分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑研究

金晶 周琪 孫瑞 鞏子坤

【摘? ?要】在利用“個(gè)”情境模型初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義的基礎(chǔ)上，探討了利用“米”“時(shí)”情境模型鞏固分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑：復(fù)習(xí)“個(gè)”情境模型—引入“米”“時(shí)”情境模型—鞏固分?jǐn)?shù)“量”含義—應(yīng)用分?jǐn)?shù)“量”含義。結(jié)果表明，基于“米”“時(shí)”情境模型的分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑有效鞏固了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解?？梢?，研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑有助于學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，加深對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)；“量”含義；情境模型；學(xué)習(xí)路徑

一、引言

前文《分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑研究——基于“個(gè)”情境模型認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義》［1］通過三次教學(xué)設(shè)計(jì)、兩次教學(xué)實(shí)踐以及多次教學(xué)研討，最終得到了完善的學(xué)習(xí)路徑。在該學(xué)習(xí)路徑中，教師基于“個(gè)”情境模型，引領(lǐng)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，體會(huì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義。

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解并非一蹴而就的，單純地通過“個(gè)”情境模型并不能讓學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)“量”含義。因此，本研究將在“個(gè)”情境模型的基礎(chǔ)上，開展分?jǐn)?shù)“量”含義第二課時(shí)的教學(xué)。

整數(shù)知識(shí)是分?jǐn)?shù)概念習(xí)得的基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)、理解分?jǐn)?shù)概念的支撐，也是重要的認(rèn)知“固著點(diǎn)”［2-4］。本研究充分發(fā)揮整數(shù)知識(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的促進(jìn)作用，選取與學(xué)生生活緊密相連、具有可操作性的“米”“時(shí)”情境模型，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的進(jìn)一步理解。具體而言，主要圍繞以下兩個(gè)問題展開：（1）如何利用“米”“時(shí)”情境模型，構(gòu)建有效的學(xué)習(xí)路徑，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的進(jìn)一步理解；（2）如何在兩課時(shí)的分?jǐn)?shù)“量”含義教學(xué)后，驗(yàn)證本研究重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑的整體效果。

二、研究設(shè)計(jì)

為了回答上述問題，繼續(xù)在杭州市YH小學(xué)三年級(jí)甲、乙班開展研究，SH小學(xué)的丙、丁班仍按正常教學(xué)進(jìn)度開展教學(xué)。相關(guān)研究流程和分?jǐn)?shù)概念理解類型［5］如前文，第二課時(shí)后測(cè)問卷如表1所示。

具體評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：畫圖正確得1分（直觀理解），其中第1題第（1）（2）小題畫圖正確各2分，第2題畫圖正確2分，共6分；大小比較正確得1分（符號(hào)理解），對(duì)應(yīng)第1題第（3）小題；文字解釋合理得1分（抽象理解），對(duì)應(yīng)第2題?？偡譃?分。依此給學(xué)生問卷賦分，并分別統(tǒng)計(jì)學(xué)生在直觀理解、符號(hào)理解、抽象理解上的得分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）假想的學(xué)習(xí)路徑B1

1.路徑呈現(xiàn)

基于相關(guān)研究與前測(cè)結(jié)果，擬定假想的學(xué)習(xí)路徑B1，如圖1所示。

任務(wù)1從[12]個(gè)、[13]個(gè)比薩入手，復(fù)習(xí)鞏固“個(gè)”情境模型在分?jǐn)?shù)“量”含義中的運(yùn)用。

任務(wù)2分別以“米”“時(shí)”情境模型拓展學(xué)生對(duì)“量”含義的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)不僅出現(xiàn)在“個(gè)”情境中，在其他情境中也有“量”含義的分?jǐn)?shù)。

任務(wù)3為了更好發(fā)揮整數(shù)知識(shí)作為認(rèn)知固著點(diǎn)的作用，借助米尺和時(shí)鐘兩種教具，給予學(xué)生充分的機(jī)會(huì)和充足的時(shí)間去操作、體驗(yàn)。具體教學(xué)片段如下，其中T是教師，S是學(xué)生。

