數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學研究

黃小冬

［摘? 要］ 新課標明確強調，要通過數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 在這樣的宏觀背景下，相應的教學方式要進行重構，于是包括單元整體教學在內的教學方式就納入了一線教師的視野. 基于數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的需要，單元整體教學應當在傳統(tǒng)教學的基礎上，充分利用好教科書以及學生生活中的相關資源，借助體驗性更強的數(shù)學活動幫助學生完成知識體系的建構. 這樣的單元整體教學的基本架構涉及三個要素，分別為學生的學習品質、數(shù)學課程資源、數(shù)學體驗活動.

［關鍵詞］ 高中數(shù)學；數(shù)學抽象；核心素養(yǎng)；數(shù)列；單元整體教學

當前，高中數(shù)學教學面臨著宏觀背景與具體教學方式的重構現(xiàn)狀. 宏觀背景之所以需要重構，是因為隨著新課標的頒布，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)已經(jīng)成為包括數(shù)學學科在內所有學科的教學共識，而數(shù)學學科核心素養(yǎng)則更加明確了基本要素（包括數(shù)學抽象在內的六個要素）. 新課標明確強調，要通過數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界. 在這樣的宏觀背景下，相應的教學方式要進行重構，于是包括單元整體教學在內的教學方式就納入了一線教師的視野. 單元整體教學是相對于傳統(tǒng)的以課時、節(jié)為單位的課堂教學而言的. 所謂單元整體教學，就是把一個單元看成一個有機的學習和認知整體，即在明確的學習目標統(tǒng)領下，對一個單元的學習內容進行系統(tǒng)規(guī)劃和設計，關注知識邏輯，注重學生發(fā)展，并在此基礎上建立不同課文內容間的聯(lián)系，充分彰顯單元學習的價值，使學生的學習既有明確的目標，又有清晰的路徑，進而最大可能地促進學生能力發(fā)展和素養(yǎng)提升［1］.

一線教師往往關注的就是教學方式，單元整體教學作為一種新型的教學方式，教師在理解時首先要形成理論認識. 康德認為，知識在本質上是一個整體，正確使用人的理性可以指導主體將支離破碎的、不完整的知識，統(tǒng)整上升到更高層次的整體知識［2］. 隨著基礎教育課程改革的推進，強調知識的整體性和單元整體作用的教學觀愈加受到重視［3］. 在這樣的認識下，在核心素養(yǎng)培育的背景下，單元整體教學也就應運而生. 借助單元整體教學來發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，成為當前高中數(shù)學教學中過程與目標關系的體現(xiàn). 數(shù)學抽象是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的第一要素，因此筆者選擇在數(shù)學抽象的視角下研究單元整體教學. 用《普通高中教科書·數(shù)學·選擇性必修第二冊》（人教A版）（下文簡稱教材）第四章“數(shù)列”這一知識，可以充分建立起數(shù)學抽象素養(yǎng)培育視角，同時也可以實施單元整體教學. 下面就從基本架構、案例分析、研究反思等三個角度進行闡述.

數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學的基本架構

新課標描述數(shù)學抽象時是這么說的：數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng). 新課標同時進一步指出：數(shù)學抽象主要從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數(shù)學語言予以表征. 這樣的描述實際上指出了培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的基本思路，那就是引導學生研究數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系以及事物的具體背景，得到數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物中抽象出一般規(guī)律和結構，然后用數(shù)學語言予以表征. 站在學生的角度來看數(shù)學抽象，可以認為數(shù)學抽象大體經(jīng)由簡約階段、符號階段、普適階段等三個基本階段. 以教學形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學抽象，遵循數(shù)學抽象的一般規(guī)律，同時又具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象等四種表現(xiàn)形式［4］.

有了這樣的認識，意味著數(shù)學抽象素養(yǎng)視角就清晰了. 在這一視角下再來看單元整體教學的基本架構，筆者認為基于數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的需要，單元整體教學應當在傳統(tǒng)教學的基礎上，充分利用好教科書以及學生生活中的相關資源，借助體驗性更強的數(shù)學活動幫助學生完成知識體系的建構. 這樣的單元整體教學的基本架構涉及三個要素，分別為學生的學習品質、數(shù)學課程資源、數(shù)學體驗活動. 這三個要素是互相關聯(lián)、互相作用的，銜接三者關系的是學生本身，是學生的學習過程.

