數(shù)學(xué)建模意識略談

李學(xué)育

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)建模是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要途徑. 文章以具體問題情境為切入點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識形成和應(yīng)用的過程，切身體驗(yàn)不同增長的函數(shù)模型的差異，感悟函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值，從而通過經(jīng)歷、體驗(yàn)、應(yīng)用、感悟提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；函數(shù)模型；應(yīng)用意識

眾所周知，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活相互溝通、相互聯(lián)系. 為了能夠讓數(shù)學(xué)更好地服務(wù)于生活，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識形成和應(yīng)用的過程，讓學(xué)生在應(yīng)用的過程中通過抽象、簡化，逐漸建立起數(shù)學(xué)模型，以便學(xué)生更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)問題. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)模型訓(xùn)練，重視學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng). 不過，在日常教學(xué)中，因受傳統(tǒng)“灌輸式”教學(xué)的影響，部分教師習(xí)慣將現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型講授給學(xué)生，讓學(xué)生利用這些數(shù)學(xué)模型去解決現(xiàn)實(shí)問題. 從解題的角度來看，直接套用數(shù)學(xué)模型在一定程度上可以節(jié)省時(shí)間，但是缺失建模過程，難以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)模型形成深刻的認(rèn)識，這將影響學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展. 教師應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，鼓勵學(xué)生經(jīng)歷知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，以此理解數(shù)學(xué)本源，建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，提高教學(xué)有效性.

筆者教學(xué)“幾類不同增長的函數(shù)模型”時(shí)，以學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點(diǎn)，通過對比分析帶領(lǐng)學(xué)生理解不同增長的函數(shù)模型的意義，在培養(yǎng)學(xué)生建模能力、提高學(xué)生應(yīng)用意識等方面取得了較好的效果，現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，僅供參考.

教學(xué)分析

函數(shù)模型在解決現(xiàn)實(shí)問題中有重要作用，本課以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這三類不同增長的函數(shù)模型為例，帶領(lǐng)學(xué)生切身體驗(yàn)增長函數(shù)模型在解決實(shí)際生活問題中的現(xiàn)實(shí)價(jià)值，有效培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）借助函數(shù)圖象、表格數(shù)據(jù)等，體會不同函數(shù)的增長差異；

（2）結(jié)合實(shí)例體會函數(shù)模型的意義；

（3）靈活運(yùn)用不同的函數(shù)模型解決一些現(xiàn)實(shí)問題，體驗(yàn)函數(shù)模型的應(yīng)用價(jià)值.

2. 教學(xué)重難點(diǎn)

（1）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型；

（2）比較不同函數(shù)模型的增長差異；

（3）如何選擇適合的函數(shù)模型.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入主題

師：大家應(yīng)該都聽說過，澳大利亞的兔子泛濫成災(zāi)，為什么兔子會由原來的幾只變成現(xiàn)在的百億只呢？

生1：它反映的是一種自然界的增長現(xiàn)象. 兔子的增長速度極快，呈爆炸式增長，加之沒有得到有效控制，因此泛濫成災(zāi).

師：說得很好. 如果這一實(shí)例用函數(shù)模型來表達(dá)，你們認(rèn)為用哪個函數(shù)模型最適合呢？

生齊聲答：指數(shù)函數(shù).

師：是的，我們生活中有許多這樣關(guān)于增長的例子，你能列舉幾個嗎？

學(xué)生積極思考，列舉了許多關(guān)于增長的例子. 在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用與之相對應(yīng)的函數(shù)類型進(jìn)行表征，以此引出本課的主題“幾類不同增長的函數(shù)模型”.

師：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等都是增長函數(shù)模型，它們增長的幅度和態(tài)勢是否相同呢？

生齊聲答：不同.

接下來筆者利用幾何畫板展示了它們的圖象，以便學(xué)生獲得更加直觀的感受，為后繼更深層次地探究做鋪墊.

2. 合作探究，感性體驗(yàn)

師：相信大家都有一個屬于自己的“小金庫”，為了更好地管理“小金庫”，可以用它來做投資，現(xiàn)為大家提供三個投資方案. （用PPT展示方案）

方案1：每天的收益均為40元；

方案2：第一天的收益為10元，以后每天的收益較前一天增加10元；

方案3：第一天的收益為0.4元，以后每天的收益是前一天的2倍.

師：如果是你，你會如何選擇呢？

問題給出后，筆者先讓學(xué)生認(rèn)真閱讀，理清題意后互動交流，以便通過不同思維的碰撞找到問題解決的突破口.

