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    高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧思考

    2023-09-15 07:03:16沈子儒
    關(guān)鍵詞:不等式解題技巧高中數(shù)學(xué)

    摘 要:不等式知識(shí)應(yīng)用范圍廣,涉及到的題型更是復(fù)雜多變,文章通過舉例詳細(xì)剖析了不等式的反證解題技巧、不等式的換元解題技巧、不等式的性質(zhì)解題技巧和線性規(guī)劃題的解題技巧等.

    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);不等式;解題技巧

    中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1008-0333(2023)22-0046-03

    不等式是用符號(hào)大于、小于、大于等于、小于等于等表示大小關(guān)系的一類式子.在高中數(shù)學(xué)中,涉及題型比較廣泛,包括選擇題、填空題與計(jì)算題等,假如學(xué)生沒有透徹理解不等式知識(shí),難以熟練掌握解題技巧,他們就無(wú)法很好地解題.高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視不等式解題技巧的思考,利用各種常見的題型組織學(xué)生進(jìn)行集中訓(xùn)練,使其結(jié)合具體題目使用相應(yīng)的技巧分析和解答,不斷提高他們的解題水平,反過來(lái)輔助對(duì)理論知識(shí)的深化理解.

    1 不等式的反證解題技巧

    不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的一部分內(nèi)容,通常以各種題型出現(xiàn)在平常練習(xí)與考試當(dāng)中.解答有關(guān)不等式的題目時(shí)往往要用到各種技巧,其中反證方式應(yīng)用的較為廣泛,這是以正難則反為基礎(chǔ)形成的,在證明類的問題中使用有著不錯(cuò)的效果.對(duì)此,高中數(shù)學(xué)教師可指導(dǎo)學(xué)生在處理不等式證明類題目時(shí)采用反證法,使其將整個(gè)證明過程變得更為便捷與簡(jiǎn)單,將不等式證明問題的解答變得更為高效,幫助他們掌握不等式證明題的解題技巧[1].

    例1 已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,請(qǐng)結(jié)合以上條件證明a>0,b>0,c>0.

    解析 根據(jù)題干中提供的條件abc>0,能夠得出a,b,c均不可能是0,這里要用到反證的方式.

    假設(shè)a<0,則bc<0,又因?yàn)閍+b+c>0,所以b+c>-a,由此可以得到a(b+c)<0.

    所以a(b+c)+bc<0.

    不過這一式子明顯同題干中提供的信息相沖突,所以說這個(gè)假設(shè)是無(wú)法成立的,也就是表明a>0,b>0,c>0.

    2 不等式的換元解題技巧

    處理部分?jǐn)?shù)學(xué)問題時(shí),把其中一個(gè)式子當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待,且運(yùn)用一個(gè)變量進(jìn)行替換,從而將問題變得更為簡(jiǎn)單,這就是常用的換元法,廣泛適用于方程、函數(shù)、不等式等解題實(shí)踐中,根本思想是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵在于構(gòu)建“元”與設(shè)置“元”.在高中數(shù)學(xué)不等式解題訓(xùn)練中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用換元解題技巧,把研究對(duì)象進(jìn)行變換,問題轉(zhuǎn)移至新對(duì)象上面,目的是讓非標(biāo)準(zhǔn)的問題變得標(biāo)準(zhǔn)化,復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單化,最終讓他們輕松解答不等式問題[2].

    例2 已知a,b,c∈R+,請(qǐng)證明abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

    解析

    使用換元法假設(shè)x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,這時(shí)可以轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明

    (x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

    由于x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,

    則a=12(y+z),b=12(x+z),c=12(x+y).

    因?yàn)閍,b,c∈R+,所以當(dāng)xyz<0時(shí),可以得到(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

    當(dāng)xyz>0時(shí),有x,y,z∈R+,假如x,y,z三者當(dāng)中有任意兩個(gè)比0小,那么c≤0與c>0是相矛盾的,由此得到

    x+y≥2xy>0,

    y+z≥2yz>0,

    x+z≥2xz>0.

    則(x+y)(y+z)(x+z)≥8xyz.

