立足基礎(chǔ),關(guān)注思維,促進思考

蘇美玲

[摘? 要] 一節(jié)關(guān)于“立體幾何折疊問題”的高三二輪復(fù)習(xí)課，引發(fā)研究者探究學(xué)生的認知水平、思維狀況以及思考能力對數(shù)學(xué)教學(xué)的影響. 研究者以“含兩個絕對值的不等式解法”的教學(xué)為例，從了解學(xué)生實際認識水平、例題教學(xué)、教學(xué)反思、教學(xué)再設(shè)計等方面展開分析.

[關(guān)鍵詞] 基礎(chǔ);思維;思考;教學(xué)

問題的提出

近期，筆者聽了一節(jié)關(guān)于“立體幾何折疊問題”的高三二輪復(fù)習(xí)課，對執(zhí)教教師的提問方式與學(xué)生思考問題的切入點有所思考.

如圖1所示，已知四邊形ABCD為一個邊長為6的菱形，且∠BAD=60°，AC∩BD=O. 將四邊形ABCD沿著對角線AC折疊，可得三棱錐B-ACD. 已知點M為棱BC的中點，且DM=3.

（1）求證：OM與平面ABD為平行的關(guān)系;

（2）求證：平面ABC與平面MDO為垂直的關(guān)系;

（3）三棱錐M-ABD的體積是多少？

解題前，教師要求學(xué)生結(jié)合圖1，先完成以下課前測試內(nèi)容：

（1）在菱形ABCD中，∠AOB，∠AOD的度數(shù)分別是多少？DB=______，AC=______，MO=______.

（2）在三棱錐B-ACD中，∠AOB，∠AOD，∠DOM的度數(shù)分別是多少？DO=______，MO=______.

（3）分別寫一寫線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理.

（4）分別寫一寫錐體體積、柱體體積的計算公式，并說一說求體積的經(jīng)驗.

大約過了八分鐘，教師與學(xué)生核對課前測試內(nèi)容的答案，而后要求學(xué)生自主解決例題. 巡視發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能順利解決問題（1），但解決問題（2）時出現(xiàn)了卡頓現(xiàn)象. 于是教師提醒如下：我們要關(guān)注將菱形折疊成三棱錐后，哪些條件發(fā)生了改變，哪些條件沒有發(fā)生改變，本題中的棱形的折疊程度完全取決于DM的長度. 提醒完畢后，教師要求學(xué)生獨立思考并著手解題. 十分鐘過去后，有部分學(xué)生仍然找不到解題方法，教師迫于無奈，只能將解題過程從頭至尾講解一遍.

針對以上教學(xué)片段，筆者分析其存在以下幾個問題：

（1）課前測試應(yīng)用不當(dāng).

雖然課前測試具有了解學(xué)情與復(fù)習(xí)舊知的作用，但本節(jié)課為二輪復(fù)習(xí)課，基礎(chǔ)知識已經(jīng)在一輪復(fù)習(xí)中強化過，學(xué)生在基礎(chǔ)知識的掌握上基本沒有問題，因此課前測試無疑占用了課堂寶貴的時間. 同時，教師對課前測試的處理方式為直接核對答案，這種處理方式也無法了解到真實的學(xué)情.

（2）教學(xué)主題選擇不當(dāng).

課堂從始至終都是圍繞一道綜合程度較高的例題進行分析的，完全沒有凸顯出二輪復(fù)習(xí)應(yīng)有的功能，整個過程都是在教師的提問下推進的，根本無法看出學(xué)生的真實狀況，更達不到觸類旁通的教學(xué)效果.

（3）預(yù)設(shè)沒有結(jié)合實際.

雖然教師在課前測試中設(shè)計了求∠DOM度數(shù)的問題，意在激活學(xué)生解決問題（2）的思維，而在實際解題中卻沒有達到預(yù)設(shè)效果. 此處，教師可讓一位學(xué)生描述一下自己的觀點，分享其經(jīng)驗與困惑，讓學(xué)生通過交流，明白折疊的本質(zhì)為：①折疊后依然在一個平面上的各元素間的位置與度量關(guān)系都不會發(fā)生改變;②折疊到什么樣的一個程度，都是由DM的長度決定的，因此可聯(lián)想到垂直關(guān)系，再通過勾股定理的逆定理解決問題.