應(yīng)用題的綜合性強(qiáng)，為了便于學(xué)生進(jìn)行有效的互動交流，筆者給予了一定的提示.

師：為了找到最優(yōu)投資方案，你認(rèn)為我們現(xiàn)在最需要做的是什么呢？

生2：將這個問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

接下來，筆者鼓勵學(xué)生將生活問題逐漸向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出各個方案的函數(shù)表達(dá)式，并結(jié)合圖象、列表等方法進(jìn)行對比分析，比較不同的增長.

師：對于以上問題，從解決問題的角度來看，我們需要比較哪些呢？

生2：比較每天的收益.

師：每天的收益是如何變化的？

生2：方案1每天的收益是相同的，每天都是40元；方案2第一天的收益是10元，第二天是20元，第三天是30元，以此類推，呈直線增長；方案3第一天的收益雖然少，但是后面增長很快，呈爆炸式增長.

師：分析得很透徹，那么我們選擇方案時(shí)，只比較每天的收益客觀嗎？

生3：不客觀，應(yīng)該比較若干天累積的收益.

師：很好. 從解決問題的方法來看，我們可以如何處理呢？

生4：根據(jù)已知中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式，再用函數(shù)解析式對比分析.

師：還有其他方法嗎？

生5：列出函數(shù)解析式這個思路沒有問題，但是直接用函數(shù)解析式對比分析不夠直觀，可以畫圖分析.

生6：也可以用列表的方式比較.

這樣借助不同形式的對比分析，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)不同增長函數(shù)的增長變化存在較大差異，獲得更加直觀的感性認(rèn)識. 例如，利用圖象分析，讓學(xué)生對“直線增長”和“爆炸式增長”有了更加清晰的感性認(rèn)識；利用列表的方式比較，讓學(xué)生體會到不同增長函數(shù)的增長趨勢.

師：根據(jù)以上分析，你認(rèn)為如何設(shè)計(jì)投資方案更合理呢？

生7：根據(jù)以上分析可知，投資收益與投資天數(shù)有關(guān)，若僅投資1～4天，方案1為最優(yōu)方案；若投資5～8天，方案2為最優(yōu)方案；若投資9天及以上，方案3為最優(yōu)方案.

師：你們認(rèn)為生7設(shè)計(jì)的投資方案合理嗎？

生8：我認(rèn)為這個方案不合理，我們計(jì)算收益時(shí)應(yīng)該算累積收益. 例如，在第5天時(shí)，若使用方案1，其累積收益為200元；而使用方案2，其累積收益為150元. 由此可知，生7設(shè)計(jì)的投資方案不合理.

經(jīng)歷以上過程，學(xué)生知道，若想設(shè)計(jì)最優(yōu)投資方案，除了要考慮每天的收益外，還要考慮累積收益，這對影響方案選擇的因素有了更深層次的認(rèn)識. 接下來，在原有表格的基礎(chǔ)上，學(xué)生又設(shè)計(jì)了累積收益表，通過觀察可知，若投資7天以內(nèi)，應(yīng)選擇方案1；若剛好投資7天，方案1和方案2的累積收益均為280元，所以兩個方案均可；若投資8～10天，應(yīng)選擇方案2；若投資11天及以上，應(yīng)選擇方案3.

以上教學(xué)過程，從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過對比分析讓學(xué)生對增長函數(shù)的增長趨勢有了更深入的理解，不僅培養(yǎng)了他們數(shù)學(xué)分析和數(shù)據(jù)處理能力，還提升了他們應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

3. 深入探究，理性分析

師：剛才大家的表現(xiàn)都很棒，現(xiàn)在大家看看這個問題該如何解決. （用PPT給出問題）

問題：某公司為了激勵銷售人員的銷售熱情，實(shí)現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，按照銷售利潤對員工進(jìn)行獎勵.獎勵方案如下：當(dāng)銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，獎金y（單位：萬元）隨著銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金y不得超過5萬元，且獎金y不超過利潤的25%. 現(xiàn)提供三個獎勵模型：①y=0.25x；②y=logx+1；③y=1.002x. 你認(rèn)為哪個模型比較適合該獎勵方案？

問題給出后，筆者預(yù)留2分鐘的時(shí)間讓學(xué)生審題，然后通過師生互動的方式共同審題，并板書.

師：閱讀題目，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：利潤x∈［10，1000］.

生10：獎金y不超過5萬元，即y≤5.

生11：獎金y不超過利潤的25%，即y≤0.25x.

