“圓”自教材　觸類旁通

陸微微

教材是教與學(xué)的重要依據(jù)，也是考試命題的重要來源。學(xué)會(huì)研究教材中重要例習(xí)題及變式，既可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，又可以拓寬解題思路。

【原題呈現(xiàn)】（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第92頁(yè)第10題）如圖1，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D。若AB=10，AC=6，求BC、BD的長(zhǎng)。

【解析】連接AD。由AB是直徑，得∠ACB=∠ADB=90°，即可求得BC=8。由CD平分∠ACB，得∠ACD=∠BCD=45°。由圓周角性質(zhì)，得∠ABD=∠ACD=45°，則∠BAD=45°，△ABD為等腰直角三角形，進(jìn)而求得BD=[52]。

【點(diǎn)評(píng)】本題的設(shè)計(jì)意圖是想讓同學(xué)們掌握?qǐng)A周角定理，會(huì)通過構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角來解決問題。

變式1 如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，BD為圓O的直徑，AC平分∠BAD，CD=[22]，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，連接DE。

（1）求直徑BD的長(zhǎng)；

（2）若BE=[52]，計(jì)算圖中陰影部分的面積。

【解析】（1）用與原題同樣的方法可得∠CDB=∠CBD，則BC=DC，即△BDC是等腰直角三角形，可求出BD=4。

（2）因?yàn)锽C=DC，所以陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為Rt△CDE的面積，S陰影=S△CDE=[12]×[22]×[32]=6。

【點(diǎn)評(píng)】本題是2022年南通市中考題。第（1）問是原題條件和結(jié)論互換后的變式，解決問題的方法不變。第（2）問是添加條件后的延伸，考查不規(guī)則圖形面積的求解，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想。

變式2 如圖3，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=8cm。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上做勻速運(yùn)動(dòng)。連接PQ交OT于點(diǎn)B。經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），其中0＜t＜8。

（1）求OP+OQ的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段OB的長(zhǎng)度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）求四邊形OPCQ的面積。

【點(diǎn)評(píng)】本題是2020年蘇州市中考?jí)狠S題，是教材習(xí)題的深度拓展，綜合性較強(qiáng)，考查同學(xué)們靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。

一滴水可以折射太陽(yáng)的光輝，一道題也能散發(fā)知識(shí)的光芒。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中能做會(huì)一題、變式一類、探討一番，從而開闊思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級(jí)中學(xué)）