不觀察已知條件”的泥潭中;（2）學(xué)生缺乏觀察能力，看到題目就是一味地思考用什么方法去求解，沒(méi)有形成良好的解題習(xí)慣和數(shù)學(xué)思維. 因此，這也是教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注和解決的問(wèn)題.

2. 變形觀察——簡(jiǎn)化解題操作

基于題目自身的特點(diǎn)以及學(xué)生日常的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于同一道題目，可能有多種不同的解法. 因此，如何引導(dǎo)學(xué)生基于觀察視角采用簡(jiǎn)捷易操作的解法，是教師在解題教學(xué)中需要解決的一個(gè)問(wèn)題. 特別是代數(shù)問(wèn)題，代數(shù)式中所隱含的數(shù)量關(guān)系與結(jié)構(gòu)，需要學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、探究、操作與驗(yàn)證等活動(dòng)，不斷挖掘數(shù)量間深層次的代數(shù)關(guān)系，從而為問(wèn)題解決找到突破口.

例2 已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，求△ABC的最大角度.

分析 將此題放在初中、高中兩個(gè)階段會(huì)出現(xiàn)不同的解法. 若將此題設(shè)置在高中階段的正弦、余弦函數(shù)這一章節(jié)中，大部分學(xué)生會(huì)采用余弦定理求解，這種解法雖然可以得到正確答案，但是未免“小題大做”，不僅操作煩瑣、浪費(fèi)時(shí)間，而且容易使學(xué)生喪失解題的興趣、限制于大量的計(jì)算中. 但是，若將此題設(shè)置在初中階段的勾股定理這一章節(jié)中，大部分學(xué)生通過(guò)觀察，可能更多想到的是尋求△ABC三邊之間的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)52+122=132滿(mǎn)足勾股定理的逆定理，可得△ABC的最大角度為90°.

解析 因?yàn)椤鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為5，12，13，且52+122=132，滿(mǎn)足勾股定理的逆定理，且三角形的內(nèi)角和為180°，所以△ABC的最大角度為90°.

此題難度并不大，利用勾股定理的逆定理很快便能解決. 基于目前數(shù)學(xué)高考試題的特點(diǎn)，利用勾股定理及其逆定理求解不乏是一種最簡(jiǎn)便的方法，然而這種方法不是學(xué)生一眼就能看出來(lái)的，這需要學(xué)生具備細(xì)致的觀察能力和敏銳的數(shù)學(xué)感知力. 通過(guò)觀察數(shù)字、轉(zhuǎn)化操作，找到解題的切入點(diǎn)，當(dāng)再次遇到如“2，，”“2，，3”等勾股數(shù)時(shí)能夠快速找到解決問(wèn)題的方法，提高做題效率.

3. 實(shí)驗(yàn)觀察——?dú)w納問(wèn)題規(guī)律

高中數(shù)學(xué)中的部分題目存在一定的規(guī)律，需要學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、操作、歸納、檢驗(yàn)等進(jìn)行解決. 一般的解題思路是：第一，從簡(jiǎn)單情況入手;第二，合理猜想;第三，歸納概括;第四，總結(jié)驗(yàn)證. 但是，在實(shí)際求解過(guò)程中，大部分學(xué)生遇到規(guī)律性問(wèn)題時(shí)，過(guò)于注重題目本身，只知其然而不知其所以然，難以快速揭露問(wèn)題的本質(zhì)，感覺(jué)題目抽象復(fù)雜，無(wú)從下手. 因此，在此類(lèi)問(wèn)題的求解教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生“善于觀察、合理猜想、學(xué)會(huì)歸納”，以“觀察”帶動(dòng)學(xué)生合理猜想，以“猜想”引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納.

