“線段圖”的運用策略探究

張勇

【摘 要】“畫圖策略”是解決問題時常用的一種數(shù)學方法，是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。在教學中，教師經(jīng)常會運用畫圖策略來幫助學生理解題意，但很少有學生會主動應用畫圖策略來幫助自己解決難題。也正是因為學生對畫圖策略缺少一定的意識，或感覺存在一定的困難，這才需要教師在平時的教學中有意識地引導和培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】教學策略 線段圖 數(shù)形結(jié)合 數(shù)量關(guān)系

筆者在一次教研活動中同時學習了三位青年教師執(zhí)教的蘇教版數(shù)學四年級下冊“解決問題的策略”一課，對“線段圖”這一策略的教學頗有感觸。

一、課中實踐

片段一：畫線段圖

張老師在簡單介紹集郵這一高雅藝術(shù)之后直接呈現(xiàn)例題，詢問學生想到用什么方法，學生異口同聲：畫線段圖。教師引導學生獨立嘗試畫線段圖之后精心挑選了兩幅作品進行展示，讓學生尋找相同點和不同點。在此過程中，教師相機將課前已經(jīng)制作好的線段圖進行板貼。

唐老師在學生集體讀題之后，讓學生集體口述線段圖的畫圖步驟，教師相機出示課件，以此教學生畫線段圖。

馬老師在讀完例題后，簡單提示學生自己獨立畫圖，然后出示三份學生的作品，讓其他學生分別找找三幅作品的亮點和不足，接下來則帶領(lǐng)學生集體作圖并修正自己的作品。

片段二：“讀”線段圖

對于“讀”懂線段圖這一環(huán)節(jié)，三位教師不謀而合地采取了同一教學策略：先在課件中隱去蘇教版數(shù)學四年級下冊P48例題1中的所有文字信息，只給學生觀察所畫出的線段圖，讓學生嘗試復述例題中的條件和問題。從三節(jié)課中學生的反應可以看出，學生對于“讀”線段圖基本不存在困難。

片段三：用線段圖

“讀”完線段圖后，三位教師采取的教學方法都是先引導學生嘗試獨立思考自己解決例題中的問題，隨后進行充分的交流互動。

張老師的課堂上有學生匯報：

72÷2=36（枚）

小春：36+12=48（枚）

小寧：36-12=24（枚）

筆者觀察到張老師在聽完學生提出這一方法后臉上滿是詫異和不解，課堂也陷入了短暫的停滯，張老師思考后說：“這種方法對嗎？”

一個學生舉手答道：不對，我們可以這樣想，假設(shè)小春有48枚郵票，小寧有24枚，那么小春就比小寧少24枚郵票，可是題中告訴的是小春比小寧少12枚。

此環(huán)節(jié)到這里就結(jié)束了。

唐老師在學生出現(xiàn)同樣方法之后處理如下。

師：同學們，我們先不著急評判這個同學的方法，老師這里有另外一個問題想問大家：“如果唐老師有8個蘋果，這個女生有4個蘋果，怎樣讓我們的蘋果數(shù)量一樣多呢？”

大部分學生能夠很快答出老師應該分給女生2個蘋果。

師：這個答案是怎么得來的呢？

從學生的自由回答中可以知道，學生是明白老師只需要把自己多出的4個的一半的數(shù)量分給女生，兩人就能變得同樣多了。

緊接著，唐老師再讓全班學生進行思考、分析上面學生提出的先“÷2”的那個方法是否正確，從課堂效果可看出，部分學生能夠?qū)倓偨處熈信e的蘋果例子獲得的經(jīng)驗遷移到這道題目上，得出：小春只需要把自己比小寧多出的12枚郵票拿出一半，即6枚分給小寧就可以了。學生得出此結(jié)論后，唐老師利用課件將這種方法的詳細解答過程進行了展示及再次講解。（見圖1）

