數(shù)學大概念的內涵解析與單元大概念的提取策略

于勇

編者按

2022年4月，義務教育課程方案和課程標準發(fā)布，其中的熱詞、關鍵詞之一便是大概念教學。大概念教學是一種教學方式的變革，體現(xiàn)了課程觀的變化，意味著以核心素養(yǎng)為導向的課程與教學改革正在發(fā)生。那么，大概念教學是什么、為什么、怎么做？2022年第22期，就“大概念教學”我們組織策劃了專題稿件。本期繼續(xù)聚焦“大概念教學”話題，遴選單元大概念的提取、學科課堂的問診與矯治實踐樣例。

［摘要］ 以大概念為組織邏輯的單元整體教學是有效培植、發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要抓手與基本路徑。大概念視角下的數(shù)學單元整體教學重塑需要立足大概念提取、進階式單元目標規(guī)劃、抽象與具體融通互動的認知過程建構、評價系統(tǒng)設計等眾多層面；理解大概念的內涵及大概念的提取是關鍵，也是難點所在；深度研讀課程標準、尋跡核心任務、追溯認知本原、把握素養(yǎng)旨歸、透析知能目標等是提取數(shù)學單元大概念的一般性策略。

［關鍵詞］ 小學數(shù)學；大概念；內涵解析；提取策略；單元整體教學

核心素養(yǎng)導向的課堂轉型強調“真實性”學習，指向培養(yǎng)學生解決真實問題的素養(yǎng)與能力，教會學生“像專家一樣思考”。大概念是素養(yǎng)的內核和錨點，只有學生理解、建構起大概念，才能真正形成學科核心素養(yǎng)，擁有專家思維。當下，大概念已被運用于數(shù)學學科領域，用來優(yōu)化學科知識結構達到課程的“少而精”，用來打破學科壁壘達到跨學科融合及學科與生活的聯(lián)通。那么，數(shù)學大概念具有怎樣的特征？如何提取數(shù)學單元大概念？解決這些問題對于大概念教學、建構數(shù)學大概念，進而形成數(shù)學核心素養(yǎng)等意義重大。

一、數(shù)學大概念的內涵解析

教育哲學及心理學有關概念結構與關系、類型與層次的研究是大概念在教育領域研究的濫觴。對大概念內涵的理解可以溯源至布魯納提出的“一般觀念”、懷特海提出的“非惰性觀念”、奧蘇貝爾提出的用來統(tǒng)攝事實性知識的“上位概念”、布魯姆提及的“基本概念”、菲尼克斯提及的“代表性概念”等。但這些觀點多是點狀或碎片化研究的成果，難免缺乏系統(tǒng)性、理論性、實踐性論證，真正對大概念展開系統(tǒng)研究則起源于以格蘭特·威金斯、杰伊·麥克泰格與溫·哈倫等為代表的課程專家和科學研究領域里的專家。

（一）大概念的內涵

“大概念”具有豐富的生活價值與內在的可遷移價值，其本質是一種意義體結構、概念性工具，是能夠用來統(tǒng)領整合單元零碎、散落的教學內容及由存在邏輯關系的學科知識聯(lián)結而成的結構體系的“內核”觀念。

1.“大”為何意。很多教師出于“大”字所具有的體積大、程度深、性質重要等表面字義，會把大概念理解為學科的基礎概念或重要概念，即把大概念狹義理解為學科中的某一具體概念。威金斯和麥克泰格指出，大概念并非一個包含很多內容、龐大的概念，也不是一個基礎概念。相反，大概念是指學科的核心。這里所說的“核心”是指大概念在知識體系或邏輯關系中居于上位，可以統(tǒng)攝其下位的概念性知識、事實性知識等，具有很強的遷移價值。在學科教學范疇內而言，大概念可以聚合、聯(lián)通學科一定范圍內的各種概念，在有效達成學科內知識互聯(lián)互通及學生深度理解的基礎上，構建起包含具體與抽象互動的認知結構，進而促成學生的高通路遷移。比如，線段的長度、角的角度（弧度）、平面圖形的周長和面積、立體圖形的體積等內容，表面上看沒有任何關聯(lián)，實則它們都是在做“度量”這件事，以度量單位為基礎對量展開研究，長度、角度、面積等實際上都是若干度量單位的累加。“以單位為建構基礎，去進行量的度量”便是這些相對散亂、零碎內容的大概念，以此為基礎設計學習活動，會對學生數(shù)學建模、形式推理、復雜交往等持續(xù)發(fā)生作用。

