初中數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想滲透策略研究

趙平海

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是初中數(shù)學(xué)學(xué)科教育的主要目標(biāo)。在初中，建模思想是學(xué)生學(xué)習(xí)與解題的主要思想，在課堂中融入建模思想能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、思維能力、運用意識?；诖?，文章介紹了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的原則，并重點闡述了在數(shù)學(xué)概念課、原理課、習(xí)題課教學(xué)中如何滲透模型思想，以期促進學(xué)生多方面的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；模型思想

中圖分類號：G633.6?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2023）21-0119-04

一、 引言

傳統(tǒng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)以講解為主，很少滲透數(shù)學(xué)模型思想，導(dǎo)致學(xué)生對模型理解不透徹，沒有形成數(shù)學(xué)模型思想。這是因為一些一線教師對模型思想的認(rèn)知還存在誤區(qū)，認(rèn)為這會讓解答數(shù)學(xué)問題變得復(fù)雜。其實不然，先建立數(shù)學(xué)模型再學(xué)習(xí)或者解答數(shù)學(xué)題可以幫助學(xué)生減少很多思考的步驟。

二、 初中生數(shù)學(xué)建模的一般過程

（一）探尋實際問題情境

這一過程指學(xué)生在現(xiàn)實情境中觀察有關(guān)信息，確定實際問題的結(jié)構(gòu)、類型，總結(jié)實際問題的表征。接著通過觀察與概括等形式，確定實際問題中有哪些條件，厘清實際問題的條件與目的，為下一步抽象現(xiàn)實問題模型奠定基礎(chǔ)。

（二）抽象現(xiàn)實問題模型

在上一探究過程后，學(xué)生能夠清晰地表達(dá)實際問題，并能刨除一些無用信息，抽象出實際問題和關(guān)鍵信息。有時學(xué)生們不能抽象出更精簡的數(shù)學(xué)條件，則要再次分析，用圖形、文字模型等形式進行表達(dá)，理清要解決的實際問題中的數(shù)量關(guān)系，化繁為簡，以此抽象出現(xiàn)實問題模型，便于學(xué)生將問題模型數(shù)學(xué)化。

（三）將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化

在構(gòu)建問題模型之后就可進行數(shù)學(xué)化，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)化、符號化。在此可以教授學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念、定理與公式表達(dá)情境，然后就可運用數(shù)學(xué)方法來解決。也就是說學(xué)生在建模的過程中要先將實際問題數(shù)學(xué)化，將與生活相近的實際問題轉(zhuǎn)換成新的數(shù)學(xué)問題，然后構(gòu)建模型，嘗試解決問題。

（四）將數(shù)學(xué)問題模型化

在確定好數(shù)學(xué)問題后就要建立數(shù)學(xué)模型，將問題中的條件與學(xué)生已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則、公式等聯(lián)系，構(gòu)成基本數(shù)量關(guān)系，進而建立方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等模型。

（五）求解數(shù)學(xué)模型

一般情況下數(shù)學(xué)模型是對數(shù)學(xué)材料的重組，在弄清楚變量之間的變化后，就可以制定數(shù)學(xué)模型解題的方案，找到一個徹底解答數(shù)學(xué)模型的方案，得到最終的數(shù)學(xué)結(jié)果。最后通過反思與檢驗的形式驗證建模與解答模型過程的正確性。

三、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的原則

（一）情境性原則

數(shù)學(xué)來自人們的生活實際，如果脫離現(xiàn)實，數(shù)學(xué)只代表數(shù)字與符號，所以教師開展的數(shù)學(xué)教學(xué)不能脫離現(xiàn)實情境。學(xué)生們建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題是一種學(xué)習(xí)策略，有很強的抽象性，教師在教學(xué)的時候通過將數(shù)學(xué)知識與實際生活結(jié)合，能夠幫助學(xué)生將感性與理性認(rèn)知聯(lián)系起來，加強對知識的理解。

（二）循序漸進原則

不同學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力也有很大的差異，教師在教學(xué)的時候，不能因為模型思想滲透難度大而放棄教授這部分知識，也不能指望學(xué)生能夠短時間掌握數(shù)學(xué)模型思想。而是要在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識之上，由教師循序漸進地進行教學(xué)，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)逐漸感悟模型思想，提升建模能力。

（三）數(shù)學(xué)化原則

初中數(shù)學(xué)中的知識來自生活中的多個方面，而學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是為了能夠在實際生活中運用數(shù)學(xué)解答問題，同時運用數(shù)學(xué)改造生活。模型思想的本質(zhì)也是通過數(shù)學(xué)語言與符號、圖形，將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后通過函數(shù)、方程、不等式等表示數(shù)學(xué)中變量之間的關(guān)系，獲得問題的結(jié)果。