馬老師的處理方法如下。

師：你們認為這種方法對嗎？為什么呢？

生1：我認為不對，把48和24兩個答案代入題中進行檢驗得到小春比小寧多24枚郵票，并非題目中所給的12枚。

師：那你覺得應該怎么做呢？

生1：我是這樣想的，先用72÷2=36（枚），如果兩人郵票同樣多，小寧和小春每個人都應有36枚郵票。題目中提到小春比小寧多12枚，那么我們就可以用36+6=42（枚），這是小春的郵票枚數(shù)，然后再用36-6=30（枚）求出小寧的郵票枚數(shù)。

師：你的6怎么來的呢？

生1：12÷2=6（枚），小春比小寧多12枚，那么小春只需要把自己比小寧多出的12枚中的一半，即6枚給小寧就可以讓兩個人變得同樣多。

接著，馬老師將生1的方法板書到了黑板。

二、課后反思

（一）“線段圖”在學習中的重要“地位”

縱觀蘇教版12冊小學數(shù)學教材編者設(shè)計的“線段圖”的相關(guān)教學內(nèi)容，仔細分析可看到，教材是先用色塊“遮蓋”具體的數(shù)量，再用色塊來統(tǒng)括大數(shù)據(jù)的數(shù)量，最后教材才編排了用線段來表示數(shù)量的多少及數(shù)量之間的關(guān)系，這一設(shè)計充分體現(xiàn)了蘇教版數(shù)學教材在進行“線段圖”這一內(nèi)容編排時考慮到了由易到難、由具體到抽象。

（1）用色塊“遮蓋”數(shù)量及關(guān)系：二年級上冊“表內(nèi)乘除法的練習”（見圖2）一課是蘇教版數(shù)學教材第一次涉及借助色塊表示數(shù)量及關(guān)系。

此題意在引導學生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)：“求 8 個 3 相加的和是多少？”這道題里的色塊“遮蓋”了具體的數(shù)量，學生在自己計算后可以通過數(shù)數(shù)的方法驗證自己求出的色塊遮蓋住的五角星個數(shù)是否正確。

（2）用色塊概括數(shù)量及關(guān)系：蘇教版數(shù)學教材里第二次出現(xiàn)色塊圖是在二年級下冊的“兩、三位數(shù)的加法和減法”（見圖3）一課。

這里用藍色色塊表示鴨蛋的數(shù)量，用黃色表示雞蛋的數(shù)量，而且這兩種顏色色塊所表示的具體數(shù)量都比較多，無法運用數(shù)數(shù)的方法，因此這里的色塊更具有概括數(shù)量多少的作用。學生在解題的過程中需要借助側(cè)旁的文字描述與兩種不同顏色色塊的長短來分析、理解鴨蛋和雞蛋兩種數(shù)量間的關(guān)系。

（3）用線段圖表示數(shù)量多少及數(shù)量關(guān)系：蘇教版數(shù)學教材里第一次呈現(xiàn)出具體的線段圖模型是在三年級上學期的“從條件想起”第一課時（圖略）。

這是教材第一次使用比較簡單、易懂的線段圖來表示題中的條件及問題，讓學生根據(jù)題中所給的條件完成線段圖并借助線段圖去理解、掌握、體會從條件出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系進而尋找相應的解題方法的數(shù)學策略。

（4）蘇教版數(shù)學三年級下冊“解決問題的策略”一課（圖略）則是引導學生依據(jù)具體情境中的相關(guān)信息補全線段圖，然后借助所補畫出的線段圖體會從問題出發(fā)分析題中的數(shù)量關(guān)系的解題策略。

（5）蘇教版數(shù)學四年級下冊“解決問題的策略”（見圖4），則是讓學生根據(jù)實際的具體問題補全題中線段圖所缺的信息，然后再根據(jù)補全的線段圖尋找到題中的數(shù)量關(guān)系進而找到解題的突破口，梳理出解決實際問題的思路。

