關注知識本質(zhì) 構(gòu)建有效課堂

☉陳秀清 吳云敏

田忌賽馬的故事在中國流傳了2000 多年，但想要深刻理解它的意義，卻要借助一個不到100年歷史的數(shù)學分支——博弈論，又稱對策論來加以解釋。

現(xiàn)實生活是數(shù)學學習的起點。傳統(tǒng)的《數(shù)學廣角——田忌賽馬》的教學，教師通常更關注故事情節(jié)上的教學，強調(diào)獲勝方法的指導，卻忽視體會解決問題策略的多樣性，忽視從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略、發(fā)展優(yōu)化意識，缺乏引導學生從數(shù)學知識的本質(zhì)去分析、解答問題，把《數(shù)學廣角——田忌賽馬》當成故事游戲活動課，偏離了教材滲透統(tǒng)籌優(yōu)化數(shù)學思想方法的編寫意圖，從而影響了課堂教學的質(zhì)量。因此，應該從關注知識的本質(zhì)出發(fā)，從而建構(gòu)有效課堂。

一、溯本求源，探索知識起點

傳統(tǒng)的《數(shù)學廣角——田忌賽馬》的教學，側(cè)重的是獲勝方法的指導與總結(jié)。反映到“田忌賽馬”獲勝的方法上，就是“調(diào)換順序”“用田忌最弱馬去消耗齊王最強的馬”等方法的概括指導。但是，在練習后發(fā)現(xiàn)，學生只會生搬硬套所學方法，并不理解其中原委。究其原因有兩點：一是學生不理解解決問題策略的多樣性；二是不習慣運用從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略。因此，要提高課堂教學的有效性，教學必須從學生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，溯本求源，探索對策論的知識起點。

（一）重溫排列方法，鏈接學生思維的起點

教學導入時，可在回憶排列的方法上著手。對學生來說，他們是第一次接觸對策論，需要理解：要想找出最優(yōu)策略需要找出解決問題的所有方法，具有一定的排列組合的思想是很重要的。教師可以這樣處理：（1）提問：3，5，8 這3 個數(shù)字有哪些排列方法呢？（2）引導：按照一定的順序進行排列真好，能找得又快又對，既不重復也不遺漏。（3）思考：這六組數(shù)字哪一組最好呢？（沒有對手體現(xiàn)不出最好）。這樣，通過回憶排列的方法，在學生心中埋下運用排列的方法找出解決問題所有策略的種子，引導學生用數(shù)學的眼光看問題。

（二）抓住知識聯(lián)系，找準學生思維的生長點

學生思維在特定環(huán)境中對獲得的信息進行加工，形成了認知活動。教學時，教師可以設計情景再現(xiàn)、互動游戲等一系列具有針對性、含有一定內(nèi)在邏輯的數(shù)學思維活動，為學生在特定的情境中形成特定的記憶，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，積累數(shù)學思維素材，使思維活動有連接點和生長點。

“田忌賽馬”被公認為是最為經(jīng)典的對策選擇案例。策略性環(huán)境在社會生活中是很常見的。學生要學會了解在策略性環(huán)境下，應該怎樣采取行動。讓學生經(jīng)歷自主探究的過程，體驗解決問題策略的多樣化，理解為了確定采取的行動是最優(yōu)方案，必須考慮對方會怎樣選擇行動方案［1］。

二、高屋建瓴，挖掘知識本質(zhì)

“田忌賽馬”是應用對策論，最古老最典型的案例，故教材選這個故事作為例題，它研究的是競爭，雙方采取什么對策，才能戰(zhàn)勝對手。教學必須符合學生的心理特征和年齡特點，引導學生從故事中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，并運用數(shù)學思想方法分析問題和解決問題。其實，讓學生感受統(tǒng)籌優(yōu)化數(shù)學思想方法并不簡單。在實際教學中，學生會出現(xiàn)“沉浸在比賽的興奮當中，很難冷靜思考，導致不能得出必勝策略”“不能按一定的順序去做，結(jié)果導致匯報時思路也不清晰”等各種問題。因此，要從追尋對策論數(shù)學文化的“源”和“流”，探究“反敗為勝”的概率等方面入手，引導學生去體驗，挖掘?qū)Σ哒摰闹R本質(zhì)。

（一）深入教學策略

語文有同題課文，語文課教學時常常把這些策略、故事蘊含的哲理分析得非常透徹。因此，教學時我們應當著重引導學生用數(shù)學的眼光看待故事，找尋故事背后的數(shù)學知識本質(zhì)。但是，在實際教學中，教師常常因為學生了解這些策略從而簡單對待，反而會導致教學失誤或不到位。

