再談平行四邊形存在性問題解題策略

謝魁 趙洋

朝陽市第四中學崔欣穎老師的直播課《再談平行四邊形存在性問題解題策略》選自遼寧教育學院“遼寧省初中數(shù)學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升.

崔欣穎老師的直播課，從知識儲備、典型例題、提升訓練三個方面展開，幫助學生結(jié)合圖形復(fù)習平行四邊形的性質(zhì)及判定方法，總結(jié)處理平面直角坐標系中平行四邊形存在性問題的常用方法——“平移法”與“鉛直三角形法”.分別從“三定一動”“兩定兩動”兩類模型中詳細介紹平行四邊形存在性問題的兩種解題思路.分別討論動點出現(xiàn)在坐標軸和一次函數(shù)上的不同情況，結(jié)合例題引發(fā)學生更多的思考，為今后二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題解題策略提供方法和依據(jù).依據(jù)崔欣穎老師平行四邊形存在性問題解題策略，真題呈現(xiàn)2022年阜新市中考第25題第（3）問.

[真題呈現(xiàn)]

例 （2022·遼寧·阜新）如圖1，已知二次函數(shù)y =? - x2 + bx + c的圖象交x軸于點A（ - 1，0），B（5，0），交y軸于點C．

（1）（2）略.

（3）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

[學法指導(dǎo)]

可以分AC為平行四邊形的邊和對角線兩種情況進行討論，從而確定P，Q位置.

解：由題可知拋物線解析式為y =? - x2 + 4x + 5，直線BC解析式為y =? - x + 5. 若以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，其中A（ - 1，0），C（0，5），P在拋物線上，Q在直線BC上，符合“兩定兩動”模型.

①當AC為平行四邊形邊時，得到滿足題意的兩種情況，如圖2.

第一種情況：PQ為平行四邊形中AC的對邊且在第一象限中. 由Q在直線y =? - x + 5上，可設(shè)Q坐標為（t， - t + 5），由“平移法”或者“鉛直三角形法”得P（t + 1， - t + 10），將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得 - t + 10 =? - （t + 1）2 + 4（t + 1） + 5，解得t1 = 1，t2 = 2，所以Q1（1，4），Q2（2，3）.

第二種情況：PQ為平行四邊形中AC的對邊且在第四象限中. 可設(shè)Q為（n， - n + 5），由“平移法”或者“鉛直三角形法”得P（n - 1， - n），將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得 - n =? - （n - 1）2 + 4（n - 1） + 5，解得n1 = 0（此時Q與C重合，舍去），n2 = 7，所以Q3（7， - 2）.

②當AC為平行四邊形對角線時，如圖3，由A（- 1，0），C（0，5），得線段AC的中點D [-12，52]，由Q在直線y =? - x + 5上可設(shè)Q為（m， - m + 5），由中點坐標公式得P為（ - 1 - m，m），將P代入二次函數(shù)y =? - x2 + 4x + 5得m =? - （ - 1 - m）2 + 4（ - 1 - m） + 5，解得m1 = 0（此時Q與C重合，舍去），m2 = - 7，所以Q4（ - 7，12）.

綜上，存在滿足條件的點Q，其坐標為（1，4）或（2，3）或（7，-2）或（-7，12）.

[典例訓練]

已知拋物線解析式為y = x2 - 2x - 3，拋物線與x軸交于A，B兩點，C在拋物線上，D在拋物線對稱軸上，以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點坐標.

答案：分兩種情況：

①當AB為平行四邊形的邊時，D點坐標為（1，12）；

②當AB為平行四邊形的對角線時，D點坐標為（1，4）.

（作者單位：遼寧省實驗中學初中部）