2.為何謂之“大”。因大概念以未來眼光廣泛關注學生要面對的真實世界，具有厚重的生活價值，而謂之“大”。核心素養(yǎng)與當前極力倡導的深度學習兩者的核心與精髓皆指向真實性，也就是能夠將學校所學調用、遷移至現(xiàn)實世界中去解決真實問題的能力。反映專家網狀思維的大概念，既打通學科內和學科間相互融通的學習，還構筑了一座由學校教育通往現(xiàn)實世界的堅固橋梁。另外，因大概念具有超強的邏輯內聚力、生長力，而謂之“大”。大概念作為復雜認知結構體系的核心，發(fā)揮著“概念魔術貼”的作用，能夠不斷地整合、吸納、組織信息片段，并將之有機匯集至結構體系中。比如，整數(shù)和小數(shù)都是基于十進位值制計數(shù)法，對相同計數(shù)單位進行累加，對不同計數(shù)單位進行組合；分數(shù)則是通過“分”的過程構造出更小的單位，然后以之為標準去度量，看有幾個這樣的單位。從這一角度審視數(shù)的概念，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)便有了一致性，都可看作若干計數(shù)單位的累加，“認數(shù)”是以計數(shù)單位為基礎對量展開研究，也可以歸屬至“度量”這一大概念統(tǒng)領的認知結構體系中。由此可見，“以單位為建構基礎，去進行量的度量”這一大概念幾乎可以涵蓋小學“幾何與圖形”“數(shù)與代數(shù)”兩大領域中大部分的知識與基本技能。此外，大概念也是學生認知維與技能維的生長點，他們結合大概念通過自主探究、合作交流等方式習得的內容會遠遠超出教師的預料，特別是用有著共同屬性的具體實例呈現(xiàn)、表征大概念時，各種類型學生都能積極、主動地參與其中，他們的情感維得以長足發(fā)展。

3.“概念”指什么?！按蟾拍睢敝小案拍睢币辉~的英文是“idea”，而不是“concept”。故此，崔允漷等學者將其譯為大觀念。狹義的“概念”的確是大概念常見呈現(xiàn)形式，但絕不是唯一的表現(xiàn)形式。威金斯和麥克泰格認為，大概念可以各種形式體現(xiàn)，如一個詞匯、一個短語、一個句子或一個問題等。比如，“年、月、日”單元的教學，一方面讓學生通過對白天與黑夜的往復交替、月亮圓缺更替、四季變換輪回的周期性理解與刻畫，從中體會日、月（陰歷）、年等時間單位是自然規(guī)律的真實反映；另一方面，引導學生了解朱理亞歷、奧古斯都歷等數(shù)學史料，向學生直接揭示公歷“月”的時間乃人為規(guī)定，如此才有了大月與小月、平月與閏月之分。基于以上分析，可以把“‘年、月、日是自然性與人為性的統(tǒng)一”作為本單元的大概念，這是一個句子，其下位大概念“周期性輪回”則是一個短語。

（二）數(shù)學大概念的內涵

數(shù)學大概念是基于數(shù)學學科本質及對核心內容的意義構建，經過長程理解與概括而形成的統(tǒng)領性表達與結構化設計，是大概念理念在數(shù)學學科教育中的綜合運用與實踐落地，是學生發(fā)展數(shù)學具體與抽象的協(xié)同思維，以及對所學知識不斷現(xiàn)實化的概念性工具和結構性聚合器。一般來說，數(shù)學大概念具有以下基本特征：