對“數(shù)列”這一單元的教學而言，教師要引導學生認識到數(shù)學知識看起來雖然抽象，但是對數(shù)列的研究卻是源于現(xiàn)實生產(chǎn)與生活的需要. 認識到這一點，數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也就有了基礎. 在“數(shù)列”教學中，將等差數(shù)列與等比數(shù)列放在單元整體的視角下讓學生去學習，這是單元整體教學的宏觀思路. 教師可以參考上文總結的單元整體教學的基本架構，重新設計本單元教學. 這樣呈現(xiàn)在學生面前的單元整體教學，應當是基于學生學習的需要，教師通過課程資源的開發(fā)與利用，來幫助學生體驗數(shù)學抽象的過程. 與傳統(tǒng)教學不同的是，無論是教師提供課程資源時，還是學生加工課程資源時，等差數(shù)列與等比數(shù)列有可能同時出現(xiàn)，那么相應的概念建立也會同時發(fā)生. 另外，考慮到等差數(shù)列與等比數(shù)列的相同點與不同點，教師可以引導學生在探究等差數(shù)列時，形成更好的研究視角與能力，然后向等比數(shù)列的探究遷移，這是單元整體教學的基本思路，也是最有價值的選擇. 畢竟由于時間和空間的限制，等差數(shù)列與等比數(shù)列不可能同時學習，而這種前期能力向后期學習的遷移，正成為單元整體教學的最佳注解.

數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下“數(shù)列”單元整體教學的實踐案例

借助上文總結的單元整體教學的基本架構，可以發(fā)現(xiàn)在實施單元整體教學時，既要充分發(fā)揮數(shù)學抽象的價值，讓學生在數(shù)學學習的過程中有充分的數(shù)學抽象體驗，又要保證單元知識的整體性，讓學生在體驗的過程中建立起關于單元整體知識的認識. 數(shù)學抽象通常要經(jīng)歷感知與識別、分類與概括、想象與建構、定義與表征、系統(tǒng)化與結構化等五個階段［5］. 這五個階段就是學生建構知識的大致歷程，而在單元整體教學的基本架構的引領下，則可以對本單元知識進行系統(tǒng)設計. 例如，筆者的設計是這樣的：

首先，列舉生活中關于數(shù)列的例子，讓學生初步感知數(shù)列的魅力.

數(shù)列本身是抽象的，但是數(shù)列在生活中卻對應著不少實例，利用這些實例來幫助學生夯實感性認識的基礎，是培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)最好的切入口之一. 這些實例就是本單元整體教學的課程資源，想利用這些課程資源引導學生感知數(shù)列的魅力，就要保證課程資源是豐富的，要確保學生在分析這些例子時，能夠同時認識等差數(shù)列與等比數(shù)列.

比如，用教材所舉的例子——王芳從1歲到17歲，每年生日那天測量身高得到的身高數(shù)據(jù)，可以幫助學生初步形成“不能交換位置的一列數(shù)就是數(shù)列”的認識，這對學生而言是認知突破，學生會發(fā)現(xiàn)原來看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)也是有章可循的. 這個過程需要數(shù)學抽象，因此教師舉例時要特別注意，可以在給出框架性思路后，讓學生嘗試自己去舉例. 比如學生所形成的初步認識其實就是一個框架，讓學生在這一框架內根據(jù)自己對數(shù)列的理解去舉例，那么學生由于經(jīng)驗差異性的存在，就會舉出既在框架內，又存在著明顯不同的數(shù)列的例子. 這些例子有的來自生活，有的來自學生的自主建構——后者實際上已經(jīng)進一步演繹了數(shù)學抽象的魅力. 分析這些例子，也就成為下一步單元整體教學的內容.

其次，引導學生分析、歸納例子，進一步建立等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念.