綜上分析，這位教師并不了解學(xué)生的實際認知水平，所提出的問題也參差不齊，完全沒有顧及學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生難以理解知識的本質(zhì). 該如何改變這個現(xiàn)狀呢？

章建躍教授提出的“三個理解”理念，其中一點就是要“理解學(xué)生”，要充分了解學(xué)生的認知與情感發(fā)展規(guī)律，用適合學(xué)生的教學(xué)方式因材施教，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)[1]. 在踐行“三個理解”的過程中，筆者做了不少嘗試，現(xiàn)用一個案例進行說明.

案例分析

1. 了解學(xué)生的實際認知水平

本節(jié)課研究的主題為“含兩個絕對值的不等式解法”. 教學(xué)重點是解決“x-a+x-b≥c”型不等式問題.

為了了解學(xué)生的實際認知水平，筆者要求學(xué)生各自舉一個包含一個絕對值的不等式的例子，并說明解法. 預(yù)設(shè)學(xué)生提出以下五種解法：①直接用絕對值不等式的公式解題;②用絕對值的幾何意義解題;③通過平方變形解題;④用分類討論法解題;⑤用函數(shù)圖象解題.

學(xué)生舉出了大量例子，筆者選擇其中的“x-6>3”作為例題，要求每一個學(xué)生用自己的方法求解. 學(xué)生共出了四種解法，以下兩種解法具有典型意義：

【解法1】

如圖2所示，學(xué)生在草稿紙上先畫一條數(shù)軸，然后在相應(yīng)的位置標(biāo)上實數(shù)±3所對應(yīng)的點，同時將“x-6”視為整體. 根據(jù)x-6>3可知，點“x-6”位于-3與3的兩側(cè)，從而可得“x-6”的取值范圍，經(jīng)化簡，可得x的取值范圍.

學(xué)生的解題思維與筆者的預(yù)設(shè)有所出入. 觀察學(xué)生的思維過程，他們用“換元法”將不等式x-6>3轉(zhuǎn)化為y>3，根據(jù)y>a（a>0）的解法解題，最終獲得正確答案. 雖然答案是正確的，但這種解題思路對“含兩個絕對值的不等式”問題的研究并沒有什么幫助.

學(xué)生雖然知道a的幾何意義，但對a-b的幾何意義卻不了解（a-b的幾何意義是數(shù)軸上點a，b之間的距離），這將導(dǎo)致后續(xù)學(xué)習(xí)不穩(wěn)定. 鑒于此，筆者根據(jù)學(xué)生的實際認知水平，及時調(diào)整教學(xué)方案，利用問題引導(dǎo)的方式，強化學(xué)生對a-b的幾何意義的認識.

師：誰來說說x的幾何意義？

生1：x是指點x與原點之間的距離.

師：很好，原點對應(yīng)的數(shù)為0，如何用含x與0的式子來表達這個距離呢？

生2：可以用式子x-0來表達x.

師：也就是說x是x-0的簡化，對嗎？

（學(xué)生點頭）

師：請大家思考a-b具有怎樣的幾何意義，并動手解x-6>3這個不等式.

學(xué)生解題，筆者巡視，并點撥如下：遇到不等式問題時，常從相等著手去分析，如本題就可以先在數(shù)軸上找出方程x-6=3的根3與9，這兩個數(shù)將數(shù)軸分成了三部分，我們可以將x分別安排到這三部分中進行檢驗（如圖3所示）. 在筆者的點撥下，學(xué)生很快就得到了答案：x<3或x>9.

【解法2】

生3：因為x-6>3，所以-x+6>3或x-6>3，可得x<3或x>9. （投影）

這位學(xué)生的解題書寫具有一定的代表性，從中可以看出學(xué)生對分類討論的表達過程并不了解，這是亟須解決的實際問題. 因此，筆者要求該生將自己的想法全部表達出來.