例3 一個(gè)人在一片平整的土地上種蔬菜，現(xiàn)需要將土地進(jìn)行劃分，他發(fā)現(xiàn)在一個(gè)平面上，1條直線(xiàn)可以將平面分成2個(gè)區(qū)域，2條互不平行的直線(xiàn)可以將平面分成4個(gè)區(qū)域，那么3條互不平行且不共點(diǎn)的直線(xiàn)可以將平面分成多少個(gè)區(qū)域？4條？5條？20條？n條呢？（任何3條以上的直線(xiàn)不共點(diǎn)，區(qū)域不需要互相平分）

分析 此題很明顯是一個(gè)探尋規(guī)律的問(wèn)題，需要學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察，不斷猜想歸納、總結(jié)驗(yàn)證，進(jìn)而得出一般的表達(dá)式，實(shí)則也是滲透學(xué)生代數(shù)思維的一種手段. 以一張草稿紙作為一個(gè)平面，在草稿紙上畫(huà)1條直線(xiàn)，很顯然可以將草稿紙分成2個(gè)區(qū)域;在草稿紙上畫(huà)2條互不平行的直線(xiàn)，可以將草稿紙分成4個(gè)區(qū)域;在草稿紙上畫(huà)3條互不平行的直線(xiàn)，可以將草稿紙分成7個(gè)區(qū)域;在草稿紙上畫(huà)4條互不平行的直線(xiàn)，可以將草稿紙分成11個(gè)區(qū)域……通過(guò)歸納總結(jié)，可得n條互不平行的直線(xiàn)可以將平面分成個(gè)區(qū)域. 教師可以把規(guī)律性習(xí)題的探究作為培養(yǎng)學(xué)生觀察能力的手段，注重在歸納總結(jié)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)而體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值和意義.

解析 因?yàn)?條直線(xiàn)可以將平面分成2個(gè)區(qū)域，則標(biāo)為f（1）=2;2條互不平行的直線(xiàn)可以將平面分成4個(gè)區(qū)域，則標(biāo)為f（2）=4;3條互不平行的直線(xiàn)可以將平面分成7個(gè)區(qū)域，則標(biāo)為f（3）=7;4條互不平行的直線(xiàn)可以將平面分成11個(gè)區(qū)域，則標(biāo)為f（4）=11;以此類(lèi)推，可得f（5）=16，f（6）=22，等等.

如圖1所示，可知f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，f（4）-f（3）=4，f（5）-f（4）=5，…，即f（n）-f（n-1）=n. 通過(guò)“疊加法”可得f（n）-f（1）=2+3+4+5+…+n，所以f（n）=2+2+3+4+5+…+n=1+1+2+3+4+5+…+n，所以f（n）=1+=.

解析此題，先引導(dǎo)學(xué)生觀察1條直線(xiàn)、2條互不平行的直線(xiàn)、3條互不平行且不共點(diǎn)的直線(xiàn)劃分平面得到的區(qū)域個(gè)數(shù)，然后以函數(shù)“f（n）”的形式進(jìn)行表述，接著將相鄰兩項(xiàng)相減，利用“疊加法”得到“f（n）-f（1）”的恒等式，最后化簡(jiǎn)求出f（n）的表達(dá)式. 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)、猜測(cè)探究、類(lèi)比歸納、總結(jié)驗(yàn)證，學(xué)生很快獲得解題思路，突破問(wèn)題難點(diǎn)，找到數(shù)與形的規(guī)律，促進(jìn)問(wèn)題的解決. 如果拋棄“觀察”，在草稿紙上畫(huà)直線(xiàn)數(shù)數(shù)，那么會(huì)導(dǎo)致學(xué)生陷入無(wú)止境的畫(huà)圖泥潭中，不僅會(huì)淡化問(wèn)題的本質(zhì)，還會(huì)增加問(wèn)題解決的煩瑣，最終致使學(xué)生喪失問(wèn)題探究的興趣.

