抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)探究及應(yīng)用

孫志鵬

(山東省濟(jì)南第七中學(xué))

由于近年高考數(shù)學(xué)真題以及模擬試題中出現(xiàn)了一類比較新穎的數(shù)學(xué)問題,即側(cè)重考查抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用,所以學(xué)生有必要認(rèn)真探究有關(guān)抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的常用性質(zhì),以便在選擇題或填空題中直接運(yùn)用,同時(shí)也有利于提高解題的準(zhǔn)確性,進(jìn)而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 性質(zhì)探究

問題1已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),試探究其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的奇偶性.

探究1若f(x)是奇函數(shù),則f(－x)＝－f(x),兩邊求導(dǎo)可得－f′(－x)＝－f′(x),化簡(jiǎn)得f′(－x)＝f′(x),所以f′(x)是偶函數(shù).

若f(x)是偶函數(shù),則f(－x)＝f(x),兩邊求導(dǎo)可得－f′(－x)＝f′(x),化簡(jiǎn)得f′(－x)＝－f′(x),所以f′(x)是奇函數(shù).

結(jié)論1若f(x)是奇函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)是偶函數(shù);若f(x)是偶函數(shù),則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù).

問題2已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(或關(guān)于直線x＝a對(duì)稱),試探究其導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖像的對(duì)稱性.

探究2若f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,則f(a＋x)＋f(a－x)＝0,兩邊求導(dǎo)可得

即f′(a＋x)＝f′(a－x),所以f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

若f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則f(a＋x)＝f(a－x),兩邊求導(dǎo)得

所以f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0,故f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

結(jié)論2若f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱;若f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

問題3已知f′(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù)),試探究函數(shù)f(x)的奇偶性.

探究3若f′ (x)是奇函數(shù),則因?yàn)閇f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C為常數(shù)),所以f(x)＋C是偶函數(shù),則f(－x)＋C＝f(x)＋C,即f(－x)＝f(x),故函數(shù)f(x)是偶函數(shù).

若f′(x)是偶函數(shù),則因?yàn)閇f(x)＋C]′＝f′(x)(其中C為常數(shù)),所以f(x)＋C是奇函數(shù),故

即f(－x)＋f(x)＝－2C,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,－C)對(duì)稱,顯然只有當(dāng)C＝0時(shí),才能保證函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其他情況下不能得到函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

結(jié)論3若f′(x)是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)是偶函數(shù);若f′(x)是偶函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(0,t)對(duì)稱(其中t為常數(shù)),但f(x)不一定是奇函數(shù).

問題4已知函數(shù)f′(x＋a)是奇函數(shù),即f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(或函數(shù)f′(x＋a)是偶函數(shù),即f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱),試探究函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱性.

探究4若函數(shù)f′(x＋a)是奇函數(shù),則因?yàn)閇f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C為常數(shù)),所以f(x＋a)＋C是偶函數(shù),則

即f(－x＋a)＝f(x＋a),故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱.

若函數(shù)f′(x＋a)是偶函數(shù),則因?yàn)閇f(x＋a)＋C]′＝f′(x＋a)(其中C為常數(shù)),所以f(x＋a)＋C是奇函數(shù),則

即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝－2C,故函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,－C)對(duì)稱,所以只有當(dāng)C＝0時(shí),才能保證函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,其他情況下不能得到函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

結(jié)論4若f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱;若f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,t)對(duì)稱(其中t為常數(shù)),但不一定關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

2 應(yīng)用舉例

例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x－1)為奇函數(shù),f′(2－x)＋f′(x)＝2,f′(－1)＝2,則

A.13 B.16 C.25 D.51

解析

因?yàn)閒(x－1)為奇函數(shù),所以f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(－1,0)對(duì)稱,故根據(jù)前述結(jié)論2 可知f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱.

因?yàn)閒′(2－x)＋f′(x)＝2,所以f′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.

于是,函數(shù)f′(x)是以4×|1－(－1)|＝8為周期的函數(shù).

在f′(2－x)＋f′(x)＝2中,令x＝1,化簡(jiǎn)可得f′(1)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝3,可得f′(－1)＋f′(3)＝2,又f′(－1)＝2,所以f′(3)＝0.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝5,可得f′(－3)＋f′(5)＝2,所以

化簡(jiǎn)可得f′(5)＝1.

在f′(2－x)＋f′(x)＝2 中,令x＝7,可得f′(－5)＋f′(7)＝2,所以

即f′(3)＋f′(7)＝2,又f′(3)＝0,所以f′(7)＝2.

因?yàn)閒′(x)是以8 為周期的函數(shù),所以數(shù)列{f′(n)}的周期為8,故數(shù)列{f′(2n－1)}的周期為4.因此,有

點(diǎn)評(píng)

求解本題的關(guān)鍵在于以下兩點(diǎn):一是通過分析f′(x)的周期性,可知數(shù)列{f′(2n－1)}的周期性;二是對(duì)已知等式f′(2－x)＋f′(x)＝2賦值,求得f′(1),f′(3),f′(5),f′(7)的值.

例2設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別是f′(x)和g′(x),已知f(x)＝g(3－x)－1,f′(x＋1)＝g′(x),且f′(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,那么下述結(jié)論不一定正確的是( ).

A.f(x)＋f(2－x)＝0

B.f′(2)＝0

C.g(1－x)＝g(1＋x)

D.g′(x)＋g′(2－x)＝0

解析

因?yàn)閒′(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,所以根據(jù)前述結(jié)論4可知f(x)的圖像不一定關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,即不一定有f(x)＋f(2－x)＝0成立,故選項(xiàng)A 不一定正確.

因?yàn)閒(x)＝g(3－x)－1,所以兩邊求導(dǎo)得f′(x)＝－g′(3－x),令x＝2,得f′(2)＝－g′(1).因?yàn)閒′(x＋1)＝g′(x),所以令x＝1,得f′(2)＝g′(1).于是,可知f′(2)＋f′(2)＝－g′(1)＋g′(1)＝0,即f′(2)＝0,故選項(xiàng)B一定正確.

因?yàn)閒′(x)＝－g′(3－x),所以f′(x＋1)＝－g′(2－x),又因?yàn)閒′(x＋1)＝g′(x),所 以g′(x)＝－g′(2－x),即g′(x)＋g′(2－x)＝0,故選項(xiàng)D 一定正確.

因?yàn)間′(x)＋g′(2－x)＝0,所以g′(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,所以根據(jù)前述結(jié)論4 可知函數(shù)g(x)的圖像關(guān)于直線x＝1 對(duì)稱,即g(1－x)＝g(1＋x),故選項(xiàng)C一定正確.

綜上,選A.

點(diǎn)評(píng)

本題具有一定的難度,其中選項(xiàng)B,C,D 分析的切入點(diǎn)是對(duì)等式f(x)＝g(3－x)－1兩邊求導(dǎo),使之能夠與題設(shè)條件f′(x＋1)＝g′(x)緊密聯(lián)系起來,從而幫助我們順利解決目標(biāo)問題.

對(duì)抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的常用性質(zhì)(主要是奇偶性、對(duì)稱性)進(jìn)行深入探究,不僅能夠幫助我們厘清其中存在的“辯證”關(guān)系,而且能夠明白其中的具體緣由.顯然,理解、掌握了上述關(guān)于抽象函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)的常用結(jié)論,有助于迅速求解相關(guān)選擇題和填空題,既大大節(jié)約了分析、思考的時(shí)間,也避免了一些錯(cuò)誤的產(chǎn)生,真可謂高效解題.

(完)