以“以弱勝強”為例，要讓學生明白策略不是憑空想象，是需要通過討論交流、推理驗證等方式獲得解決問題的策略?！耙匀鮿購姟辈呗缘慕虒W是否到位，有兩個衡量指標。第一，是否引導學生通過有序思考找出各種應對策略。策略是要基于全局考慮，這是學生生活和學習中比較缺乏的。因此，教學必須引導學生有序思考，一一排列，找全田忌的6 種不同應對策略。第二，必須讓學生明白，孫臏找到的這種可贏的策略是在齊王不改變自己的出馬順序為前提的。學生在運用田忌的6 種不同策略與齊王的馬一一比對中，找到唯一能贏的策略，從而更深刻地體會“謀略在先、以弱勝強”的不易，感悟“統(tǒng)籌”的魅力。學生在獨立思考、合作交流中，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗［2］。

（二）啟發(fā)提問深入探究

不少教師在教學中常常只關注得出的結(jié)論的正確性，缺乏深入探究結(jié)論背后的數(shù)學知識的本質(zhì)。例如，學習《田忌賽馬》時，得出田忌的6 種不同應對策略只有1 種是能贏的策略后，教師會小結(jié)：“我們就把這種策略叫做最優(yōu)策略。”草草結(jié)束新課的教學。但是，這樣的方式?jīng)]有讓學生的思維得到拓展，參與教學活動沒有達到一定的深度。教師可以這樣處理：（1）提問：田忌的馬的出場順序一共有多少種方法？（2）引導：按照一定的順序進行填表，既不重復又不遺漏。（3）觀察：這六種排列方法中只有一種能贏齊王。（4）思考：齊王每更換一次馬的出場順序，田忌有多少種排列方法來應對？（6 種）。（5）追問：不管齊王的馬怎么出場，田忌都有贏的可能，贏得可能性是多少？（1/6）。不是說齊王的馬的實力更強一些嗎？（所以齊王贏的可能性是5/6）。這樣，在研究田忌有哪幾種應對齊王的策略時，通過一一排列，找全田忌的6 種不同對策，發(fā)現(xiàn)田忌獲勝的可能性只有1/6。這樣的教學活動給學生留下深刻的理解和長久的思維激動，進一步挖掘了數(shù)學知識的本質(zhì)。

這樣，在豐富的活動中不僅讓學生感悟出用列舉法解決問題的策略，滲透一一對應的數(shù)學思想，而且培養(yǎng)了學生的自主參與意識和自主探究能力，使學生體會到數(shù)學的豐富內(nèi)涵，感受到數(shù)學知識就在生活中。

三、兒童視角，體悟數(shù)學價值

觀察能力的培養(yǎng)是小學數(shù)學活動的重要組成部分。觀察是兒童有意識地對事物的數(shù)與形的特點進行感知的活動。在數(shù)學中，不論是對基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)與形的結(jié)合、數(shù)據(jù)關系的掌握，還是對圖形的識別，都離不開細致的觀察。在小學數(shù)學課堂的觀察活動中，要細致，要有目的、有方向，才能更好地找出規(guī)律，提高教學的有效性。

《田忌賽馬》是學生熟悉的故事，可以通過再現(xiàn)兩次比賽，結(jié)合這兩次比賽的不同結(jié)果，借助信息技術手段將視頻分成兩部分，分別導入進電子書包中，在學生觀看完比賽后，提問：在每次比賽中，田忌是怎樣派馬迎戰(zhàn)齊王的？其意圖有兩個：一是判斷雙方馬的實力，二是幫助學生積累觀察經(jīng)驗——觀察中學會把握變換的關鍵性因素。電子書包環(huán)境下的視頻演示使得整個變換過程清楚明了，學生在觀看視頻的過程中很快對知識有了直觀認識。同時，也為決策的作用及在比賽中可能產(chǎn)生的不同結(jié)果有一個整體的理解。

兒童的天性就是好“玩”?！巴妗睌?shù)學的特別之處就在于學習者在輕松愉悅的心理狀態(tài)下，有意識地去“做”。對策問題作為現(xiàn)代應用數(shù)學的一個重要研究對象，它在日常生活以及社會科學研究中都有廣泛的應用。［3］對于四年級學生來說，他們的注意力、理解力以及認知能力有限，領會對策論這種高深的數(shù)學知識和方法相對是不容易的。因此，要借助學生喜歡的故事和游戲等手段，進行教學，營造生動活潑的教學氛圍，在輕松愉快的活動中，使教學由難變易。