    然后把x,y,z代入到原式中可以得到

    abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c).

    3 用不等式性質(zhì)解題技巧

    在高中數(shù)學(xué)不等式解題教學(xué)中,教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)不等式基本性質(zhì)的合理運(yùn)用,這是一項(xiàng)最基礎(chǔ)的解題方式與技巧,可以應(yīng)用至各種類型的不等式試題中,不少題目都要用到不等式的基本性質(zhì).如:不等式具有傳遞性,也就是如果a>b,b>c,則a>c;不等式還有可加性特點(diǎn),假如a>b,就表明a+c>b+c,c>0時(shí),ac>bc.所以,學(xué)生可以利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行解題,能夠快速找到解題的切入口,繼而提高他們解題的準(zhǔn)確率[3].

    例3 平面上有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn),每三個(gè)圓都不相交于同一個(gè)點(diǎn),請(qǐng)證明n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2個(gè)部分.

    解析

    (1)歸納法,當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓可以把平面分成兩個(gè)部分,即f(1)=12-1+2=2,故命題成立.

    (2)假設(shè)n=k,該命題成立,也就是說k個(gè)圓將平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分,則設(shè)第k+1個(gè)圓的圓心為O,根據(jù)題意可知它與k個(gè)圓中每個(gè)圓相交于兩個(gè)點(diǎn),又無(wú)三個(gè)圓相交于同一點(diǎn),那么與其它k個(gè)圓相交于2k個(gè)點(diǎn),以此結(jié)合題目中提供的條件有效證明出命題的結(jié)論,這是對(duì)不等式基本性質(zhì)的充分運(yùn)用.

    4 線性規(guī)劃題的解題技巧

    不等式與線性規(guī)劃結(jié)合到一起也是高中數(shù)學(xué)中一類比較常見的題目,與其它題型相比解題難度稍大,主要求解的是目標(biāo)最大值與最小值,但是學(xué)生在處理這類試題時(shí)十分容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,教師需給予格外關(guān)注,幫助他們掃除解題障礙,使其掌握相應(yīng)的解題技巧.具體來(lái)說,處理不等式與線性規(guī)劃結(jié)合類的題目時(shí),學(xué)生應(yīng)當(dāng)精準(zhǔn)掌握求解面積與定義域的相關(guān)知識(shí),了解不等式性質(zhì)與線性規(guī)劃兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而幫助他們學(xué)會(huì)準(zhǔn)確解答此類試題[4-5].

    例4 已知a>0,參數(shù)x,y會(huì)滿足以下三個(gè)條件,x+y≤3,x≥1,y≥a(x-3),如果z=2x+y的最小值為1,那么a的值是什么?

    解析

    可以根據(jù)題意畫出圖1所示的坐標(biāo)軸示意區(qū),當(dāng)所求的目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A區(qū)域時(shí),點(diǎn)A坐標(biāo)是(1,-2a),然后把函數(shù)的目標(biāo)值代入就能求出

    a=12.

    5 用數(shù)形結(jié)合解不等式題

    數(shù)形結(jié)合指的是“數(shù)”與“形”之間的有機(jī)結(jié)合,這是數(shù)學(xué)思想方法中最為常用的一種,不僅可以用來(lái)解答不等式相關(guān)的試題,還能夠運(yùn)用至其它數(shù)學(xué)試題的解答中,與其它解題技巧相比,數(shù)形結(jié)合能夠?qū)㈩}目變得更為形象與直觀,有助于學(xué)生快速找到解題思路,讓他們高效解題.當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式類題目時(shí),高中生要注重“以形助數(shù)”的應(yīng)用,將“數(shù)”由“形”的形式呈現(xiàn)出來(lái),使其找到更簡(jiǎn)便的解題方法,鍛煉他們的解題技巧[6].

    例5 已知關(guān)于x的不等式x2≤4-|2x+m|,如果至少存在一個(gè)x≥0使得該不等式成立,那么m的取值范圍是什么?

