高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)探究

陳鐘洪

【摘要】建模的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于高中的數(shù)學(xué)解題過程中，可極大程度上提升學(xué)生的解題效率和解題準(zhǔn)確率.強(qiáng)化學(xué)生建模思維的培養(yǎng)，讓更多的學(xué)生了解目前高中數(shù)學(xué)新課程的改革發(fā)展方向，培養(yǎng)學(xué)生的建模思維能力，也是學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)要求之一，這凸顯了數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要方法.本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)建模的相關(guān)教學(xué)案例以及教學(xué)特點(diǎn)，從教學(xué)實(shí)踐的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)闡述，以概率和統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容為例進(jìn)行詳細(xì)闡述，希望能提高高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);建模;概率與統(tǒng)計(jì)

數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過程中了解數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)建模的知識(shí)、構(gòu)建過程，幫助學(xué)生形成自己的建模知識(shí)體系，讓更多的學(xué)生通過自主探索和應(yīng)用來提升建模的數(shù)學(xué)素養(yǎng).數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式，是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，也是提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要路徑.從近幾年的高考數(shù)學(xué)分析來看，高考數(shù)學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的考查內(nèi)容越來越多，文章從概率和統(tǒng)計(jì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略講解和分析，希望能進(jìn)一步幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模知識(shí)，形成數(shù)學(xué)建模思想，將建模意識(shí)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程.

1?數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力分析

長(zhǎng)期以來，我國(guó)數(shù)學(xué)教育一直重視數(shù)學(xué)與實(shí)際、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系，與國(guó)外的數(shù)學(xué)教育相比，具有基礎(chǔ)扎實(shí)、訓(xùn)練嚴(yán)格的傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)，但是，學(xué)生的知識(shí)面窄、內(nèi)容形式呆板，注重理論而不注重實(shí)踐應(yīng)用.隨著現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，學(xué)生生活中的一些數(shù)學(xué)知識(shí)體現(xiàn)也越來越明顯，學(xué)生可以利用自我所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的難題，教師也可以通過創(chuàng)建相應(yīng)的生活情境，讓學(xué)生思考自我的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用條件，從多個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生思考，從而培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力.數(shù)學(xué)模型是一種很好的學(xué)習(xí)方式，它包括合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)等多種要素和功能.建模是一個(gè)從學(xué)習(xí)到使用，再到完成的逐步過程，是學(xué)習(xí)與應(yīng)用相結(jié)合的過程.數(shù)學(xué)并不是所有都由老師教給他們，而是需要他們自己去摸索.

培養(yǎng)邏輯推理和抽象思考能力.模型是一種從具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程，通過將思維轉(zhuǎn)換為理解，可以增強(qiáng)學(xué)生的抽象能力.

培養(yǎng)學(xué)生的合作精神.數(shù)學(xué)模型的教學(xué)要求具有多個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)，這就要求擁有不同知識(shí)結(jié)構(gòu)的人們經(jīng)常聚在一起，互相討論，從中得到靈感和利益.學(xué)生在學(xué)習(xí)中團(tuán)結(jié)合作，相互啟發(fā)，理性妥協(xié)，求同存異，在不知不覺中提高了合作能力，為未來的科研工作奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

提高學(xué)習(xí)水平.學(xué)生在進(jìn)行建模的時(shí)候，需要學(xué)習(xí)的知識(shí)往往會(huì)受到年齡和問題的影響，而教師沒有足夠的時(shí)間去彌補(bǔ)，只會(huì)給他們講解一些基本的思路和方法，這就需要他們自己去解決問題，分析問題，從而提高了學(xué)習(xí)水平，終身受益.

培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、解決問題的能力.認(rèn)識(shí)論把模型看作是一種心理和思想的活動(dòng)，沒有固定的方式，也沒有固定的模式，但是非常復(fù)雜，需要強(qiáng)大的應(yīng)變能力.數(shù)學(xué)模型需要分析和綜合、抽象和概括、比較和類比、系統(tǒng)化和具體化四個(gè)階段，前者是核心，后者是解決問題的關(guān)鍵.通過對(duì)模型的實(shí)踐，學(xué)生可以最大程度上發(fā)散自我的思維，提升自我的應(yīng)變能力，在解決問題的過程中，加強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)整合的應(yīng)用能力，提升了學(xué)生綜合解決問題的能力.

2?高中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)探究——以概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)內(nèi)容為例

2.1?了解模型的成立原理和方法，解決對(duì)應(yīng)思維問題

數(shù)學(xué)的建模過程中，不同的數(shù)學(xué)模型對(duì)應(yīng)不同的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，需要學(xué)生掌握數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，了解題目的意思才能進(jìn)一步對(duì)題目進(jìn)行綜合判斷，才能選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題.了解不同數(shù)學(xué)模型的功能和應(yīng)用特點(diǎn)，才能達(dá)到更高層次的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)建模不能流于形式，需要幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)，建模的原理歸納和靈活應(yīng)用才是數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)能力培養(yǎng)要求，需要讓學(xué)生從記憶中選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠斫鉀Q數(shù)學(xué)問題.