在后續(xù)的蘇教版數(shù)學五、六年級的教學中，也設(shè)計了很多借助線段圖來分析題意、解決問題的實際問題。

縱觀整個蘇教版數(shù)學教材，我們可以發(fā)現(xiàn)，“線段圖”這一教學內(nèi)容在小學數(shù)學中占有舉足輕重的地位。

（二）“線段圖”在學習中的重要“優(yōu)勢”

線段圖是一種解決數(shù)學問題較為常用的解題策略，它能幫助學生從形象思維較為順利地過渡到抽象思維。線段圖的最大優(yōu)勢在于化抽象為具體，通過線段圖把題目中蘊含的較為抽象的數(shù)量關(guān)系用形象、直觀的方式表達出來，從而引導學生將自己對概念的相關(guān)認識重新進行認知、內(nèi)化，啟發(fā)他們從完整的、形象的線段圖中尋找到題目中所蘊含的數(shù)量關(guān)系，從而更高效地解決問題。另外，借助線段圖，能讓學生體會到以數(shù)化形、以形換數(shù)的思想，進而發(fā)展其思維品質(zhì)。

那么，在實際的一線數(shù)學教學中，教師又該如何發(fā)揮線段圖自帶的這些優(yōu)勢呢？教師應先耐心引導學生將題目中的文字及其他信息用線段圖進行具體呈現(xiàn)，接著引導學生借助線段圖仔細分析每一部分所代表的意義和蘊含的數(shù)量之間的關(guān)系，尋找題目中所有信息所蘊含的相互聯(lián)系，并以此建構(gòu)起數(shù)學條件與問題之間所具備的數(shù)量關(guān)系模型，借此探索出較為適切的解決問題的思路。

如本課例題中的信息較為抽象，學生一時無法清楚地厘清題目中小寧和小春郵票枚數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，這時教師就可以相機引導學生利用畫線段圖的方法來表示題中的相關(guān)條件和問題，加深對題目的理解，然后仔細分析所畫的線段圖，就可發(fā)現(xiàn)小春、小寧郵票枚數(shù)之間存在的較為清晰的數(shù)量關(guān)系了。（見圖5）

（三）“線段圖”在學習中的重要“實力”

從三節(jié)課的課堂反饋中可以看到，絕大部分學生都能借助分析線段圖快速地尋找到解決問題的突破口。

有的學生想到，先將小春比小寧多出的12枚郵票去掉，用72-12=60（枚）即得到原來小寧郵票枚數(shù)的兩倍，然后再分別計算出小寧和小春各自的郵票數(shù)。

有的學生想到，先將小寧的線段圖補畫一段小春比小寧多的12枚，用72+12=84（枚）得到原來小春郵票枚數(shù)的兩倍，再依次算出小春、小寧的郵票數(shù)。

由此可見，線段圖的“實力”確實非凡。

如果授課教師能夠在有學生出現(xiàn)“72÷2=36（枚） 小春：36+12=48（枚） 小寧：36-12=24（枚） ”這一錯誤方法后，像唐老師教學時一樣先舉出一個貼近學生生活實際的例子，讓學生理解要使得兩人同樣多只需要把多出來的一半分給另外一個人，以此喚起學生的生活經(jīng)驗，然后再借助本節(jié)課學生需要學習和掌握的策略畫線段圖進行動畫演示（見圖6、7、8），讓學生能夠直觀地感受到取其中的一半才能夠進行均分，那么學習效果就會更好。

線段圖是一種比較直觀的解決問題的策略，它也是學生從具體、形象的思維過渡到抽象的邏輯思維的載體。在日常教學過程中，教師應先準確地把握學生的學情，然后根據(jù)具體的數(shù)學問題的特征，引導學生依次通過畫圖、分析來解決問題，同時引導學生在數(shù)與形、文與圖之間相互轉(zhuǎn)化。唯有此，學生在解決實際問題時方能得心應手，數(shù)學學習也才能興致更濃、信心更足。