1.數(shù)學大概念是理解的錨點，有助于學生對數(shù)學本質的理解。理解就是要像專家那樣思考，編制一幅地圖或一個網絡，在這幅地圖或這個網絡中，既有具體案例，也有抽象原理，由此形成包含具體與抽象融通、互動的復雜認知結構。大概念正是對專家思維的反映，能夠促進學生基于理解建構起層次豐富、聯(lián)結多樣的認知結構，由此實現(xiàn)高通路遷移，達成學習創(chuàng)新。

2.數(shù)學大概念能夠賦予學生參與探究的能力。大概念是各領域專家思考和感知問題的方式，它的意義與價值對于學習者來說是晦澀、內隱的，甚至有可能會產生誤解。特別是隨著大概念的增“大”與不斷“上位”，其生活性與情境性卻隨之變弱，變得更不易被理解。這已充分表明，大概念是需要不斷揭示的，只有通過學習者的持續(xù)深入探究，才能充分把握這個核心。

3.數(shù)學大概念具有極大的遷移價值，支持數(shù)學與其他學科、學生生活發(fā)生關聯(lián)。數(shù)學大概念將眾多的數(shù)學事實、生活現(xiàn)象或實例，以及不同層級的概念聚合為知識量少而普適性極強的認識結構整體，學生理解了大概念，就意味著他們擁有了相應的解釋力和遷移力。隨著對大概念的理解揭示及層級構建，其將應用于跨學科課程、同一學科的后續(xù)課程或學校以外的其他情境中，從而實現(xiàn)廣泛遷移。

二、數(shù)學單元大概念的一般性提取策略

大概念教學必須在單元中予以實施和落地。這里的“單元”不是指以專家結論為內在邏輯的內容單元，而是指以素養(yǎng)目標為邏輯組織起來的意義單元，是對大概念統(tǒng)領下的認知內容、有潛在意義的學習材料及學科資源的融合。為此，一些學者和教師形象地稱其為“大單元”。當下，單元整體教學的難點和焦點是對學科核心素養(yǎng)的落實與素養(yǎng)目標的統(tǒng)整問題，正是大概念的出現(xiàn)才使得這一問題迎刃而解?？梢?，提取并確定數(shù)學單元大概念是單元整體教學設計與實施推進的關鍵所在。

（一）基于課標解讀，探尋單元大概念

課程標準是國家課程的綱領性文件，是教師課程建構、組織教學、落實學科育人的行動指南，是對課程內容的高度凝練和概括，它面向全體學生提出了學習基本要求。結合《義務教育課程方案（2022年版）》，深度研讀《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中的“課程性質”“課程理念”發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)是學科育人的基本導向，可以從中解析出“設計體現(xiàn)結構化特征的課程內容”等跨學科大概念?！罢n程目標”是依據核心素養(yǎng)而細化的素養(yǎng)目標，可以從中提煉出學科大概念，如“模型觀念”“數(shù)據意識”等。而結合數(shù)學教材與教師指導用書等資源，研讀“課程內容”“學業(yè)質量”等板塊內容，也可以從中提取出領域或單元的大概念，如“運算的一致性”“體會圖形運動前后的變與不變”等。

（二）尋跡核心任務，概括單元大概念

基于大概念，從宏觀和微觀兩個維度重構單元整體教學目標是單元整體教學設計與實施的重要環(huán)節(jié)， 其中宏觀維度指向基于“生活價值”對單元整體教學目標做頂層設計，微觀維度指向單元目標在單元組塊、內容序列、核心任務等層面實施落實與達成的預設。大概念的理解與建構是建立在具體情境、核心問題或核心任務的基礎上，經由抽象與具體聯(lián)通、互動的路徑將認知不斷向上聚攏、融合的過程。換言之，指向問題解決、目標達成的核心任務也有可能就是單元大概念。