生3：當(dāng)x-6<0時，x-6=6-x>3;當(dāng)x-6>0時，x-6=x-6>3. 然后化簡可得問題的答案.

師：大家說說這位同學(xué)的解題思路與書寫格式對嗎？請以小組合作學(xué)習(xí)的方式來探討這個問題. 若覺得生3的解題書寫完整正確，請說明每一步的理由;若認為生3的解題書寫不規(guī)范，請展示規(guī)范正確的書寫.

（學(xué)生合作交流）

各組學(xué)生經(jīng)過激勵討論，逐漸認識到了分類討論的規(guī)范步驟.

投影生4的解題過程：因為x-6>3，所以x-6<-3或x-6>3，所以x<3或x>9.

師：比較生3與生4的解題書寫，大家能看出他們的區(qū)別嗎？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生從答案一樣的兩種方法中感知解題思維的不同，顯然，生4的解題書寫應(yīng)用到了公式“x>a（a>0）?x<-a或x>a”.

在學(xué)生順利完成以上問題探索的基礎(chǔ)上，筆者組織學(xué)生反思：此題究竟該如何分類？為什么要通過分類討論來解題？

以上教學(xué)過程從本質(zhì)上來說，即帶領(lǐng)學(xué)生“再認識”絕對值不等式，其關(guān)鍵點在于引導(dǎo)學(xué)生自主獲得x的幾何意義，從而正確理解絕對值不等式的解集.

2. 例題教學(xué)

通過對學(xué)生認知水平的了解，在及時補救所發(fā)現(xiàn)的缺陷后，進入新的探索階段——解不等式x-1+x+2≥5.

師：解這個不等式時，還能用含一個絕對值的不等式的解法嗎？若可以，應(yīng)注意哪些問題？

雖然筆者有所提醒，但學(xué)生并沒有按照預(yù)設(shè)解題，不少學(xué)生呈現(xiàn)出了以下解題方法：因為x-1+x+2≥5，所以x-1+x+2≥5. 所以2x+1≥5. 所以2x+1≤-5或2x+1≥5. 所以x≤-3或x≥2.

顯然，第一個“所以”就錯了. 為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的問題，并解決問題，筆者將這種解題方法投影出來，要求學(xué)生說說這樣解題的理由.

生5：解題時，我將“x-1”理解為x，將“x+2”理解為y，不等式x-1+x+2≥5就轉(zhuǎn)化為x+y≥5. 若將不等式左側(cè)的兩個絕對值轉(zhuǎn)化為一個絕對值，解題就沒有問題了. 因此，我就想利用絕對值三角不等式x+y≥x+y來轉(zhuǎn)化x+y≥5，可得x+y≥5，即x-1+x+2≥5.

筆者要求學(xué)生以分組合作的方式討論生5這部分學(xué)生的解題過程. 在討論中，一些學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的根源在于：5和x+y均小于x+y，因此5與x+y不可比大小.

師：那在什么情況下，這種推理方式可行呢？

生6：若絕對值不等式x+y≥x+y恒取等號，則這種推理方式具有可行性. 但對任意實數(shù)x，y，絕對值不等式x+y≥x+y不可能恒取等號，所以這種推理方式不可行.

至此，本題教學(xué)接近尾聲，隨著筆者循循善誘的引導(dǎo)與點撥，學(xué)生的思維有種豁然開朗之感，并在掌握解題技巧的基礎(chǔ)上逐漸獲得了一定的思考能力.

3. 教學(xué)反思

本節(jié)課看似完美，但細細琢磨，筆者發(fā)現(xiàn)教學(xué)過程中還是有些瑕疵. 鑒于此，筆者反思如下：

（1）在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上，為什么學(xué)生仍然沒有想到用絕對值的幾何意義解題呢？

經(jīng)訪談發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生剛剛接觸絕對值三角不等式，因此優(yōu)先選擇剛學(xué)過的知識解題，這是典型的思維定式. 從這一點也能看出，學(xué)生對絕對值三角不等式的理解尚不深刻，對其應(yīng)用把握還不準(zhǔn)確. 這也是課堂開始階段，了解學(xué)生認知水平時應(yīng)該解決的問題之一.

