教材習題的使用與開發(fā)

湖北省武漢市友誼路中學(430022) 李斌

中考數(shù)學試題, 對初中數(shù)學教學具有一定的引領作用.近幾年,將教材中某些習題改編、拓展或延伸后作為中考試題,成為中考命題一種較常見的做法,其旨在引導教師重視教材,用活教材,挖掘出教材習題的通性通法,以及反映的基本模型,善于將課本習題進行改編與延伸,現(xiàn)結(jié)合對人教版教材習題挖掘的實踐,筆者與各位同仁探討教材習題的使用與開發(fā).

1 以教材為本,提煉通性通法

案例1(人教版教材九年級上冊第123 頁復習題7)如圖1,⊙A,⊙B,⊙C兩兩不相交,且半徑都是0.5cm,求圖中三個扇形(即陰影部分)的面積之和.

圖1

分析: 圖中的陰影部分由三個扇形組成, 應先求出三個扇形的面積, 然后將其相加. 三個扇形雖然半徑已知是0.5cm,但其各自的圓心角度數(shù)并不知道,因此,分別求出這三個扇形的面積不可能, 必須另尋它途, 經(jīng)分析發(fā)現(xiàn), 三個扇形的半徑相同,且其圓心角之和剛好是ΔABC的內(nèi)角和180 度,可將這三個扇形拼合在一起,構(gòu)成一個大扇形,即半圓,可得陰影部分的面積=

點評: 題中透露出什么通性通法? 顯然是整體處理法,即把一些看似彼此孤立,實質(zhì)上緊密相關的量作為一個整體進行處理,化繁為簡,化難為易. 其實,一些數(shù)學問題,可以不必在意試題的細枝未節(jié),縱觀全局,用整體的思想解決,則能出奇制勝.下面幾道試題可以使用整體處理的方法予以解決.

應用1: 如圖2,⊙O的半徑為2,C1是函數(shù)的圖象,C2是函數(shù)的圖象, 則陰影部分的面積是____.

圖2

分析: 圓O與兩條拋物線構(gòu)成了一個軸對稱軸圖形,對稱軸分別是x軸、y軸,以x軸為對稱軸,將上方的陰影部分折疊到下方會得到一個半圓的陰影,所以陰影部分的面積為

應用2: 有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3 件,乙7 件,丙1件共需630 元;若購甲4 件,乙10 件,丙1 件共需840 元,現(xiàn)購甲、乙、丙各一件共需多少元?

分析: 設購甲每件x元, 購乙每件y元, 購丙每件z元. 根據(jù)題意, 列方程組, 得現(xiàn)購甲、乙、丙各一件共需多少元? , 則可以把x+y+z作為一個整體, 作為一個未知數(shù)求解, 于是, 原方程組可變形為然后解以x+ 3y、x+y+z為未知數(shù)的方程組即可.

應用3: 若實數(shù)a、b滿足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,則a+b的值為多少?

分析: 將已知等式中的4a+ 4b看作一個整體, 展開后得: (4a+4b)2-2(4a+4b)-8 = 0, 左邊因式分解, 得(4a+4b-4)(4a+4b+2)=0,所以a+b=1 或

通性通法是解決問題的一般性思想方法,教學中,教師應深挖教材,理清一般解題方法,以使學生在觸類旁通,舉一反三中,探究一例,收獲一片.

2 以教材為本,挖掘數(shù)學基本模型

案例2(人教版教材八年級上冊第85 頁問題1)如圖3,牧馬人從A地出發(fā),到一條筆直的河邊l飲馬,然后到B地,牧馬人到河邊的什么地方飲馬,可使所走的路徑最短?