例1?在某學(xué)校的教學(xué)活動(dòng)中，教師為了驗(yàn)證不同方式的記憶效率開展了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn).教師隨機(jī)選擇班級(jí)中的40名同學(xué)，將同學(xué)隨機(jī)分成兩組，每組20個(gè)人.第1小組在記憶某種東西的時(shí)候，采用第一種記憶方式，第2小組在記憶同樣?xùn)|西的時(shí)候，采用第二種記憶方式，通過對(duì)學(xué)生記憶效率進(jìn)行測(cè)試，得到了如圖1所示的莖葉圖.要求學(xué)生思考，根據(jù)圖象，能知道哪種記憶方式的效率更高？為什么？

這道題目的分析和解題過程其實(shí)就是一種圖象建模的過程，在這道題目的考查內(nèi)容中，主要是針對(duì)記憶效率的高低進(jìn)行實(shí)際問題的研究和分析.考查了學(xué)生莖葉圖、總體數(shù)、平均數(shù)等相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，也考驗(yàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)學(xué)建模能力以及數(shù)學(xué)思維能力.

2.2?引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐學(xué)習(xí)建模，掌握建模知識(shí)

關(guān)于離散型隨機(jī)變量的超幾何分布、二項(xiàng)分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率計(jì)算等，在教科書中已有大量的現(xiàn)成數(shù)學(xué)模型.在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，了解模型是用來解決怎樣的數(shù)學(xué)問題，如何構(gòu)建模型，如何找到模型中的變量，模型的求解需要考慮的問題.只有如此，教師才能把已有的數(shù)學(xué)模型的教學(xué)功能發(fā)揮出來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力得到有效的開發(fā).比如，超幾何分布教學(xué)中，在解釋該數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程中，需要讓同學(xué)們思考，如何解決哪些問題的超幾何分布？什么是該模式所包含的數(shù)量？有哪些限制？在求解該模型時(shí)，需要注意的問題有哪些？在此基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)例，對(duì)所提出的問題進(jìn)行具體的實(shí)例分析對(duì)比，從而進(jìn)一步強(qiáng)化模型應(yīng)用.

例2?某大學(xué)鄉(xiāng)村支教團(tuán)隊(duì)總共有6名男生，4名女生.想要在這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取5名同學(xué)參加支教活動(dòng)，求抽到的同學(xué)中恰有3名女同學(xué)的概率？

建模過程?考慮將本題目中的10名同學(xué)看作學(xué)生熟悉的彩色球，然后4名女同學(xué)看作為4個(gè)白色球，題目可以理解成在10個(gè)彩色球中隨機(jī)選擇不放回的方式取出5個(gè)球，求取到3個(gè)白色球的概率.根據(jù)數(shù)學(xué)模型，可以得到：P（x=3）=C34C26C510.

2.3?拓展建模思維，建立新模型

數(shù)學(xué)教育的實(shí)質(zhì)就是對(duì)數(shù)學(xué)思維的傳授，而數(shù)學(xué)思維的教學(xué)則可以擴(kuò)展到從一種數(shù)學(xué)模式到另一種模式的思考.一個(gè)數(shù)學(xué)模型的擴(kuò)充可以看成一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)學(xué)模型包含了數(shù)學(xué)建模的基本元素，所以它是一種很好的教學(xué)方法.擴(kuò)展成模的最大優(yōu)勢(shì)在于，以已有的模型為基礎(chǔ)，采用相似或類推的方法，以便于掌握和訓(xùn)練思想.同時(shí)，這種方法在老師和學(xué)生中都很流行，只要教師預(yù)先設(shè)定，就能很好地創(chuàng)造高效率的課堂.

例如?日常生活中的問題：一批商品中有20個(gè)一等品、15個(gè)二等品、5個(gè)三等品.現(xiàn)從中抽取8件商品，求其中抽到2件二等品和1件三等品的概率是多少？

這個(gè)題目的解答需要在超幾何分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，建立對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，比如，在相同的N個(gè)彩色球中，有M個(gè)白色球，有R個(gè)紅色球，現(xiàn)從中不放回取n個(gè)球，則取到i次白球和j次紅球的概率為：P（x=i，y=j）=CimCjrCn－i－jN－M－RCnN.