（2）為什么學(xué)生用不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕夥ㄒ材塬@得正確答案？

學(xué)生的解題方法顯然存在一些問題，但為什么還能獲得正確答案呢？是偶然還是必然？如果能探索出在什么情況下用這種方法解題是正確的，在什么情況下用這種方法解題是不可行的，那就是一個新的突破. 教學(xué)本就是不斷發(fā)現(xiàn)、提出與解決問題的過程，若組織學(xué)生對這個問題繼續(xù)探討與辨析，則更利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

4. 教學(xué)再設(shè)計

（1）從“數(shù)”的角度進行分析.

①當(dāng)（x-1）（x+2）≥0時，即當(dāng)x≤-2或x≥1時，x-1+x+2=（x-1）+（x+2）=2x+1. 此時，x-1+x+2≥5，也就是2x+1≥5，則2x+1≤-5或2x+1≥5. 解得x≤-3或x≥2. 結(jié)合x≤-2或x≥1，可得x≤-3或x≥2.

②當(dāng)（x-1）（x+2）<0時，即當(dāng)-2

結(jié)合①②易得x-1+x+2≥5的解集為{x

x≤-3或x≥2}.

（2）從“形”的角度進行分析.

從絕對值不等式的幾何意義來看，不等式x-1+x+2≥5的解集，實際上就是數(shù)軸上到點1和-2的距離之和大于等于5的點的集合.

如圖4所示，通過數(shù)軸不難發(fā)現(xiàn)，在-32時，x-1+x+2>5;在x=2或-3時，x-1+x+2=5. 由此可得不等式x-1+x+2≥5的解集為{xx≤-3或x≥2}.

繼續(xù)觀察發(fā)現(xiàn)，區(qū)間[-2，1]的長度是3，區(qū)間[-3，2]的長度是5，兩個區(qū)間的中點均為-. 從對稱性來看，可知2x+1≥5與x-1+x+2≥5的解集相同，且只要c>（x-1）-（x+2）=3，不等式x-1+x+2≥c與（x-1）+（x+2）≥c的解集就是相同的.

如果將x-1+x+2≥5中的5換成小于3的數(shù)，如2，那么該如何解決不等式x-1+x+2≥2呢？對于任意x∈[-2，1]，均有x-1+x+2=3>2，當(dāng)x>1或x<-2時，x-1+x+2>3，因此可以確定x-1+x+2≥2的解集是R.

將以上情況推廣到一般，可獲得不等式x-a+x-b≥c（c>0）的新解法：

①當(dāng)（x-a）-（x-b）=a-b≥c（c>0）時，不等式x-a+x-b≥c（c>0）的解集是實數(shù)集.

②當(dāng)（x-a）-（x-b）=a-b0）時，不等式x-a+x-b≥c（c>0）與（x-a）+（x-b）≥c（c>0）的解集相同，為x x≥或x≤.

同理可知，對于不等式x-a+x-b≤c（c>0）而言：

①當(dāng)（x-a）-（x-b）=a-b>c（c>0）時，不等式x-a+x-b≤c（c>0）的解集是空集.

②當(dāng)（x-a）-（x-b）=a-b≤c（c>0）時，不等式x-a+x-b≤c（c>0）與（x-a）+（x-b）≤c（c>0）的解集相同，為x≤x≤.

若在教學(xué)中與學(xué)生進行以上解法的探討，則學(xué)生的思維會經(jīng)歷“被否定（解法不對，但結(jié)果對）—追根溯源—解釋”的過程，從而積累思考與思辨經(jīng)驗，為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ).

總之，思考能力的形成與發(fā)展，離不開學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，而學(xué)習(xí)經(jīng)驗的獲得可借鑒他人，更多的是自身的感悟[2]. 教師應(yīng)利用各種教學(xué)手段充分了解學(xué)生的認知水平，順應(yīng)學(xué)生的思維去教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的思考能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 曹才翰，章建躍. 數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[2] 馬復(fù). 設(shè)計合理的數(shù)學(xué)教學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.