浸潤數(shù)學(xué)文化,提升核心素養(yǎng)
——對“斐波那契數(shù)列與黃金分割”的教學(xué)思考

湖南省長沙市第一中學(xué)(410005) 趙意揚 吳堅

1 引言

《普通高中教科書人教A 版》的必修與選修教材中共編入了25 篇閱讀與思考材料,這些材料有的是數(shù)學(xué)史的介紹,有的是知識的拓展與延伸,有的是學(xué)科知識的融合.“閱讀與思考”欄目是作為教材正文內(nèi)容的補充: 一是體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的彈性,符合不同層次學(xué)生的發(fā)展;二是激勵學(xué)生探究新的知識,開闊視野,培養(yǎng)學(xué)生的人文精神與核心素養(yǎng). 以往的高中數(shù)學(xué)教學(xué)并未真正重視”閱讀與思考”,往往傾向于以教師的”講”來代替學(xué)生的”思”,甚至有時被忽略. 斐波那契數(shù)列與黃金分割是人教A 版2019 版《選擇性必修第二冊》第四章數(shù)列第10-11 頁中閱讀與思考內(nèi)容,作為新舊教材中備受青睞的探究性閱讀材料, 有助于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀自學(xué)能力,數(shù)學(xué)建模能力,發(fā)展理性思維. 筆者以斐波那契數(shù)列與黃金分割為例,設(shè)計了“課前預(yù)習(xí)閱讀探究、學(xué)生展示盤點收獲、合作探究課堂釋疑、歸納總結(jié)構(gòu)建體系、作業(yè)布置拓展外延”五個環(huán)節(jié), 以滲透數(shù)學(xué)文化為主線, 以培養(yǎng)學(xué)生的“閱讀能力、自學(xué)能力、數(shù)學(xué)建模能力,邏輯推理能力及運算能力”為重要教學(xué)目標(biāo),以學(xué)生為主體開展學(xué)習(xí)活動,以教師為主導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)實踐,老師始終是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者,使學(xué)生真正成為“閱讀與思考”的主人.

2.1 課前預(yù)習(xí),閱讀探究

閱讀方式

(1)閱讀教材: 普通高中教科書《數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊》(人民教育出版社A 版)第10-11 頁,“閱讀與思考”;

(2)利用互聯(lián)網(wǎng)、圖書館查找收集資料,并閱讀相關(guān)文獻(xiàn).

閱讀目標(biāo)

(1)查找與意大利數(shù)學(xué)家斐波那契相關(guān)的數(shù)學(xué)史料,了解數(shù)學(xué)家斐波那契的生平及主要成就.

(2)針對《算盤書》中的兔子繁殖問題,回答: 初生兔子的對數(shù)有什么關(guān)系? 成熟兔子的對數(shù)有什么關(guān)系? 兔子總對數(shù)又有什么關(guān)系? 并嘗試建立兔子繁殖問題的數(shù)學(xué)模型.

(3)斐波那契數(shù)列{Fn}滿足等式:F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1,如何利用幾何圖形呈現(xiàn)這個等式? 并嘗試證明該等式. 關(guān)于斐波那契數(shù)列的性質(zhì),你還有其它發(fā)現(xiàn)嗎?

(4)查找與黃金分割相關(guān)資料,了解黃金分割與黃金矩形的基本知識.

(5)認(rèn)識“斐波那契螺旋”弧線,思考什么是“黃金比例螺旋”? 并探究它們之間存在的關(guān)系.

(6)依據(jù)所學(xué)知識,嘗試由遞推公式推導(dǎo)出斐波那契數(shù)列的通項公式.

(7)查找收集資料,舉例說明大自然及生產(chǎn)生活中和“斐波那契數(shù)列與黃金分割”相關(guān)的現(xiàn)象.

閱讀收獲

整理閱讀與思考后的成果.

閱讀質(zhì)疑

閱讀與思考后,你有什么疑問嗎? 歡迎寫下來,“問題”是創(chuàng)新的起點!

設(shè)計意圖設(shè)置課前活動,通過學(xué)生的動手動腦,啟發(fā)學(xué)生思考. 知識的獲取、問題的來源不一定局限于課堂,引導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀材料,基于問題驅(qū)動教學(xué)模式,在學(xué)生開展自主閱讀的過程中明確“我要做什么,要解決什么問題,我有什么收獲”,為學(xué)生設(shè)計適合的學(xué)習(xí)方案.

2.2 學(xué)生展示,盤點收獲

學(xué)生展示1;介紹意大利數(shù)學(xué)家斐波那契.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)承載著思想和文化,是人類文明的重要組成部分. 學(xué)生代表1 介紹數(shù)學(xué)家斐波那契的生平及主要成就,此環(huán)節(jié)滲透數(shù)學(xué)文化傳承,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

學(xué)生展示2: 介紹兔子問題中兔子繁殖規(guī)律.