這里要提出的例子必須是豐富的，分析歸納后的結果必須是簡潔的. 在學生所舉的例子中，通常會自然出現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列. 這時研究的對象就是學生所舉的數(shù)列例子，這樣可以更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)列中蘊藏的規(guī)律. 其實學生舉例也是借助自身的經(jīng)驗進行的，在分析例子時，學生原有的感性認識就可以發(fā)揮作用，這個作用可以驅動學生的思維從形象向抽象轉化，本質上也是數(shù)學抽象的一部分. 比如有的學生舉的例子是自然數(shù)，即1，2，3，4，5，…；有的學生根據(jù)故事舉例，如在棋盤的方格中放米粒，得到1，2，4，8，16，…. 通過對這些例子的分析可以發(fā)現(xiàn)，不同數(shù)列所遵循的規(guī)律有所不同. 當然，這種“不同”應當由學生自己去發(fā)現(xiàn)，這在客觀上也是一個數(shù)學抽象的過程. 之所以這么說，是因為當學生熟悉具有抽象特征的數(shù)列后，其就是一個形象思維加工的對象，而尋找數(shù)列背后的規(guī)律就變成了一個抽象的過程.

從學生學習的實際情形來看，學生能夠通過數(shù)學抽象發(fā)現(xiàn)其中的關系：類似于“1，2，3，4，5，…”，就是不斷地“+1”，而類似于“1，2，4，8，16，…”，就是不斷地“×2”. 學生可能同時發(fā)現(xiàn)這些關系，因此同時建立等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，也就是水到渠成的一件事情，反映了單元整體教學的基本特征.

再次，引導學生進行遷移.

根據(jù)教材知識呈現(xiàn)的順序，學生首先探究的是等差數(shù)列. 但由于此前的單元整體教學，學生此時大腦中已經(jīng)有了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，因此教學等差數(shù)列時，要堅持能力立意的思路，從而為后面等比數(shù)列的自主探究奠定基礎. 此時能力立意的主要體現(xiàn)，就是發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的規(guī)律，尤其是等差數(shù)列的通項公式. 等差數(shù)列的通項公式實際上是一個數(shù)學模型，這一模型的建立與運用，表征著學生對等差數(shù)列學習的能力. 當這種能力實現(xiàn)遷移的時候，其實就是本單元知識教學表現(xiàn)出“整體”一面的時候.

數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下數(shù)列單元整體教學的研究反思

數(shù)學抽象素養(yǎng)視角下的單元整體教學，在“數(shù)列”這一單元的教學中有著充分的體現(xiàn)：數(shù)列概念的建立，充分體現(xiàn)著數(shù)學抽象的基本特征；等差數(shù)列與等比數(shù)列兩個概念的同時建立，意味著單元整體教學落到實處；學生在等差數(shù)列學習過程中形成的認知與能力，有效遷移至等比數(shù)列學習，意味著單元整體教學走向高潮……由此來看，在數(shù)學抽象素養(yǎng)的視角下進行單元整體教學，不僅讓學生對數(shù)學概念或規(guī)律的理解更具整體性，還讓包括數(shù)學抽象在內的核心素養(yǎng)得到更好的發(fā)展.

由此進一步反思單元整體教學，筆者認為其可以成為數(shù)學學科核心素養(yǎng)落地的有效途徑. 尤其對于數(shù)學抽象而言，教師必須充分認識到數(shù)學在本質上研究的是抽象的東西，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西［6］. 有了這樣的認識，再借助單元整體教學引導學生完成知識的建構與運用，那么數(shù)學抽象素養(yǎng)就可以切實落地；如果能夠進一步挖掘單元整體教學的價值，將更多的數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素蘊含其中，那么在高中數(shù)學教師面前也就打開了一個新的教學空間.

參考文獻：

［1］ 陸啟威.單元整體教學的價值訴求與路徑探析［J］.江蘇教育，2022（25）：27-31.

［2］ 康德. 純粹理性批判［M］. 韋卓民，譯.武漢：華中師范大學出版社，2000.

［3］ 王海青，吳有昌. 基于數(shù)學單元的整體教學探索與實踐：問題驅動的視角［J］. 數(shù)學通報，2022，61（03）：27-32+46.

［4］ 張勝利，孔凡哲. 數(shù)學抽象在數(shù)學教學中的應用［J］. 教育探索，2012（01）：68-69.

［5］ 李昌官. 數(shù)學抽象及其教學［J］. 數(shù)學教育學報，2017，26（04）：61-64.

［6］ 史寧中. 數(shù)學的抽象［J］. 東北師大學報（哲學社會科學版），2008（05）：169-181.