師：那么獎金隨著利潤增加而增加，這說明了什么呢？

生12：獎金在定義域內(nèi)是增函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 解決現(xiàn)實(shí)問題，審題至關(guān)重要，除了厘清題意外，教師還要引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

師：根據(jù)已知可得y≤5，對于以上三個獎勵模型，可以如何驗(yàn)證y≤5呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生用不同手段對三個獎勵模型進(jìn)行對比分析. 有的學(xué)生采用解不等式的思路精準(zhǔn)運(yùn)算，有的學(xué)生借助圖象直觀觀察，這樣通過不同方法比較不同的函數(shù)模型，初步確定對數(shù)函數(shù)模型是最適合的模型，為進(jìn)一步研究確定了思考方向.

生13：好像在［10，1000］內(nèi)的x都滿足.

師：為什么是好像呢？看不清嗎？放大后呢？

生13：這次看清了，確實(shí)滿足.

生14：其實(shí)只要將x=10代入計(jì)算就可以了. （其他學(xué)生感到疑惑）

師：為什么呢？（筆者追問）

生14：兩個函數(shù)都是增函數(shù)，但其增速不同，直線的增速大于對數(shù)函數(shù)的增速，所以隨著自變量不斷增大，其差距也越來越大.

師：對于對數(shù)函數(shù)的增速，誰來準(zhǔn)確描述一下？

生15：開始時(shí)增長較快，后來越來越慢.

師：很好，那么F（x）在x∈［10，1000］上具有單調(diào)性嗎？

生16：F（x）應(yīng)該是一個單調(diào)遞減函數(shù).

師：為什么？

生17：根據(jù)圖1可知，兩個函數(shù)的增長速度不同.

師：很好，我們來驗(yàn)證一下. （用幾何畫板作圖驗(yàn)證，如圖2所示）

師：函數(shù)在x∈［10，1000］上的最大值是什么？

生齊聲答：F（10）.

4. 反思總結(jié)，歸納提升

師：通過本課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

生18：通過對比分析，對對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等不同增長的函數(shù)模型有了更加系統(tǒng)的認(rèn)識，體會到了它們的增長差異.

生19：在解決實(shí)際問題時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這樣可使問題變得更加清晰、直觀，更易于解決.

……

學(xué)生通過反思回顧，有助于知識的系統(tǒng)化建構(gòu)，有助于問題解決能力的提升.

教學(xué)反思

1. 學(xué)以致用，凸顯價(jià)值

“學(xué)以致用”是數(shù)學(xué)教學(xué)的真正價(jià)值所在，教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的發(fā)展. 培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識最直接的方式是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，繼而讓學(xué)生通過切身經(jīng)歷感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，以此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力. 在本課教學(xué)中，筆者引入不同的生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光分析問題，用數(shù)學(xué)模型解決問題，體驗(yàn)知識形成和應(yīng)用的過程，以此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在實(shí)踐中提高解決實(shí)際問題的能力.

2. 設(shè)疑提問，激發(fā)潛能

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有更加深入的理解，教師應(yīng)在關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)設(shè)置疑問，以此引發(fā)數(shù)學(xué)思考. 同時(shí)，在問題解決的過程中，要鼓勵學(xué)生互動交流，從而通過不同思維的碰撞點(diǎn)燃學(xué)生思維的火花，讓學(xué)生獲得更為廣泛、更為全面的理解，以此提升學(xué)生解決實(shí)際問題的能力. 當(dāng)然，這里的“設(shè)問”不是簡單的幾個“為什么”，而是那些具有啟發(fā)性的、目的性的問題，只有這樣的問題才能引發(fā)學(xué)生積極的思維活動，激發(fā)學(xué)生的潛能. 在本課教學(xué)中，筆者以生為本，通過有效的問題情境誘發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生對問題的理解由感性逐漸上升至理性，通過對比分析發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 經(jīng)歷過程，建構(gòu)模型

建構(gòu)模型往往是一個長期的過程，因此模型建構(gòu)時(shí)教師不要急于求成，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，在過程中通過示范引導(dǎo)，耐心鼓勵，逐漸建構(gòu)模型. 同時(shí)，教師要讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問題中的價(jià)值，以此激發(fā)學(xué)生建模的熱情，提升教學(xué)的有效性.

總之，教學(xué)中教師切勿急于求成，應(yīng)為學(xué)生提供一些機(jī)會和平臺去經(jīng)歷、去體驗(yàn)、去探索，以此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.