比如，蘇教版“方程”單元共包括“用字母表示數(shù)”“簡易方程”兩部分內容，前者是后續(xù)認知的基礎，需要將之融入“方程”單元做內聯(lián)性思考，其教學主旨應是“引導學生用字母或代數(shù)式表示特定未知數(shù)”，為列方程解決問題“設未知數(shù)、表示未知量”夯實基礎?！昂喴追匠獭敝械摹胺匠痰囊饬x、等式的性質、解方程”三塊內容共同指向“尋求未知數(shù)”，“尋求未知數(shù)與已知數(shù)間的等量關系”則是列方程解決問題的關鍵環(huán)節(jié)。由此發(fā)現(xiàn)，“方程”單元的教學主要是圍繞“表示未知數(shù)、尋求未知數(shù)、尋求未知數(shù)與已知數(shù)的相等關系”這三個核心任務而展開的。張奠宙先生為凸顯“方程”思想的核心價值與認知本質，也對方程做了重新定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)與已知數(shù)之間建立起來的等式關系?！币虼?，“基于未知數(shù)與已知數(shù)的相等關系，可以尋求未知數(shù)”的大概念，就像是清晰明確的航標，引領著教師和學生不偏不倚地圍繞核心內容、關鍵問題開展相應的數(shù)學活動。

（三）追溯認知本原，厘清單元大概念

如前所述，由于大概念是專家思維的具體表現(xiàn)，專家思維無疑也是提取單元大概念的重要來源。數(shù)學知識的產生、內涵發(fā)展都有一定的時代背景或歷史根源，大多跟人們的生產實踐與認知需要密切相關，其間也包含了專家思維。因此，借助包含專家思維的數(shù)學史料、學術著作等資源去追溯數(shù)學知識的本原，同樣可以從中發(fā)現(xiàn)單元大概念。

比如，“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”單元就可以通過追溯本原的方法提取單元大概念。查閱數(shù)學史料發(fā)現(xiàn)，除法運算方法多種多樣，最早可以溯源至古埃及的“加倍與取半”算法（如圖1），在計算19÷8時，先是對除數(shù)8加倍或取半，同時對相應結果加倍或取半，直到加倍或取半后的數(shù)字之和等于被除數(shù)19，商則是加倍或取半數(shù)16、2、1對應結果之和，即19÷8=2+1/4+1/8。10世紀末期，熱貝爾提出的算法（如圖2）與現(xiàn)在

的除法豎式比較接近，計算時把8變成10-2的形式計算，但不是采用最大數(shù)試商，而是取便于計算的數(shù)作商。后經過進一步改進，除法豎式計算還出現(xiàn)過如圖3所示的情形，這種算法過程更加直觀、自然，易于理解。

基于上述古代筆算除法方法間的異同比較，可以在更為一般的層面上提取出“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”的單元大概念，即“計算時，先把被除數(shù)分解成幾個合適的數(shù)，然后分別去除，最后把每次除得的商合并起來”。這與當下所倡導的“運算的一致性”極其契合。

（四）把握素養(yǎng)旨歸，提取單元大概念

數(shù)學核心素養(yǎng)是單元課程目標的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而形成的具有數(shù)學基本特征的必備品格、關鍵能力及正確價值觀念，其精髓在于真實性，即學生在具體的現(xiàn)實生活情境中主動調動相關知識與技能，創(chuàng)造性地解決問題的能力。數(shù)學大概念作為核心素養(yǎng)的內核和錨點，它指向教學核心內容、關鍵問題與統(tǒng)領性任務，能夠反映學科本質、關聯(lián)數(shù)學基本思想與方法。