四、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的策略

（一）數(shù)學(xué)原理課中模型思想的滲透

數(shù)學(xué)原理有數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則等。數(shù)學(xué)公式有完全平方公式、平方差公式、平均數(shù)公式、方差公式、扇形面積公式與弧長公式等；數(shù)學(xué)定理有三角形內(nèi)外角定理、角平分線定理與逆定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、直角三角形HL判定定理、分式的基本形式、四邊形與特殊四邊形的性質(zhì)與判定、韋達(dá)定理等；數(shù)學(xué)法則有加減乘除法則、有理數(shù)的混合運算、整式的加減乘除、冪的乘除與乘方、分式的加減乘除法則。

由此可知數(shù)學(xué)原理課占整體教學(xué)內(nèi)容比重較大，教師要重視此部分課程的教學(xué)，并能運用適合的資源在課堂中滲透數(shù)學(xué)模型思想，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)原理課中體會建模的重要性。此類課型教授給學(xué)生的知識不只有定理與公式、法則，更重要的是對這些知識探索的過程，能夠讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后利用模型表達(dá)。自此經(jīng)歷從特殊到一般的過程獲得數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)原理課中模型思想的滲透過程為：觀察實例、提出猜想、驗證推理、形成原理、運用實踐。課堂中為學(xué)生提供的實例要簡單，易于猜想，然后推理驗證。因為初中生的推理能力有限，所以可以運用實驗驗證與歸納推理法，確定猜想形成原理后，就可進行簡單的推廣運用。

例如“有理數(shù)的加法”教學(xué)內(nèi)容是在小學(xué)階段的正數(shù)加法的基礎(chǔ)上增加了負(fù)數(shù)，有負(fù)數(shù)+正數(shù)、負(fù)數(shù)+負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)+0，這三種類型的加法問題算理就是確定結(jié)果的符號、絕對值。在實際案例中學(xué)生可以根據(jù)生活經(jīng)驗了解這些相反意義的量，例如：“乒乓球比賽中，晨晨贏了3個球+3分，輸了1個球-1分，她一共得了多少分？”表示為3+（-1）=2，此處運用的計算思維是正負(fù)抵消。這可以加強學(xué)生對正負(fù)數(shù)加法算理的認(rèn)知，然后教師可再設(shè)置一個學(xué)生難以跨越的“障礙”，讓學(xué)生建立構(gòu)建模型的意識。如設(shè)置問題諸如-23+34，讓學(xué)生在之前經(jīng)驗基礎(chǔ)上，自己想辦法解決問題。例如：算式3+6=9、-6+0=-6、3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、0+3=3、-4+1=-3、-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第一步，制定模型標(biāo)準(zhǔn)。有正數(shù)+正數(shù)，這部分是小學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如3+6=9；正負(fù)數(shù)+0，0與任何一個數(shù)相加都等于這個數(shù)，如-6+0=-6、0+3=3；正數(shù)與負(fù)數(shù)相加，如3+（-2）=1、6+（-3）=3、-4+3=-1、-4+1=-3；負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加，如-4+（-1）=-5、-1+（-4）=-5。第二步，提出猜想。對上面模型進行細(xì)致分析，本次課程原理課主要是為了解決第三、第四類問題，即確定負(fù)數(shù)與另一個數(shù)相加確定結(jié)果的符號與絕對值。下面要思考的是怎樣確定符號、怎樣確定絕對值。學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)，大的負(fù)數(shù)加小的正數(shù)結(jié)果是負(fù)數(shù)、小的負(fù)數(shù)加大的正數(shù)結(jié)果是正數(shù)、負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)結(jié)果是負(fù)數(shù)。這時學(xué)生們說的“大的”“小的”就是指絕對值的大小。雖然學(xué)生的語言不規(guī)范，但是認(rèn)知是正確的，教師表揚的同時要客觀指出問題，然后引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)。第三，推理驗證模型，教師出示問題-12+3、-12-3、-12+0等問題，讓學(xué)生利用自己的猜想解答，然后驗證猜想。第四，形成原理。在驗證無誤之后，運用規(guī)范性的數(shù)學(xué)語言表達(dá)有理數(shù)加法法則，讓學(xué)生在此過程中感受數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性。第五，應(yīng)用推廣，就是運用模型的過程，再出示習(xí)題讓學(xué)生運用有理數(shù)加法法則進行計算，教師盡量鼓勵學(xué)生摒棄舊的計算習(xí)慣，使用法則來計算，學(xué)生剛開始改變計算習(xí)慣可能有一些錯誤，所以需要教師帶領(lǐng)學(xué)生反復(fù)使用法則運算，慢慢讓學(xué)生內(nèi)化成習(xí)慣，快速提升計算能力。