圖3

分析: 這是著名的“將軍飲馬問題”,即在直線l上找一點P,使它到A、B兩點的距離和最小,即PA+PB最小,方法是作其中一個點的對稱點,即將其中一個點用它的對稱點來代替,根據(jù)兩點之間線段最短的原理,連結(jié)對稱點與另一個點,連線與直線l的交點即為所求作的點. 如圖4 所示,

圖4

點評: 圖4 的模型是求線段和最小值的基本模型,只要求線段和的最小值,或者周長的最小值,都可以通過作對稱點的辦法,將和中的線段統(tǒng)一在同一直線上,它包括兩定點一定直線,一定點兩定直線,兩定點兩定直線等情形,都可以使用此模型去解答.

應用1: 如圖5,正方形ABCD的面積為16,ΔABE是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線BD上有一點P,使PC+PE的和最小,則這個最小值為多少?

圖5

分析: 此題的兩個固定點是點E、C, 固定直線是直線BD,直線上的動點是點P,如何尋找點P,使得PC+PE最小呢? 先找其中一個點的對稱點,可以看到點C與點A關于直線BD對稱,然后連結(jié)對稱點與另一個點,即連結(jié)AE,則AE的長就是PC+PE最小時的長度,即正方形的邊長4.

應用2: 如圖6,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E是AB的中點,P是對角線AC上的一個動點,則PE+PB的最小值為多少?

圖6

分析: 根據(jù)菱形的性質(zhì)可知, 點B關于AC的對稱點為點D, ∴DE為PB+PE的最小值, ∵∠B= 120°,∴∠BAD= 60°, ∴ΔABD是等邊三角形, ∵E是AB的中點,所以DE⊥AB,∵AB=2,∴AE=∴PB+PE的最小值是

應用3: 如圖7,已知兩點P、Q在銳角∠AOB內(nèi),分別在OA、OB上求作點M、N,使PM+MN+NQ最短.

圖7

分析: 雖然此題是兩個定點、兩條定直線,但仍是線段和的最小值問題,因此,仍需要利用軸對稱,將兩個固定點用它們的對稱點來代替,然后連結(jié)兩個對稱點,連線與OA、OB的交點即為求作的點M、N,如圖8 所示.

圖8

深挖教材中的基本模型,由點到面,由淺到深,促使學生深入探究,有利于拓寬學生思維的寬度與深度,發(fā)展學生的思維品質(zhì),培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng).

3 以教材為本,變式延伸拓展

案例3(人教版教材八年級上冊第17 頁第8 題)如圖9,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,求x的值.

圖9

分析: 此題是已知三角形的一個角度,求另兩個內(nèi)角平分線夾角的度數(shù),由三角形內(nèi)角和定理為180 度,得兩個角的度數(shù)為80°,那么它們和的一半就是40 度,在ΔBCD中,再次利用三角形內(nèi)角和定理,可得x的值為140.

點評: 此題是求兩個內(nèi)角平分線夾角的度數(shù),通過計算,可以發(fā)現(xiàn),

即三角形兩條內(nèi)角平分線的夾角與第三個角有固定關系. 那么,三角形兩條外角平分線的夾角與第三個角有何關系呢? 三角形一條內(nèi)角平分線與一條外角平分線的夾角與第三個角有何關系呢? 筆者對之作以下變式:

變式1: 如圖10,在ΔABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACE. 猜想∠P和∠A有何數(shù)量關系,并證明你的結(jié)論.

圖10

變式2: 如圖11,BP平分∠CBF,CP平分∠BCE. 猜想∠P和∠A有何數(shù)量關系,請直接寫出結(jié)論.

圖11

變式3: 如圖12,在銳角ΔABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM,請分別寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關系,并選擇其中一個說明理由;

圖12

變式4: 如圖13,AP、CP分別平分∠BAD. ∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度數(shù).

圖13

變式教學是一條可創(chuàng)新的路徑,以教材文本,通過變式設計,有利于幫助學生建立知識結(jié)構(gòu),促進學生的思維向深度不斷漫溯,進而構(gòu)建解決問題的思維路徑.

總之,數(shù)學教材中的習題,具有一定的代表性與典型性,其可以做為中考試題的題源,作為教師,應對教材試題進行挖掘、引申與創(chuàng)新,讓學生從中得其法,明其理,這也是用教材教的應有之義.