有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)點(diǎn)及考點(diǎn)歸納

顧建明

坐標(biāo)系與其它數(shù)學(xué)知識(shí)存在不可分割的聯(lián)系.許多知識(shí)在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究會(huì)更加直觀易懂.所以只有牢固掌握了與直角坐標(biāo)系有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)與考點(diǎn)，才能更好地學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí).

一、平面直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)歸納

1.平面直角坐標(biāo)系的定義：在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，就組成平面直角坐標(biāo)系.水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).

2.各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限.坐標(biāo)在四個(gè)象限的特點(diǎn)：點(diǎn)P （ x，y）在第一象限則x>0，y>0；在第二象限則x<0，y>0；在第三象限則x<0，y<0；在第四象限則x>0，y<0.

4.點(diǎn)的對(duì)稱：點(diǎn)P（ m，n），關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（ m，-n），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-m，n），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（-m，-n）.

5.平行線：平行于x軸的直線上的點(diǎn)的特征：縱坐標(biāo)相等，如直線PQ，P（m，n）Q （p，n）；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)相等，如直線PQ、P（m，n）、Q（m，p）.

6.象限角的平分線：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等，可記作：P（m，m）；點(diǎn)P （ a，b ）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（ b，a ）；第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可記作： P（m，-m）；點(diǎn)P （ a，b ）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（- b，- a ）.

7.點(diǎn)的平移：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（ x，y）向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x + a，y）；向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x-a，y）；向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y+b）；向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y-b）.

二、平面直角坐標(biāo)系相關(guān)考點(diǎn)歸納

1.求坐標(biāo)

求點(diǎn)的坐標(biāo)的方法是過(guò)這個(gè)點(diǎn)向x軸作垂線，則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；過(guò)這個(gè)點(diǎn)向y軸作垂線，則垂足對(duì)應(yīng)的數(shù)就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo).確定了一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，就知道這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3，4），將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是.

例2在平面直角坐標(biāo)系中，A（-5，0），B（3，0），點(diǎn)C在y軸上，△ABC的面積為12，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

解：∵點(diǎn)A（-5，0），B（3，0），都在x軸上，

∴AB=8.

∵△ABC的面積為12，點(diǎn)C在y軸上，

解得OC=3，

若點(diǎn)C在y軸的正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），若點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）.

2.求象限

在平面直角坐標(biāo)系中，各象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)是：第一象限內(nèi)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為正；第二象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正；第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為負(fù)；第四象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù).確定了點(diǎn)橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)的正負(fù)，就確定了象限.

例3若點(diǎn)M（x，y）滿足（x+y）2= x2+ y2-2，則點(diǎn)M所在象限是（）.

A.第一象限或第三象限

B.第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限

D.不能確定

解：∵（x+y）2= x2+ y2+2xy，

∴原式可化為xy=-1，

∴x、y異號(hào)，

∴點(diǎn)M（x，y）在第二象限或第四象限.

故選B項(xiàng).

故選B項(xiàng).

3.求面積

當(dāng)三角形有一邊在x軸上時(shí)，則以x軸上的邊為底邊，其長(zhǎng)等于x軸上兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值，此邊上的高就等于另一個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；當(dāng)三角形的一邊在y軸上時(shí)，則以y軸上的邊為底邊，其長(zhǎng)等于y軸上兩個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，此邊上的高就等于另一個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值.確定了三角形的底邊和高就能求出面積.

例5如圖3，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（2，4），B（-2，0），C（3，0），求△ABC的面積.

解：過(guò)A作AD⊥x軸，垂足為D，

∵A的坐標(biāo)是（2，4），

∴AD=4，

例6如圖4，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），求三角形ABC的面積.

分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無(wú)法直接求邊長(zhǎng)，也無(wú)法求高，因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，可以將三角形圍在一個(gè)梯形或長(zhǎng)方形中，這個(gè)梯形（長(zhǎng)方形）的上下底（長(zhǎng)）與其中一個(gè)坐標(biāo)軸平行，高（寬）與另一個(gè)坐標(biāo)軸平行.這樣，梯形（長(zhǎng)方形）的面積就容易求出，然后再減去圍在梯形（長(zhǎng)方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積.

解：如圖5，過(guò)點(diǎn)A、C分別作平行于y軸的直線，與過(guò)點(diǎn)B平行于x軸的直線交于點(diǎn)D、E，則四邊形ADEC為梯形.