（二）數(shù)學(xué)概念課中模型思想的滲透

七、八年級有很多概念形成的課型，如一元一次方程、有理數(shù)、函數(shù)、不等式、分式等概念。在這些概念的教學(xué)中要讓學(xué)生經(jīng)歷概念生成的過程，就像偉大數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)概念一樣，概念形成的過程就是建模的過程。例如無理數(shù)概念的教學(xué)，學(xué)生們對整數(shù)知識理解得比較透徹，對分?jǐn)?shù)也知道分子分母。他們會經(jīng)常產(chǎn)生這樣的疑問，有沒有既不是分?jǐn)?shù)又不是整數(shù)的數(shù)？這樣的數(shù)叫什么？基于此，教師可以滲透數(shù)學(xué)模型思想進行無理數(shù)概念的教學(xué)。

第一，發(fā)現(xiàn)問題。在勾股定理教學(xué)之后，學(xué)生們經(jīng)常遇到這樣的問題，一個等腰直角三角形的兩條直角邊為1，那么根據(jù)勾股定理得到第三條邊a的長為a2=2，這里的a是有理數(shù)嗎？則讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)“危機”，知道a不是整數(shù)，是介于1～2之間的數(shù)；也不是分?jǐn)?shù)，因為分?jǐn)?shù)的平方也是分?jǐn)?shù)，卻不知道a到底是什么數(shù)。所以既不是分?jǐn)?shù)也不是整數(shù)，它的平方還是2，根據(jù)有理數(shù)的概念，a不能是有理數(shù)，既然不是有理數(shù)，a是什么數(shù)呢？

第二，分析問題。對a2=2中a的值，通過計算機計算可知a=1.41421356…，與π相似，都是無限不循環(huán)小數(shù)，除此之外還有這樣的數(shù)嗎？教師提出例子，正方形的面積為5平方厘米，它的邊長是有理數(shù)嗎？設(shè)邊長是x，x2=5，可知x不是有理數(shù)。再如正方體的體積為5立方厘米，它的邊長是有理數(shù)嗎？設(shè)邊長是y，y3=5，可知y不是有理數(shù)，以此形成概念，然后教師帶領(lǐng)學(xué)生找出這些數(shù)的共同點。即使用計算機計算他們都是無限不循環(huán)小數(shù)，不能用以前學(xué)習(xí)過的數(shù)來表示。詳細(xì)分析，分?jǐn)?shù)可以轉(zhuǎn)化為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)；有限小數(shù)也能轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)。但是無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)卻是比較困難的，教師可以多列舉幾個例子讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化方法。如：0.3·=0.333…①0.3·×10=3.333…②，②-①得到0.3·×9=3，所以0.3·=13。同理可證0.13·=215，0.3·4·=3499。這種轉(zhuǎn)化過程有些許難度，但是為了讓學(xué)生能夠知道無限循環(huán)小數(shù)是可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的，所以教師要在課堂中做這種示范，為滲透建模思想提供充分的契機，讓學(xué)生知道像上面x、y這樣的數(shù)的本質(zhì)是無限不循環(huán)小數(shù)。

第三，解決問題。教師可以再列舉無限不循環(huán)小數(shù)的例子，讓學(xué)生知道這種數(shù)有很多，思考如何下定義，就是建模的過程。自此“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”這個定義自然生成，學(xué)生能夠充分地區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)。

在此過程中可知，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生主動思考形成概念，同時在發(fā)現(xiàn)問題與突破問題中還能發(fā)現(xiàn)更多的未知要素，經(jīng)歷抽象概括環(huán)節(jié)后形成新的概念，在這個過程中就滲透了建模思想，對相同屬性的事物構(gòu)建模型，讓概念形成更有條理。

（三）數(shù)學(xué)解題課中建模思想的滲透

初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)占的比重大，每一節(jié)新課教學(xué)之后都要有對應(yīng)的解題課，這也是培養(yǎng)學(xué)生建模思維的最佳時機。教師在解題教學(xué)課中要指導(dǎo)學(xué)生如何解題，找共性，建立模型，讓學(xué)生能夠用模型來解題，舉一反三。下面從代數(shù)與幾何兩方面闡述如何在數(shù)學(xué)解題課中滲透模型思想。

1. 代數(shù)解題教學(xué)中滲透建模思想

代數(shù)類問題解答常用的模型是A·B=C，這個模型也是最簡單的，學(xué)生從小學(xué)階段就開始接觸了，如行程問題中的路程=速度×?xí)r間、工程問題中的工作量=工作效率×工作時間等。在小學(xué)階段知道三個量中的兩個，學(xué)生可以輕松求出第三個量，直接列出算式求解。到了初中階段則是通過設(shè)未知數(shù)列方程模型，或者通過變量表示函數(shù)模型等，加大了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。