設(shè)計意圖《算盤書》中提出的兔子繁殖問題所蘊含的規(guī)律,能引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實世界,為抽象出遞推公式做準(zhǔn)備.

學(xué)生展示3: 用圖形來表示等式:F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1.

設(shè)計意圖利用圖形表示這個等式,發(fā)展學(xué)生直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),并因此而引出斐波那契螺旋線,是與黃金分割關(guān)聯(lián)的重要銜接點.

學(xué)生展示4: 斐波那契數(shù)列與斐波那契螺旋線的應(yīng)用.

設(shè)計意圖斐波那契數(shù)列與黃金分割鑒賞: 黃金分割擁有可再生性,而斐波那契數(shù)列與斐波那契螺旋則詮釋了生命活動的自我衍生性,是長期自然選擇的結(jié)果,該環(huán)節(jié)是啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方式觀察、思考、表達(dá)世界.

2.3 合作探究,課堂釋疑

問題1如何用符號語言表達(dá)兔子繁殖規(guī)律?

師生活動: 引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言, 用{an}表示第n個月的小兔子對數(shù),{bn}表示第n個月的大兔子對數(shù),{Fn}表示第n個月小兔子與大兔子總對數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,得出遞推公式.

因為每個月的大兔子對數(shù)等于前兩個月的大兔子對數(shù)之和, 所以有bn=bn-1+bn-2(n＞2). 又因為每個月小兔子對數(shù)等于上個月大兔子的對數(shù), 所以有an+1=an+an-1(n＞1), 故有Fn=an+bn=an-1+an-2+bn-1+bn-2=Fn-1+Fn-2(n＞2).

設(shè)計意圖①從兔子繁殖問題中抽象出斐波那契數(shù)列,將文本的自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)世界;②擺脫數(shù)學(xué)兔子繁殖問題具體形態(tài)的影響,獲得數(shù)列的一般規(guī)律.

問題2如何證明等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1?

師生活動: 引導(dǎo)學(xué)生利用迭代法或者裂項相消法解決問題.

師生總結(jié):思路1迭代法: 由斐波那契數(shù)列的遞推公式可知:Fn+1=Fn+Fn-1,所以Fn·Fn+1=F2n+Fn-1·Fn,將Fn=Fn-1+Fn-2代入得Fn·Fn+1=F2n+Fn-1·(Fn-1+Fn-2)=F2n+F2n-1+Fn-2·Fn-1重復(fù)上述步驟,可得Fn·Fn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+...+F22+F2·F1,又因為F1=F2=1,故Fn·Fn+1=F2n+F2n-1+F2n-2+...+F22+F21. 即等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1成立.

思路2裂項相消法(省略)

設(shè)計意圖①“推理是數(shù)學(xué)的命根子,運算是數(shù)學(xué)的童子功. ”從數(shù)的角度論證公式,在活動過程中,提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng); ②在證明的過程中提升學(xué)生的思維品質(zhì),讓學(xué)生從感性的發(fā)現(xiàn)上升到理性的認(rèn)識.

問題3什么是“斐波那契螺旋”弧線?“黃金比例螺旋”呢? 如何理解“斐波那契螺旋”弧線與“黃金比例螺旋”弧線之間的形狀會越來越接近?

師生活動: 從等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1的圖形表示中發(fā)展出斐波那契螺旋弧線, 教師介紹黃金螺旋,并將斐波那契螺旋與黃金螺旋疊放一起對比. 引導(dǎo)學(xué)生通過猜測、計算歸納出的值會趨近黃金分割比.

設(shè)計意圖引出斐波那契螺旋與黃金螺旋,并引導(dǎo)學(xué)生從疊放一起的兩個圖形的高度吻合,由形的角度直觀想象斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián).

問題4依據(jù)所學(xué)知識,如何由遞推公式推導(dǎo)出斐波那契數(shù)列的通項公式?

師生活動: 學(xué)生獨立思考, 自主探究, 教師引導(dǎo)學(xué)生從研究比值的角度將遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,生生合作、師生合作解決問題. 設(shè)Fn+λFn-1=μ(Fn-1+λFn-2),對比系數(shù)解得求得數(shù)列的通項公式為

設(shè)計意圖要解釋為什么比值會隨著n的增大而趨近黃金分割比,離學(xué)生思維發(fā)展區(qū)最近的是{Fn}的通項公式. 通項公式是本節(jié)課的一個難點. 引導(dǎo)學(xué)生按照思維的一般規(guī)律,在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的情境,通過構(gòu)造等比數(shù)列解決問題,從而突破難點. 培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力,發(fā)展學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

問題5得到斐波那契數(shù)列的通項公式后,你能說明為什么會趨近黃金分割比嗎?

