基于學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的幾何教學(xué)淺析

謝建金

【摘 要】 ?為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，教師要應(yīng)用好課本資源，通過由淺入深的逐層滲透來提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)積極性.同時(shí)，在幾何教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多觀察、多實(shí)踐，通過識圖、作圖提升抽象思維能力和建模能力.另外，要重視相關(guān)內(nèi)容的引申和拓展，引導(dǎo)學(xué)生通過類比實(shí)現(xiàn)知識的鞏固和內(nèi)化，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué)；抽象思維；解題能力

立體幾何和解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，解決此類問題需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力，而這方面能力往往是高中生較為薄弱的，因此，高中數(shù)學(xué)幾何部分也就自然地成了教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).在幾何教學(xué)中，部分教師認(rèn)為學(xué)生在面對幾何圖形時(shí)容易出現(xiàn)畏難情緒就是因?yàn)閷W(xué)生接觸的圖形不夠多，不夠復(fù)雜，因此，在教學(xué)中常利用一些復(fù)雜圖來提升學(xué)生看圖和識圖能力，這樣不重視由淺入深的引導(dǎo)往往容易打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，不利于學(xué)生發(fā)展.為此，教學(xué)中不能好高騖遠(yuǎn)，要切實(shí)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，重視基礎(chǔ)知識的積累和建構(gòu)，以此循序漸進(jìn)地提升學(xué)生解決問題的能力 [1] .基于此，筆者提出了幾點(diǎn)幾何教學(xué)實(shí)施方案，供參考.

1 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)

在小學(xué)階段就利用“拼一拼”“看一看”潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，然而學(xué)生在面對幾何問題還是會因空間思維能力不強(qiáng)而產(chǎn)生畏難情緒，為此，授課時(shí)教師不宜直接拋出幾何問題，這樣學(xué)生會因開頭難而產(chǎn)生厭學(xué)情緒，不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展 [2] .教學(xué)中教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶舊知或聯(lián)想生活實(shí)際，即從學(xué)生最為熟悉的內(nèi)容出發(fā)，消除學(xué)生的畏難情緒，讓學(xué)生信心滿滿地進(jìn)行新知的學(xué)習(xí).

案例1 ??探究“直線與圓的位置關(guān)系”.

師 ??在初中的時(shí)候也學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系，回憶一下，兩者的位置關(guān)系有哪幾種，分別是怎樣判斷的呢？

教師在新知引入時(shí)并未直接拋出課本問題讓學(xué)生去探究，而是從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)，通過舊知的過渡使新知具有熟悉感，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的熱情.根據(jù)課堂反饋，大多學(xué)生對之前所學(xué)的了如指掌，這也為新知的探究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

師 ??大家都說得非常好，根據(jù)d與r的大小關(guān)系可以判定二者的位置關(guān)系.

接下來教師又繼續(xù)提問，讓大家復(fù)習(xí)直線方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，為學(xué)生從代數(shù)的思路去證明兩者的關(guān)系做好充分的準(zhǔn)備.

師 ??已知直線l：x+3y－6=0和圓C：x 2+y 2－2x－4=0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.（教師 PPT 展示題目1）

問題給出后，大多數(shù)學(xué)生利用以前的經(jīng)驗(yàn)，先將圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到直線的距離判斷兩者的位置關(guān)系，也有些學(xué)生想借助圖象來尋找問題的突破口，為了讓學(xué)生可以從解析幾何的思路進(jìn)行求解，教師利用問題“引一引”，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)另外一種解決方法，即“代數(shù)法”.

師 ??試想一下公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的解是否有什么聯(lián)系呢？

在問題的指引下，學(xué)生聯(lián)想到利用比較Δ與0的大小關(guān)系來判斷位置關(guān)系，這個(gè)思路打開后，學(xué)生很快找到了問題的求解方向.