T：我們請(qǐng)選擇米尺的同學(xué)來匯報(bào)一下，說一說他是怎么找到[12]米和[13]米的。

S：把米尺像這樣對(duì)折一下，就可以找到[12]米，在50厘米處（如圖2）。把米尺折成3段，就可以找到[13]米，大約在33厘米處。

由此可見，隨著米尺的引入，學(xué)生能夠通過折米尺找到[12]米、[13]米，并看著尺子說出50厘米、33厘米，而不是簡(jiǎn)單地通過換算單位再作除法來解決問題。這不僅保證了學(xué)生能夠以整數(shù)知識(shí)為認(rèn)知固著點(diǎn)來充分認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義，也有助于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)任務(wù)中正確比較單位分?jǐn)?shù)以及同分母分?jǐn)?shù)的大小。

任務(wù)4承接任務(wù)3中的“對(duì)米尺和時(shí)鐘進(jìn)行操作”這一任務(wù)，要求學(xué)生觀察自己所操作的材料，找到非單位分?jǐn)?shù)并進(jìn)行大小比較。

2.存在問題與改進(jìn)建議

（1）學(xué)生自主思考時(shí)間較少

綜觀整個(gè)教學(xué)過程，不論是“米”“時(shí)”情境模型的引入，還是活動(dòng)性任務(wù)的開展，都沒有給予學(xué)生太多思考時(shí)間。例如，“米”“時(shí)”情境模型都是由教師直接告知學(xué)生，而并非學(xué)生自己想到的，學(xué)生沒能很好地體會(huì)到分?jǐn)?shù)“量”含義可以出現(xiàn)在多個(gè)情境之中。此外，學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中不僅能發(fā)現(xiàn)單位分?jǐn)?shù)，也能找到非單位分?jǐn)?shù)，但教師僅要求學(xué)生找到[12]米和[13]米、[12]時(shí)和[13]時(shí)，這在某種程度上束縛了學(xué)生的思維。

為此，教師可以只介紹“米”情境模型，并鼓勵(lì)學(xué)生以此為范例，思考還有什么單位也可以用[12]進(jìn)行描述，進(jìn)而聚焦到“時(shí)”情境模型。此外，教師設(shè)計(jì)活動(dòng)性任務(wù)時(shí)可以更加開放，鼓勵(lì)學(xué)生以獨(dú)立思考、組內(nèi)交流的形式，通過折一折、畫一畫、剪一剪，發(fā)現(xiàn)新的分?jǐn)?shù)。

（2）任務(wù)無趣，課堂思維含量不高

盡管教學(xué)模型由“個(gè)”轉(zhuǎn)化為了“米”和“時(shí)”，但從學(xué)生的角度來看，只是換了個(gè)學(xué)習(xí)材料，略顯枯燥無趣。在課后訪談環(huán)節(jié)，許多學(xué)生反饋，分?jǐn)?shù)的大小比較在上一堂課已經(jīng)學(xué)過了，并不具有挑戰(zhàn)性?？梢姡菊n時(shí)的思維含量并不高。

為了提高課堂思維含量，專家團(tuán)隊(duì)建議教師在帶領(lǐng)學(xué)生比較單位分?jǐn)?shù)以及同分母分?jǐn)?shù)的大小后，鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)大小比較的規(guī)律。同時(shí)，可以增加應(yīng)用思考題“1只貓和1只狗比，誰重”（如圖3），為學(xué)生提供將新的知識(shí)學(xué)以致用的機(jī)會(huì)。應(yīng)用題能夠有效激起學(xué)生的好勝心，引導(dǎo)學(xué)生在通過分?jǐn)?shù)解決并“說清楚”問題的過程中感悟分?jǐn)?shù)的魅力，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

（二）優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑B2

1.路徑呈現(xiàn)

團(tuán)隊(duì)經(jīng)過研討，對(duì)學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后的路徑如圖4所示。