設(shè)計意圖從數(shù)學(xué)運算的角度考察值,分析斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián),培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力.

2.4 歸納總結(jié),構(gòu)建體系

問題6通過本節(jié)課的數(shù)學(xué)活動,你有哪些收獲?

師生活動: 老師引導(dǎo)學(xué)生合作交流,依據(jù)整個學(xué)習(xí)過程進(jìn)行小結(jié),用聯(lián)系的觀點從新知識的獲取路徑進(jìn)行歸納總結(jié).

設(shè)計意圖總結(jié)探究的過程、思路及方法,獲得知識、能力及意志力的共同進(jìn)步,建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生提煉、總結(jié)、概括的能力.

2.5 作業(yè)布置,拓展外延

對于同學(xué)們的“閱讀質(zhì)疑”,還有以下兩個問題未得到解決:

(1)斐波那契數(shù)列還有其它性質(zhì)嗎? 如:“前n 項和怎么求? 相鄰幾項會不會有什么規(guī)律? ……”

(2)與黃金分割類比,會有白銀分割、青銅分割嗎? 符合黃金分割比的事物,給人以美的感受,那不符合的是不是就不美了?

請選擇一個話題(或依據(jù)本堂所學(xué)另擇話題),繼續(xù)你的研究,將發(fā)現(xiàn)寫成數(shù)學(xué)小論文.

設(shè)計意圖本節(jié)課課堂活動是基于學(xué)生的“閱讀成果”及“閱讀質(zhì)疑”為前提設(shè)計, 針對學(xué)生部分未得到解答的困惑,設(shè)置作業(yè),提升學(xué)生“反思、求解、實證”等高階思維,開拓學(xué)生視野.

3. 教學(xué)反思

閱讀與思考集知識性、科學(xué)性、趣味性、教育性于一體,且根植于學(xué)生知識與能力的最近發(fā)展區(qū),是教材的重要組成部分,是數(shù)學(xué)傳統(tǒng)課堂教學(xué)內(nèi)容的延伸,是浸潤數(shù)學(xué)文化的重要載體. 本節(jié)課對教材的處理有以下幾個特點:

(1)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

本堂課的教學(xué)設(shè)計源于課本,但又不囿于課本. 在尊重教材編排的基礎(chǔ)上,在學(xué)生學(xué)完等比數(shù)列后,為學(xué)生設(shè)計了適合的學(xué)習(xí)方案. 課程注意個體差異,注重讓每一位學(xué)生參與到學(xué)習(xí)中,引導(dǎo)學(xué)生開展獨立思考、自主探究、質(zhì)疑思辨、合作交流,充分發(fā)揮了學(xué)生的主動性、積極性,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

(2)凸顯數(shù)學(xué)建模

通過學(xué)生的成果展示《算盤書》中提出的兔子繁殖問題所蘊含的規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上建立斐波那契數(shù)列的數(shù)學(xué)模型,擺脫數(shù)學(xué)兔子繁殖問題具體形態(tài)的影響,獲得數(shù)列的一般規(guī)律. 可以說,數(shù)學(xué)建模的過程,是學(xué)生構(gòu)建知識體系的關(guān)鍵步驟,是提升思維品質(zhì)的重要過程.

(3)關(guān)注問題探究

從等式F21+F22+...+F2n=Fn·Fn+1的圖形表示引出斐波那契螺旋與黃金比例螺旋,并引導(dǎo)學(xué)生從疊放在一起的兩個圖形的高度吻合這一要點出發(fā),由形的角度直觀想象斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián),再通過構(gòu)造等比數(shù)列得到斐波那契數(shù)列的通項公式,從數(shù)學(xué)運算的角度考察前項與后項之比,分析斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)聯(lián),突破難點,發(fā)展學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),在知識的升華過程中完成了課程的整體目標(biāo).

(4)體現(xiàn)學(xué)科融合

利用多媒體呈現(xiàn)斐波那契螺旋與黃金比例螺旋的關(guān)聯(lián)、用EXCEL 軟件計算斐波那契數(shù)列中每一項與相鄰后一項的比值, 用seewo 白板展示學(xué)生對等式F21+F22+ ...+F2n=Fn·Fn+1的證明, 充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識,體現(xiàn)學(xué)科間的深度融合,極大地提高了課堂教學(xué)時效性.

(5)注重美育滲透

羅素說:“進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的主要驅(qū)策力是對美的追求,數(shù)學(xué)的美冷而嚴(yán)肅,純凈而崇高. ”本堂課通過學(xué)生代表展示斐波那契數(shù)列與黃金分割的應(yīng)用鑒賞,讓學(xué)生獲得了和諧與壯觀的美學(xué)享受;在斐波那契螺旋與黃金比例螺旋的高度一致下,通過直觀想象與數(shù)學(xué)直覺讓學(xué)生獲得高度的美學(xué)體驗.