生1 ??將直線l與圓C方程聯(lián)立，由x+3y－6=0得x=6－3y，代入圓C方程并消元得y 2－3y+2=0，Δ=（－3） ?2－4×1×2=1>0，方程有兩個(gè)解，所以直線l與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，兩者相交.

師 ??非常好，生1得出的結(jié)論與你們之前的結(jié)論是否一致呢？

生齊聲答 ??一致.

師 ??大家看下這個(gè)問題應(yīng)該如何解決.（教師 PPT 展示題目2）

若直線l：y=x+b與圓C：x 2+y 2=2恒有公共點(diǎn)，求b的取值范圍.

生2 ??方程聯(lián)立并消去y得，2x 2+2bx+b 2－2=0，Δ=（2b） ?2－4×2（b 2－2）=16－4b 2≥0，所以當(dāng)－2 ≤b≤2時(shí)，方程恒有公共點(diǎn).

生3 ??由已知圓C的圓心的坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，圓C到直線的距離d= ?－1×0+1×0－b ??1 2+1 2 ?= ?b ??2 ?.當(dāng)d≤r時(shí)， ?b ??2 ?≤ 2 ，即 b ≤2，所以當(dāng)－2≤b≤2時(shí)，方程恒有公共點(diǎn).

師 ?：很好，能從不同的角度去分析，展示了兩種解法不同的魅力.

學(xué)生探究的熱情高漲，教師又給出了第3個(gè)題目：直線l：y=ax+b和圓C：x 2+y 2=c（c>0）恒有公共點(diǎn)，求c的取值范圍.

思路1 ??代數(shù)法，學(xué)生利用課本講解的代數(shù)法求解，將方程y=ax+b和x 2+y 2=c（c>0）聯(lián)立，消元得出（a 2+1）x 2+2abx+（b 2－c）=0，根據(jù)Δ≥0 求出c的取值范圍.

思路2 ??幾何法，根據(jù)圖形分析可知，直線l恒過定點(diǎn)（0，b），圓C的圓心為（0，0），半徑為 c ，由已知兩者恒有交點(diǎn)，所以d≤r，根據(jù)生3的解題方法求解.

教學(xué)中通過由淺入深，由舊知到新知，數(shù)形相結(jié)合的方式逐層滲透，不僅讓學(xué)生熟練地掌握了課本內(nèi)容，又與舊知進(jìn)行了有效的串聯(lián)，進(jìn)而將新的解題方法和解題思路內(nèi)化至原有的“直線與圓位置關(guān)系”的體系中，使認(rèn)知更完善，視野更寬廣.同時(shí)，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，若用代數(shù)的思路求解，雖然思路簡單，但是計(jì)算一般較為復(fù)雜，結(jié)合圖形往往會達(dá)到簡化計(jì)算過程的目的，潛移默化地滲透數(shù)形結(jié)合思想.

總之，在幾何教學(xué)中不要急于求成，要發(fā)揮好新知承上啟下的作用，通過舊知引入為新知的學(xué)習(xí)掃清障礙，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心；通過適當(dāng)?shù)挠蓽\入深的拓展，激發(fā)學(xué)生探究的熱情；通過不同方法的嘗試，展現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的魅力.

2 構(gòu)建模型，逐層突破

立體幾何問題一向是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，主要原因是學(xué)生的模型意識不強(qiáng)，沒有形成空間意識，不能將空間問題更好地轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，從而無法應(yīng)用平面幾何的知識進(jìn)行求解，為此，在教學(xué)中可以應(yīng)用多媒體、實(shí)體模型等，先進(jìn)行幾何建模，通過對模型的反復(fù)觀察逐漸建立空間思維 [3] .

例如 ??線與面是立體幾何的重要內(nèi)容，為了培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教師用 PPT 展示圖1，引導(dǎo)學(xué)生通過對線面的反復(fù)觀察探索多重可能性，借助模型培養(yǎng)空間思維和建模意識，從而通過提高學(xué)生的空間思維能力培養(yǎng)學(xué)生解決幾何問題的能力，幫助學(xué)生攻克立體幾何這一難關(guān).