比如，“面積”單元共包括長方形和正方形的面積、多邊形的面積、圓的面積三部分內容，教師可以在正確分析與把握這些教學內容所蘊含的學科素養(yǎng)、思想與方法基礎上，從中梳理、提取出相應的數(shù)學大概念。長方形與正方形面積的計算方法主要是通過單位面積度量法獲得的，是一種量感的體現(xiàn)；平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式是通過割補法和倍拼法推導出來的；圓的面積計算公式則是通過拼湊法推導出來的。無論是割補法、倍拼法，還是拼湊法，都充分體現(xiàn)了“轉化”這一基本數(shù)學思想（如下表）。因此，“面積”單元的教學除了注重引導學生掌握平行四邊形等圖形并能正確計算其面積等知識、技能外，更應該聚焦學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展，在面積計算公式推導的過程中滲透數(shù)學轉化思想，由此發(fā)展學生直觀想象、空間觀念、圖形推理等數(shù)學核心素養(yǎng)?；谶@一角度，就可以選擇“化歸思想”作為“面積”單元的大概念。當學生理解、建構起這一大概念后，他們也就基本擁有了自主建構和解決真實問題的能力，能夠調動相應的知識與技能，去解決現(xiàn)實生活中有關圖形特別是不規(guī)則圖形的面積計算問題，從而達到舉一反三的學習效果。

（五）透析知能目標，提煉單元大概念

固態(tài)的知識與技能、液態(tài)的過程與方法，以及氣態(tài)的情感、態(tài)度與價值觀的“三維”目標，為素養(yǎng)目標提供了“座駕”。正是由于大概念對三維目標實施的建構與指向真實性的整合，才形成了素養(yǎng)目標的完整結構。若將素養(yǎng)目標比作一架飛機，情感維引領著素養(yǎng)發(fā)展的方向，認知維與技能維是兩翼，而大概念是機體，將三個維度整合在一起，才能夠真正成為一種素養(yǎng)?？梢?，知識與技能是以大概念為內核，并將素養(yǎng)目標有機組成的，通過對數(shù)學單元各部分內容知能目標的分析、概括與抽象，也不失為提煉數(shù)學單元大概念的好辦法。

比如，“整數(shù)乘法”單元就可以基于對各年級不同整數(shù)乘法內容知能目標的分析與聚焦，提煉出單元大概念。表內乘法主要是要求學生準確編制、熟練記憶乘法口訣，熟悉口算表內乘法，提高口算技能，了解口訣之間的聯(lián)系；兩、三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算主要是要求學生在探究、討論的基礎上，理解筆算算理及多位數(shù)乘法的基本結構，掌握筆算方法，并能進行正確計算。由上述分析可知，“在理解筆算算理、掌握筆算方法的基礎上，能正確進行整數(shù)乘法計算”是貫穿“整數(shù)乘法”單元的知能目標，可以將其上升為“整數(shù)乘法是利用拆分與合并，轉換成表內乘法進行計算，并以十進位值制為依據用豎式記錄計算過程”的大概念。為使“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學能夠實現(xiàn)對算理與算法的最大化遷移，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算應側重于算理與算法的探究，引導學生經歷格子乘法、面積模型等多種將其轉化為表內乘法的學習活動，在數(shù)形結合、結構關聯(lián)中深化對“拆分與合并可助益算理和算法的理解”這一理念的表征。這正是對“整數(shù)乘法”單元大概念合理性、普適性的教學實踐論證。

總之，在厘清大概念基本內涵的基礎上，提取數(shù)學單元大概念是組織落實單元整體教學的關鍵一環(huán)。但數(shù)學單元大概念的提取路徑并不僅限于此，我們將繼續(xù)探索與優(yōu)化提取策略，深化大概念教學研究。

［參考文獻］

［1］賀慧，陳倩.大概念統(tǒng)整下的學科項目式學習設計[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2021（01）.

［2］劉徽.大概念視角下的單元整體教學構型：兼論素養(yǎng)導向的課堂變革[J].教育研究，2020（06）.

［3］ 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計（第二版）[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2020.

［4］張奠宙.數(shù)學概念教學要融入中華文化，推陳出新：談小學數(shù)學里“方程”概念的表述[J].小學教學（數(shù)學版），2014（11）.

［5］郜舒竹.筆算方法多樣性的歷史考察[J].課程·教材·教法，2016，36（01）.

［6］劉愛東.“大概念”視角：核心素養(yǎng)導向下單元整體教學的嬗變[J].小學數(shù)學教育，2021（Z1）.