例如問題：“商場內(nèi)出售一款褲子為80元，晨晨買這款褲子一共花了240元，請問晨晨買了幾條這款褲子？”此問題的解答是通過設(shè)置未知數(shù)，晨晨買了x條褲子，然后列出一元一次方程80×x=240來解答。再如問題：“商場內(nèi)出售一款褲子80元，一款襯衫150元，晨晨一共買三件，花了310元，求晨晨各買了幾件襯衫和褲子？”此問題增加了一個研究對象，就變成二元一次方程組問題了?？梢灾苯舆\用模型A·B=C，詳細(xì)來說，就是價格模型：總價格=售價×個數(shù)。

再加深難度，例如問題：“商場內(nèi)出售一款褲子為80元，進價為30元，每天可賣100條，據(jù)市場調(diào)查可知，褲子每降價1元，可以多賣4條，要想每天獲得利潤5600元，每條褲子降價多少元最合適?！边@個問題看似復(fù)雜，卻仍然可以使用模型A·B=C來計算，此時的模型是總利潤=單條褲子的利潤×銷售量。設(shè)每條褲子降價x元，那么每條褲子的利潤是80-30-x=50-x（元），銷售量則為100+4x。對每條褲子的利潤和銷售量算式的表達(dá)對學(xué)生來說難度有些大，分析起來就是學(xué)生對模型的認(rèn)知不足。每一個新知識點的教學(xué)，都需要教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時還要與舊知識形成對比，找出異同，挖掘知識本質(zhì)，在舉一反三中鞏固所學(xué)。當(dāng)學(xué)生學(xué)會A·B=C這個模型后，自然就能自己分析代數(shù)應(yīng)用題。

除了方程之外還可用函數(shù)表示應(yīng)用題中的條件關(guān)系，在A·B=C模型中將C作為變量y，A或者B作為未知數(shù)x，如此一個函數(shù)模型就產(chǎn)生了，即y=A（B）x。例如問題：“商場內(nèi)出售一款褲子為80元，進價為30元，每天可賣100條，據(jù)市場調(diào)查可知，褲子每降價1元，可以多賣4條，每條褲子降價多少才能獲得最大的利潤？”之前的問題中給出利潤是5600元這個條件，現(xiàn)在沒有了這個條件，可以將總利潤用y表示，函數(shù)關(guān)系式為y=（100+4x）（50-x）。通過對一系列銷售問題的分析，能幫助學(xué)生深刻地認(rèn)識到函數(shù)與方程之間的聯(lián)系與區(qū)別，對兩種模型的認(rèn)知也會更加深入。

2. 幾何解題教學(xué)中滲透建模思想

初中幾何題中的模型較多，幾乎每一種基本圖形都能夠當(dāng)做模型運用到解題中，如扇形公式、等腰三角形的三線合一等，在復(fù)雜的幾何問題中可以幫助學(xué)生找到基本模型，挖掘有效信息，科學(xué)解題。

初中階段的幾何證明題涉及三角形相似的知識點較多，學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線分線段成比例的學(xué)習(xí)后過渡到相似三角形的知識點。學(xué)生在做這類題型的時候往往難以在復(fù)雜的圖形中找到或者通過做輔助線的形式制作相似三角形。

例如問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=3，點D、E在BC邊上，連接AD，AE，若∠DAE=45°，BE=52，求CD的長。

圖1

此題目中涉及一個相似三角形的模型，即“半角”模型，教師先帶學(xué)生解答這個問題，在Rt△ABC中，因為∠BAC=90°，AC=AB=3，所以∠B=∠C=45°，∠BAE=∠BAD+∠DAE=∠BAD+45°?！螩DA=∠BAD+∠B=∠BAD+45°。所以∠BAE=∠CDA，所以△ABE～△DCA，所以ABDC=BECA。因為AB=AC=3，BE=52，所以3DC=523，CD=185。解答完問題后，學(xué)生在了解解題思路之后，師生一同分析，在等腰直角三角形中，∠DAE=12∠BAC=45°時，能夠得到△ABE、△DCA、△DAE是相似的。記住這個幾何模型后，以后再接觸相似圖形的時候，可以馬上得到相似的結(jié)論，解題過程會更加順利。

五、 結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)學(xué)模型思想，對學(xué)生來說有以下意義：一方面，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型思想的每一個環(huán)節(jié)都需要學(xué)生主動參與，對其良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)有重要意義；另一方面，對初中生來說在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的時候建立模型思想，能夠幫助他們舉一反三，鍛煉轉(zhuǎn)化意識，解答更多沒有見過的數(shù)學(xué)問題?？梢?，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想是可行的、值得推廣的。

參考文獻(xiàn)：

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