案例2 ??如圖2，已知ABCD是矩形，PA垂直于平面ABCD，M，N分別為AB，PC中點(diǎn)，∠PDA=45 ° ，求證MN⊥面PCD.

解析 ??根據(jù)已知取PD中點(diǎn)Q，連接AQ，由已知易得MN∥AQ，將問題轉(zhuǎn)化為證明AQ與面PCD垂直，問題迎刃而解.

空間思維能力對高中幾何學(xué)習(xí)尤為重要，因此，教師在講解基礎(chǔ)知識后要重視學(xué)生空間思維能力的培養(yǎng)，從簡單題目、簡單模型入手，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力.在教學(xué)中可以讓學(xué)生畫一畫，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到面，再到立體，建立起幾何空間，通過觀察和探究指引學(xué)生將立體圖形逐漸平面化，這樣通過平面與立體的相互轉(zhuǎn)化提升學(xué)生的解題能力和思維能力.

3 舉一反三，精雕細(xì)琢

適當(dāng)?shù)撵柟叹毩?xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的必經(jīng)之路，雖然立足于課本，通過由淺入深，循序漸進(jìn)的引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)了減負(fù)增效、夯實(shí)基礎(chǔ)的目的，然數(shù)學(xué)題目往往是復(fù)雜多變的，若沒有適當(dāng)習(xí)題的拓展和鞏固，僅依賴于課本教學(xué)顯然有些不夠，因此，在教學(xué)中教師需要精挑細(xì)選一些練習(xí)題，讓學(xué)生在解題中積累解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會舉一反三.

案例3 ??已知直線l：y=2x－2，橢圓C： x 2 5 + y 2 4 =1，試確定橢圓C與直線l的位置關(guān)系.若有交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo).

思路1 ??根據(jù)求圓與直線位置關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，可以將直線l：y=2x－2和橢圓C： x 2 5 + y 2 4 =1聯(lián)立，消去y，得出方程x（3x－10）=0，解得x分別等于0和 10 3 ，由此可知橢圓C與直線l相交，交點(diǎn)分別為（0，－2）， ?10 3 ， 14 3 ?.

思路2 ??由已知可得，點(diǎn)（0，－2）在橢圓C上，橢圓的中心為（0，0），根據(jù)已知繪制如圖3所示的圖形，從圖形上不難看出直線l與橢圓C相交，其解題思路與案例1中問題3的解題思路相似，利用畫圖法進(jìn)行分析.

案例3是案例1的一個(gè)拓展，由圓聯(lián)想到橢圓，拓展后學(xué)生自然可以將已有經(jīng)驗(yàn)遷移至解決雙曲線和拋物線的問題上，這樣通過類比不僅可以進(jìn)一步深化知識的理解，而且便于知識體系的建構(gòu)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更有層次性和系統(tǒng)性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)學(xué)一個(gè)通一類的目的，有利于學(xué)生解題能力的提升.

4 結(jié)語

總之，任何能力的提升都需要經(jīng)歷由淺入深的過程，學(xué)生的抽象思維能力培養(yǎng)亦是如此，教學(xué)時(shí)切勿急于求成，應(yīng)多關(guān)注于學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，尤其在學(xué)習(xí)習(xí)慣培養(yǎng)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)，如解題步驟，必要定理說明等，這些細(xì)節(jié)往往直接關(guān)系到成敗.同時(shí)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)的總結(jié)和反思，將解題方法和解題經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化至自己的認(rèn)知體系中，從而構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)體系，促進(jìn)解題能力的提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊博，鄧鵬.高中學(xué)生幾何推理能力層級結(jié)構(gòu)模型[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（15）：96+98.

［2］童建福.數(shù)學(xué)思想方法在解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用[J].理科考試研究（高中版），2016，23（01）：8.

［3］劉麗靜.論立體幾何知識遷移能力培養(yǎng)[J].考試周刊.2015（77）：56+19.