    解析 對(duì)原不等式進(jìn)行整理后得到|2x+m|≤-x2+4,將不等式的左右兩邊均看作成函數(shù),即為y=|2x+m|與y=-x2+4,這里要從反面思考問題,即:如果對(duì)于任意的x≥0,均有|2x+m|>-x2+4,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象,如圖2所示,根據(jù)圖片信息能發(fā)現(xiàn)當(dāng)m的值發(fā)生變化時(shí),函數(shù)y=|2x+m|的圖象將會(huì)沿著x軸進(jìn)行運(yùn)動(dòng),圖2中兩個(gè)臨界條件,分別對(duì)應(yīng)于m>4,或者m<-5,由此表明要想滿足題意m的取值范圍應(yīng)該是[-5,4].

    6 不等式高次題解題技巧

    在高中數(shù)學(xué)不等式相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中,高次不等式問題不僅屬于一項(xiàng)重要教學(xué)內(nèi)容,還是一大難點(diǎn),處理此類不等式問題時(shí),最經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方就是劃分區(qū)域時(shí)容易混亂,無(wú)法準(zhǔn)確判斷出特殊的區(qū)域或者特殊點(diǎn).對(duì)此,高中數(shù)學(xué)教師可以結(jié)合高次不等式開展專題訓(xùn)練,指引學(xué)生采用因式分解的方法進(jìn)行解題,借此把高次不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榈痛尾坏仁剑瑥?fù)雜問題作簡(jiǎn)化處理,將問題變得更為清晰明了,使其極易找到解題的切入點(diǎn),繼而掌握解題技巧[7].

    例6 求解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.

    解析 結(jié)合題目中給出的三次不等式方式能夠畫出如圖3所示的圖象,第一步,畫出一個(gè)坐標(biāo)軸,在坐標(biāo)軸上面標(biāo)出1,2,3三個(gè)點(diǎn)的位置,由此將坐標(biāo)軸劃分為4個(gè)區(qū)間;第二步,把靠近右邊區(qū)間看作為正,其它的看作為正負(fù)相間,在各個(gè)區(qū)間內(nèi)標(biāo)出正負(fù)號(hào);第三步,用“+”表示不等式大于0,用“-”表示不等式小于0,這樣能更為形象地觀察到不等式的區(qū)域,可明顯得出x的取值范圍是1<x<2或者x>3.

    圖3 不等式曲線圖使用“穿根法”進(jìn)行解題時(shí),應(yīng)先畫出一個(gè)坐標(biāo)軸,再在坐標(biāo)軸上面繪制出不等式的情況,結(jié)合所畫坐標(biāo)軸及穿線順序判斷不等式的大小情況,這一解題技巧顯得簡(jiǎn)單、直觀,解題難度有所降低.

    總而言之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,解題訓(xùn)練是相當(dāng)關(guān)鍵的構(gòu)成部分,是學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的主要途徑與渠道,尤其是在不等式教學(xué)實(shí)踐中,教師要充分考慮到不等式知識(shí)的廣泛運(yùn)用,精心設(shè)計(jì)多種多樣的題型展開不等式解題訓(xùn)練,使其通過親身實(shí)踐掌握大量的不等式解題技巧,逐漸樹立起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,全面提升他們的數(shù)學(xué)解題水平.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 魯亞萍.核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)不等式的解題思路研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo),2022(17):9-11.

    [2] 李光星.基于高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧分析[J].數(shù)理化解題研究,2021(19):16-17.

    [3] 古智良.高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧分析[J].考試周刊,2021(52):75-76.

    [4] 陳大祥.淺析新課改下高中數(shù)學(xué)基本不等式解題技巧[J].數(shù)理化解題研究,2021(12):48-49.

    [5] 黃細(xì)盈.高中數(shù)學(xué)不等式難點(diǎn)有效解題方法分析[J].數(shù)學(xué)大世界(上旬),2021(02):81.

    [6] 祝永華.高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型解題技巧分析[J].中學(xué)教學(xué)參考,2020(35):29-30.

    [7] 丁曉軍.數(shù)學(xué)思想在高中不等式解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究,2020(30):12-13.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

    收稿日期:2023-05-05

    作者簡(jiǎn)介:沈子儒(1987.9-),男,安徽省亳州人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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