解題教學(xué)的注意點(diǎn)

1. 以基礎(chǔ)知識(shí)為基石，觀察與猜想相融合

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的牢固性，確保學(xué)生敏銳、機(jī)智的觀察能力建立在扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)上. 學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)越豐富、基礎(chǔ)知識(shí)越牢固，學(xué)生通過(guò)觀察就更容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的突破口，其猜想也會(huì)更加趨于科學(xué)性、合理性、準(zhǔn)確性. 相反，若學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)、認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)不足，則學(xué)生容易“只看點(diǎn)不看面”“只看問(wèn)題不抓本質(zhì)”“只求答案不學(xué)技巧”. 因此，教師應(yīng)當(dāng)深入了解學(xué)生的知識(shí)水平以及認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生善于觀察、敢于猜想，不斷向問(wèn)題解決的突破口的邊緣趨近.

2. 以發(fā)散思維為方法，觀察與思考相促進(jìn)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，無(wú)論是基于題目自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，還是基于學(xué)生做題的思維習(xí)慣，教師應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生思維發(fā)散的層次性、順序性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在觀察中發(fā)散性地思考，在思考中有針對(duì)性地觀察[6]. 同時(shí)，一道題目通過(guò)觀察，可能有多種不同的解法，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生尋求自身容易理解、容易掌握的方法去解題，不可貪多、貪全，確保學(xué)生將自己最擅長(zhǎng)、感興趣、容易理解和掌握的“一類(lèi)題目的解法”在頭腦中形成清晰穩(wěn)固的圖示，以便后續(xù)遇到類(lèi)似的題目時(shí)，能夠迅速挖掘頭腦中儲(chǔ)存的關(guān)鍵信息，快速輸出和應(yīng)用.

3. 以反思總結(jié)為手段，觀察與概括相依存

近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題卷中所呈現(xiàn)的題目，越來(lái)越區(qū)別于往年題目的特點(diǎn)，“題量大、時(shí)間不夠、學(xué)生難以完成”的感慨越來(lái)越多[7]. 基于此，教師應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)觀察的技巧和方法，摒棄以往只會(huì)掃蕩式地從題目中挖掘與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解題的習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致觀察、合理聯(lián)想、科學(xué)猜想，以“觀察—聯(lián)想—猜想”的思維方式反思每一道習(xí)題[8]，在反思中完善解題方法，在總結(jié)中提升解題技能，不斷彌合以往解題的思維偏差和不良習(xí)慣，將每次的觀察與反思總結(jié)相關(guān)聯(lián)，進(jìn)而減少解題的障礙、思維方式的限定、方法技巧的局限，逐步提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果.

總結(jié)

數(shù)學(xué)解題技能的提升需要以敏銳的觀察能力為前提，而觀察能力的意義和價(jià)值要在數(shù)學(xué)解題中得以落實(shí)和肯定. 因此，教師基于學(xué)生的觀察能力開(kāi)展數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，應(yīng)建立在學(xué)生穩(wěn)固的基礎(chǔ)知識(shí)上、發(fā)散的思維方式和深刻的反思總結(jié)中，鼓勵(lì)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)進(jìn)行觀察，逐步產(chǎn)生創(chuàng)新性的解題思路和方法，幫助學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和科學(xué)意義.

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄭家湘，劉蕓. 數(shù)學(xué)解題教學(xué)中學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)[J]. 濰坊工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，23（05）：102-103+105.

[2] 丁益祥. 解題教學(xué)與觀察能力的培養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1993（11）：20-23.

[3] 夏恒. 觀察能力與數(shù)學(xué)解題[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1988（10）：11-13.

[4] 蘇霍姆林斯基. 給教師的建議[M]. 趙聰，譯. 長(zhǎng)沙：湖南人民出版社，2021.

[5] 趙群，夏小剛，李賢慧. 對(duì)問(wèn)題情境教學(xué)的認(rèn)識(shí)與反思——以“直線(xiàn)與平面垂直的判定”教學(xué)為例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2021（22）：47-50.

[6] 袁如標(biāo). 芻議數(shù)學(xué)觀察能力的培養(yǎng)[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2021（20）：11-13.

[7] 張德立. 高中生數(shù)學(xué)觀察能力的培養(yǎng)[J]. 玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，27（12）：62-63.

[8] 易南軒. 在解題中如何培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，1990（09）：13-15.