與路徑B1相比，路徑B2的教學(xué)邏輯更加清晰，教學(xué)環(huán)節(jié)更加合理，學(xué)生的課堂表現(xiàn)也更加活躍，但仍存在可完善之處。例如，在小組匯報(bào)展示“時(shí)”情境模型時(shí)（任務(wù)3.1），有學(xué)生說：分針走一圈表示12個(gè)小時(shí)，將一圈平均分成12段，1段就是[112]小時(shí)。很顯然，這是不對(duì)的。這說明學(xué)生一開始就未明確“分針轉(zhuǎn)一圈表示1小時(shí)”，且教師并未糾正這一點(diǎn)。具體教學(xué)片段如下，其中T是教師，S是學(xué)生。

T：這個(gè)小組完成得很好，其他小組有找到不一樣的分?jǐn)?shù)嗎？

S：我找到了[112]時(shí)。

S：分針轉(zhuǎn)一圈表示12時(shí)，一圈可以平均分成12段，1段就是[112]時(shí)。

為此，教師應(yīng)當(dāng)在“時(shí)”情境模型出現(xiàn)伊始，便強(qiáng)調(diào)“分針轉(zhuǎn)一圈表示1小時(shí)”，從而在學(xué)生心中牢固樹立這一觀點(diǎn)。

最終完善的學(xué)習(xí)路徑B3與學(xué)習(xí)路徑B2大致相同，不再詳述。

2.路徑效果檢驗(yàn)

在路徑B1和路徑B2實(shí)施后，依次對(duì)甲、乙班學(xué)生進(jìn)行后測(cè)，統(tǒng)計(jì)學(xué)生三種理解類型的得分率和班級(jí)平均分，其中乙班學(xué)生的班級(jí)平均分（6.87分）明顯高于甲班（4.80分）。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)結(jié)果顯示，學(xué)生的直觀理解得分（t=1.355，p=0.182）不存在顯著性差異，符號(hào)理解得分（t=1.868，p<.05）、抽象理解得分（t=2.4766，p<.05）及班級(jí)平均分（t=-2.995，p<.05）存在顯著性差異?？梢姡窂紹2的效果優(yōu)于B1，更有利于學(xué)生鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

四、學(xué)習(xí)路徑總體效果

為檢驗(yàn)本研究重構(gòu)的兩條學(xué)習(xí)路徑的總體效果，在實(shí)驗(yàn)班授課結(jié)束兩周后，教師組織學(xué)生進(jìn)行了綜合測(cè)試（題目來源于第一課時(shí)、第二課時(shí)后測(cè)，由5道大題組成，滿分17分）。其中3題來源于第一課時(shí)后測(cè)，共9分；2題來源于第二課時(shí)后測(cè)，共8分。同時(shí)進(jìn)行了綜合測(cè)試分析和對(duì)照分析。其中，綜合測(cè)試分析是為了探查實(shí)驗(yàn)班學(xué)生在后測(cè)與綜合測(cè)試中的得分變化情況，對(duì)照分析是為了探查實(shí)驗(yàn)班學(xué)生和對(duì)照班學(xué)生在綜合測(cè)試中的差異。

（一）綜合測(cè)試分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的后測(cè)與綜合測(cè)試的得分進(jìn)行配對(duì)樣本t檢驗(yàn)（如表2），結(jié)果顯示，班級(jí)平均分（t=0.091，p=0.926）、直觀理解得分（t=1.201，p=0.232）與符號(hào)理解得分（t=0.933，p=0.968）均不存在顯著性差異，抽象理解得分（t=-1.867，p<.05）存在顯著性差異。

在這期間，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生未針對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義進(jìn)行作業(yè)鞏固，對(duì)上課內(nèi)容會(huì)有一定程度的遺忘，因而測(cè)試得分會(huì)略低于學(xué)生最初學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)“量”含義時(shí)的水平。即便如此，學(xué)生的直觀理解得分也并沒有出現(xiàn)明顯的退步，甚至符號(hào)理解的得分率還有所提升。相較而言，學(xué)生抽象理解的得分率出現(xiàn)了顯著性差異，這或許是因?yàn)閷W(xué)生在日常學(xué)習(xí)中，鮮少用抽象表征來表示分?jǐn)?shù)“量”含義，從而導(dǎo)致得分有所退步。

綜上可知，本研究所設(shè)計(jì)的兩條學(xué)習(xí)路徑使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義有了深刻的理解，依據(jù)此學(xué)習(xí)路徑開展的教學(xué)是有效的。