2.4?注重教材課程資源開發(fā)和拓展

在新課改背景下，以概率與統(tǒng)計(jì)為主題的模型研究，在數(shù)據(jù)采集方面，一方面可以直接使用新教材的資料作為背景;另一方面，為了使資料更逼真，教師可以自己開發(fā)，在時(shí)間和條件允許的情況下，讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)據(jù)采集的過程.以新教材為基礎(chǔ)，開發(fā)新的課程資源.教師可以根據(jù)新教材所提供的相關(guān)環(huán)境，對(duì)相關(guān)的資源進(jìn)行開發(fā)，一方面可以從已有的文獻(xiàn)資料中尋找到相關(guān)的現(xiàn)實(shí)情況：另一方面，還可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情況，挖掘出有價(jià)值的數(shù)學(xué)模型的教學(xué)資源.從課程資源的開發(fā)上，教師要有對(duì)資源的認(rèn)識(shí)與利用，既要在日?；顒?dòng)中尋找適宜的活動(dòng)環(huán)境，又要在諸如《統(tǒng)計(jì)年鑒》等社會(huì)資源中尋找與之相關(guān)的資料，并在其他學(xué)科中發(fā)掘適合教學(xué)的資源，充分挖掘活動(dòng)背后的數(shù)據(jù)，將其轉(zhuǎn)換成符合學(xué)生認(rèn)知的背景材料.

例如?根據(jù)數(shù)學(xué)教材關(guān)于“統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情況調(diào)查”的模型建設(shè)，教師可根據(jù)教材中給出的數(shù)據(jù)背景為例，通過建立統(tǒng)計(jì)公司BMI值的相關(guān)數(shù)學(xué)模型，可以引導(dǎo)學(xué)生以學(xué)校為單位采集部分教師學(xué)生的BMI值，也可以到某個(gè)公司去隨機(jī)選擇100名男女員工進(jìn)行BMI值的調(diào)研，抑或選擇自己小區(qū)內(nèi)部分男女居民BMI值作為調(diào)研樣本.這些都是數(shù)學(xué)模型建立的過程，將數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)和學(xué)生的生活緊密聯(lián)系起來，關(guān)注調(diào)查數(shù)據(jù)收集的方法以及數(shù)學(xué)模型建立的過程，通過實(shí)例調(diào)查的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)的收集，以便于提升學(xué)生的模型思維.

2.5?改變單一的數(shù)學(xué)考試方式

考試作為一種重要的教學(xué)活動(dòng)，是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況和對(duì)教師教學(xué)質(zhì)量的評(píng)價(jià).傳統(tǒng)的概率理論、數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)課都是以期末閉卷形式進(jìn)行，教師們一般都是根據(jù)一定的題目和形式，而學(xué)生們則是將大量的時(shí)間浪費(fèi)在死記硬背的公式和概念上，忽視了所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用.盡管綜合分?jǐn)?shù)是根據(jù)平時(shí)和期末考試的兩個(gè)百分比來進(jìn)行的，但是，平時(shí)的考試主要是通過下課后的習(xí)題來進(jìn)行，而對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和對(duì)作業(yè)的態(tài)度也有很大的不同.因此，必須對(duì)傳統(tǒng)的考試方法進(jìn)行改革，以提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.一般來說學(xué)生的成績(jī)測(cè)試可分為兩個(gè)重要的組成部分，第一部分是閉卷考試，占比為60%，主要考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)基本原理的理解.第二部分為開卷考試，占比為40%，主要組成部分是學(xué)生平時(shí)的課堂學(xué)習(xí)表現(xiàn)、課后測(cè)試、課外實(shí)踐等，主要以考勤課堂表現(xiàn)作業(yè)為主.課后實(shí)驗(yàn)和課外實(shí)踐主要測(cè)試學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，教師提供一定的實(shí)踐問題，或參與社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，收集資料；這種靈活多樣的考試制度，既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又可以促進(jìn)學(xué)生的實(shí)際運(yùn)用.

例如?在學(xué)生學(xué)習(xí)了概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)之后，教師組織學(xué)生進(jìn)行課外實(shí)踐，收集調(diào)研資料.將數(shù)學(xué)建模的思維和方法應(yīng)用到實(shí)踐中，能達(dá)到理解、深化、鞏固、提升的教學(xué)效果，根據(jù)實(shí)際情況選擇相應(yīng)的學(xué)習(xí)資料，學(xué)生可自由組隊(duì)深入實(shí)踐.利用調(diào)查統(tǒng)計(jì)的方法觀察分析問題，收集資料利用所學(xué)習(xí)的電腦技術(shù)完成建模，對(duì)某些具體問題進(jìn)行分析、解決，并撰寫書面報(bào)告.比如，在空閑的時(shí)候，可以觀察到學(xué)校門口的公交車上每一次的乘客數(shù)量，然后根據(jù)這些信息，制定出一套可行的公交調(diào)度計(jì)劃：包括發(fā)車時(shí)刻表、需要的車輛數(shù)量，如何才能兼顧乘客與公共汽車公司的利益.

3?結(jié)語

綜述，通過將數(shù)學(xué)模型的概念融入數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，既可以充分發(fā)揮概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)用價(jià)值，又可以把概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)和實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來，同時(shí)也可以加深學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí)和理解.

【課題項(xiàng)目：本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“新高考背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐研究”；項(xiàng)目編號(hào)：FJJKZX21-096】

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