尋根求源　變式探究

彭秋月

教材中的例題是非常典型的數(shù)學(xué)問題，背后蘊(yùn)含著豐厚的價值。其實(shí)，很多中考題都是由教材中的例題改編而來的，因此我們要足夠重視它們。

原題呈現(xiàn) （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第67頁例3）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。DE與AC有怎樣的位置關(guān)系？為什么？

詳細(xì)解答過程見教材。

變式1 如圖2，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，連接BD。若AE=4，ED=2，求⊙O的半徑。

【解析】求⊙O的半徑可轉(zhuǎn)化為求線段AB的長度，利用勾股定理和相似三角形對應(yīng)邊成比例可以輕松解決問題。

∵ED=2，AE=4，∴AD=[AE2+DE2]=[25]。

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。

∵∠EAD=∠BAD，∴△ADE∽△ABD。

∴[AEAD]=[ADAB]。∴AB=5。

∴⊙O的半徑為[52]。

【點(diǎn)評】我們可以利用勾股定理或者相似三角形來解決求線段長度的問題。

變式2 如圖3，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E。AE與⊙O交于點(diǎn)F，延長ED、AB交于點(diǎn)G，試探究AB、AF、EF三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

【解析】構(gòu)造垂徑定理基本圖形。如圖4，連接OD，過點(diǎn)O作OH⊥AF于點(diǎn)H，易證四邊形ODEH為矩形，所以O(shè)D=EH。

∵OH⊥AF，∴HF=[12]AF。

∴OD=EH=EF+HF=EF+[12]AF，

∴2OD=2EF+AF，即AB=2EF+AF。

【點(diǎn)評】本題是2017年鹽城市中考題第25題的第（3）小題。我們利用垂徑定理也能解決長度的計算問題。

（作者單位：江蘇省鹽城市康居路初級中學(xué)）