（二）實(shí)驗(yàn)班、對(duì)照班分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班學(xué)生的綜合測(cè)試得分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（如表3），結(jié)果顯示，直觀理解得分（t=-1.254，p=0.173）不存在顯著性差異，班級(jí)平均分（t=3.605，p<.05）、符號(hào)理解得分（t=3.734，p<.05）與抽象理解得分（t=3.189，p<.05）存在顯著性差異。

可見，與現(xiàn)行教材設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑相比，本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)理解和抽象理解能力，這樣的教學(xué)有助于加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

五、研究結(jié)論與建議

（一）研究結(jié)論

在教學(xué)過程中，教師聚焦“米”“時(shí)”情境模型，依次帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)“個(gè)”情境模型、認(rèn)識(shí)“米”“時(shí)”情境模型、鞏固分?jǐn)?shù)“量”含義、應(yīng)用分?jǐn)?shù)“量”含義，不僅拓寬了學(xué)生的視野，發(fā)散了學(xué)生的思維，也加深了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。除此之外，動(dòng)手操作環(huán)節(jié)充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的多重感官，既允許學(xué)生大膽創(chuàng)造，也促進(jìn)學(xué)生在大小比較中培養(yǎng)自身的語言表達(dá)能力，體會(huì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

第二課時(shí)后測(cè)結(jié)果顯示，與路徑B1相比，優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑B2效果更佳。綜合測(cè)試分析和對(duì)照分析結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生并沒有出現(xiàn)顯著退步，且實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的成績(jī)顯著高于對(duì)照班學(xué)生的成績(jī)（當(dāng)然，這樣的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)班注重分?jǐn)?shù)“量”含義的教學(xué)直接相關(guān)）。這說明本研究重構(gòu)的兩條學(xué)習(xí)路徑在幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)“量”含義方面發(fā)揮著重要作用。整體而言，基于“個(gè)”“米”“時(shí)”情境模型下的兩條學(xué)習(xí)路徑，依次帶領(lǐng)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義、夯實(shí)鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解，有助于學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，加深對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

（二）研究建議

1.基于“米”“時(shí)”情境模型鞏固分?jǐn)?shù)“量”含義

分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)并非一蹴而就的，單純依靠“個(gè)”情境模型還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。選取貼近學(xué)生日常生活、便于學(xué)生動(dòng)手操作的“米”“時(shí)”情境模型，有助于學(xué)生體會(huì)不同情境下分?jǐn)?shù)“量”含義的內(nèi)涵，鞏固對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

2.充分發(fā)揮整數(shù)知識(shí)作為認(rèn)知固著點(diǎn)的作用

整數(shù)知識(shí)能促進(jìn)學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)含義，是學(xué)生習(xí)得分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)及非常重要的固著點(diǎn)。因此，教師應(yīng)充分利用學(xué)生所學(xué)的整數(shù)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在整數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義。例如，在動(dòng)手操作環(huán)節(jié)的材料選擇上，可以選取帶有刻度的米尺以及無指針的時(shí)鐘，并通過直觀的、具體的整數(shù)，幫助學(xué)生運(yùn)用分?jǐn)?shù)解決問題。

3.關(guān)注任務(wù)的活動(dòng)性和提高課堂思維含量

學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)是不可替代的，教師應(yīng)盡可能讓學(xué)生通過動(dòng)手操作與親身體會(huì)來理解分?jǐn)?shù)“量”含義。例如，教師可以為學(xué)生提供米尺和時(shí)鐘等教具，讓學(xué)生通過折一折、畫一畫、剪一剪之類的操作，自主發(fā)現(xiàn)單位分?jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)。此外，由于學(xué)生在“個(gè)”情境模型的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了分?jǐn)?shù)的大小比較，所以在“米”“時(shí)”情境模型的學(xué)習(xí)過程中，可以適當(dāng)提高課堂的思維含量，如鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)分?jǐn)?shù)大小的規(guī)律，設(shè)置應(yīng)用思考題，從而引導(dǎo)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)“量”含義在不同情境中的運(yùn)用，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解。

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（1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院

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3.浙江省杭州銀湖實(shí)驗(yàn)小學(xué)）