游戲激趣，體會從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略。博弈，是參與者使用一定的策略進行互動，來使自己利益最大化的一個過程。對學生來說，怎么尋找最優(yōu)策略是一個難點。因此，必須在學生已有的知識經(jīng)驗和最優(yōu)策略中間，找到一個連接點，這可以用“比大小游戲”這樣生動的例子來實現(xiàn)。（1）明確游戲規(guī)則：用3，5，8（紅牌）這幾張數(shù)字牌和4，6，9（黑牌）進行比大小，三局兩勝。（2）觀察：紅牌（3，5，8）有且只有2 張大于黑牌（4，6，9）2 張牌，明顯4，6，9 的實力強。（3）思考：3，5，8（紅牌）這幾張數(shù)字牌的6 組排列中，有能戰(zhàn)勝4，6，9 的排列嗎？（4）操作：運用貼牌的方式讓紅牌（3，5，8）的6 種排列一一與黑牌（4，6，9）進行比賽。尋找能獲勝的排列。（5）追問：紅牌（3，5，8）的這6 種排列中，能戰(zhàn)勝4，6，9 的有幾種？（1 種）

通過比大小游戲，讓學生體會運用不同的排列方法進行比賽有不同的結(jié)果。在操作中，讓學生感受到獲得實力稍弱的紅牌獲勝的方法不是碰運氣的，而是通過有序思考，一一排列獲得的，引導學生從數(shù)學的角度分析問題，體悟數(shù)學價值［4］。這樣，不僅把適當?shù)膬?nèi)容設計成兒童喜愛的游戲?qū)W習活動，而且使課堂變得更有生命力，更有活力。

四、關注知識本質(zhì)、構(gòu)建有效課堂策略

（一）創(chuàng)設生活情境，合理引入數(shù)學概念知識

數(shù)學課堂導入練習，對激發(fā)學生深入學習數(shù)學知識有很大幫助，也是整個數(shù)學概念理解教學中的一個重要環(huán)節(jié)。一個優(yōu)秀有效的數(shù)學課堂導入練習，可以迅速激發(fā)學生對未來所學新知識的強烈好奇心，讓他們迅速與繼續(xù)學習相關新知識的能力聯(lián)系起來，有一個相對清晰的系統(tǒng)認識，并在心里有一定深度的學習期待，使他們未來的后續(xù)學習達到事半功倍的效果。目前，國內(nèi)的教育工作者也越來越重視對學生的課堂學習導入進行相關研究，并由此提出和設計了許多關于課堂知識導入的教學方法，包括從培養(yǎng)學生興趣的實際生活情況出發(fā)，創(chuàng)設生活情境，有效、快速吸引學生的主觀注意力；引導學生從數(shù)學課堂學習開始就自覺跟隨數(shù)學教師的思路步伐，深入學習數(shù)學概念……

（二）培養(yǎng)學生的實踐能力，加強實踐操作

錢守望教授一直主張，在課堂教學內(nèi)容中，要為學生提供更多的獨立觀察、思考和探索的時間，提供更多的實踐活動空間，為學生提供更多的展示才華的機會，提供更多的學習體驗，提供成功學習帶來的精神愉悅，讓所有學生自始至終參與和體驗自己知識形成和獲取的全過程。因此，教師在課堂上要進一步改變傳統(tǒng)的灌輸式課堂和教學管理方式，倡導創(chuàng)新的小組教學合作和教學研究方式，注重對學生實驗和動手綜合能力的系統(tǒng)培養(yǎng)，使低年級學生在各種小組實踐和合作環(huán)境中逐步發(fā)揮出最大的創(chuàng)造性和主觀能動性，并親身體驗一個數(shù)學概念最終形成體系的復雜過程，進一步加深對數(shù)學知識的全面認識，促進教師專業(yè)水平和能力的進一步提高，為教師今后更好地學習和實踐奠定良好的基礎［5］。

（三）回歸數(shù)學課本，正確解讀數(shù)學概念

培根曾提出，“數(shù)學是思維的體操”。因此，數(shù)學教師在數(shù)字化教學實施活動中，要真正有效實現(xiàn)數(shù)學課堂的實際教學任務目標，就必須正確解讀數(shù)學概念。每一個講解數(shù)學概念的課堂教學環(huán)節(jié)都需要有自己獨特的實踐教學思路。因此，廣大教師在實踐教學活動前要正確解讀這些數(shù)學概念，并投入到研究中去，從而更加正確、深入地解讀自己的數(shù)學概念，挖掘這些數(shù)學知識，進而構(gòu)建高效的數(shù)學課堂。開展小學數(shù)學概念理解教學，最重要的內(nèi)容是讓低年級學生深入理解抽象數(shù)學知識所包含的知識本質(zhì)，引導學生逐步揭開抽象數(shù)學知識的厚重神秘面紗。這必然要求一線教師要有合適的方法正確引導學生，結(jié)合相關教材逐步為學生解讀概念的本質(zhì)。

總之，數(shù)學知識本質(zhì)是一種數(shù)學意識和數(shù)學思想精神，數(shù)學與生活的相互交融。在課堂中引導學生喜愛數(shù)學、理解數(shù)學、挖掘數(shù)學知識本質(zhì)，不僅有利于學生思維能力與道德情感的綜合發(fā)展，而且有利于學生數(shù)學精神的培養(yǎng)。［6］