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    一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用

    2023-08-01 21:14:59易涌軍
    初中生學習指導·中考版 2023年7期
    關鍵詞:山野菜每千克關系式

    易涌軍

    《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》對第四學段關于“函數(shù)”的內容有如下要求:能用一次函數(shù)解決簡單的實際問題;會求二次函數(shù)的最大值或最小值,并能確定相應自變量的值,能解決相應的實際問題. 基于上述課標要求,一次函數(shù)與二次函數(shù)相結合的生活應用題在各地中考中成了高頻考點,而此類應用題中的利潤問題既復雜又是重點考查對象. 下面舉例介紹此類問題的解題思路.

    例1 (2022·遼寧·鐵嶺·葫蘆島)某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價格購進一批山野菜,市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元. 經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn),山野菜的日銷售量[y](千克)與每千克售價[x](元)之間滿足一次函數(shù)關系,部分數(shù)據(jù)如下表:

    [每千克售價[x]/元 … 20 22 24 … 日銷售量[y]/千克 … 66 60 54 … ]

    (1)求[y]與[x]之間的函數(shù)關系式.

    (2)當每千克山野菜的售價定為多少元時,批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大?最大利潤為多少元?

    分析:此類利潤問題中一次函數(shù)表達式有四種不同的呈現(xiàn)方式:文字敘述、直接給出表達式、表格、圖象. 其本質都是為了求出一次函數(shù)表達式y(tǒng) = kx + b(k,b為常數(shù),且k ≠ 0). 而利潤的最大值求法也有三種:(1)自變量的取值范圍包括頂點且滿足題意;(2)自變量的取值是整數(shù),而頂點橫坐標恰好不是整數(shù);(3)頂點不在自變量取值范圍內. 本題需要先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出一次函數(shù)表達式,再利用“每日總利潤 = 每千克利潤 × 銷售量”列出二次函數(shù)的表達式,求出利潤的最大值.

    解:(1)設[y]與[x]之間的函數(shù)關系式為[y=kx+b(k≠0)],

    由表中數(shù)據(jù)得[20k+b=66,22k+b=60,]

    解得[k=-3,b=126].

    ∴設[y]與[x]之間的函數(shù)關系式為[y=-3x+126].

    (2)設批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤為[w]元,

    由題意得[w=y(x-18)=(x-18)(-3x+126)=-3x2+180x-2268=-3(x-30)2+432].

    ∵市場監(jiān)督部門規(guī)定其售價每千克不高于28元,

    ∴18 ≤ [x] ≤ 28,

    ∵- 3 < 0,∴當[x] < 30時,[w]隨[x]的增大而增大,

    ∴當[x] = 28時,[w]最大,最大值為420,

    ∴當每千克山野菜的售價定為28元時,批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤最大,最大利潤為420元.

    例2 (2022·遼寧·盤錦)某商場新進一批拼裝玩具,進價為每個10元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn),日銷售量[y](個)與銷售單價[x](元)之間滿足如右圖所示的一次函數(shù)關系.

    (1)求[y]與[x]的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量[x]的取值范圍).

    (2)若該玩具某天的銷售利潤是600元,則當天玩具的銷售單價是多少元?

    (3)設該玩具日銷售利潤為[w]元,當玩具的銷售單價定為多少元時,日銷售利潤最大?最大利潤是多少元?

    分析:(1)直接用待定系數(shù)法,即可求出一次函數(shù)的關系式;(2)根據(jù)題意,設當天玩具的銷售單價是[y]元,然后列出一元二次方程,解方程即可求出答案;(3)根據(jù)題意,列出[w]與[x]的關系式,然后利用二次函數(shù)的性質,即可求出答案.

    解:(1)設一次函數(shù)的關系式為y = kx + b,

    由題圖可知,函數(shù)圖象過點(25,50)和點(35,30),

    把這兩點的坐標代入一次函數(shù)[y] = [k][x] + b,

    得[25k+b=50,35k+b=30,]

    解得[k=-2,b=100,]

    ∴一次函數(shù)的關系式為[y] = -2[x] + 100.

    (2)根據(jù)題意,設當天玩具的銷售單價是[x]元,

    由題意得([x] - 10)(-2[x] + 100) = 600,

    解得[x]1 = 40,[x]2 = 20,

    ∴當天玩具的銷售單價是40元或20元.

    (3)根據(jù)題意,得[w] = ([x] - 10)(-2[x] + 100),

    整理得[w] = -2([x] - 30)2 + 800.

    ∵-2 < 0,

    ∴當[x] = 30時,[w]有最大值,最大值為800.

    ∴當玩具的銷售單價定為30元時,日銷售利潤最大,最大利潤是800元.

    總結反思:在商品經(jīng)營活動中,經(jīng)常會遇到利用一次函數(shù)與二次函數(shù)求最大利潤、最大銷量等問題. 解此類題的關鍵是通過題意,確定出一次函數(shù)和二次函數(shù)的表達式,然后確定其最大值. 實際問題中自變量[x]的取值要使實際問題有意義,因此在求二次函數(shù)的最值時,一定要注意自變量[x]的取值范圍.

    (作者單位:沈陽市實驗學校)

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