高中數(shù)學實驗課型的研究與實踐

閔長江

當前，對于數(shù)學實驗的研究與實踐主要體現(xiàn)在兩個層面。

第一層面，是基于模擬環(huán)境下的數(shù)學實驗。數(shù)學實驗作為高等院校的一門課程，是我國高等教育面向21世紀的改革舉措，是基于“高等數(shù)學”“線性代數(shù)”“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”等理論知識、數(shù)學建模與計算機應用三者的融合，有利于培養(yǎng)大學生編程與數(shù)值計算等能力。 在高中數(shù)學教學中，也有一些研究與實踐。

第二層面，是基于真實場景下的數(shù)學實驗。數(shù)學實驗作為高中數(shù)學課堂的一種教學形式，是為解決特定的數(shù)學問題，驗證特定的數(shù)學假設，在真實的場景下，采用實驗的方式進行的數(shù)學探究活動。本文所提及的“高中數(shù)學實驗”屬于這一界定范疇。

本文基于現(xiàn)行高中數(shù)學教材中概率章節(jié)的兩個數(shù)學實驗案例，對數(shù)學實驗課型的界定、實施與評價進行了詳細的論述。

一、數(shù)學實驗課型的研究

筆者在教學實踐中，不斷挖掘現(xiàn)行教材中可供實驗的素材，實行數(shù)學實驗課型的行動研究。數(shù)學實驗課型，是指為更有效地達成教學目標，把實驗活動融入數(shù)學課堂，在限定的時間和空間內進行實驗活動而形成的一種特有的數(shù)學教學形式。數(shù)學實驗課如同物理、化學、生物實驗課一樣，學生通過演示、操作、觀察、思辨等一系列的過程，完成相應的認知活動。

（一）課型劃分

以實驗的類型為依據(jù)，結合已有的研究成果，本文將數(shù)學實驗課劃分為“驗證型”和“探索型”兩種。 拋擲硬幣實驗是典型的驗證型實驗，因為對于質地均勻的硬幣，其正面朝上與反面朝上的機會是均等的，學生容易預測出實驗的最終結果。事實表明，幾乎全部的實驗小組都在實驗之前預測正面朝上的頻數(shù)為50。那么，真實的情況到底是不是這樣呢？需要檢驗?？梢?，實驗本身就是一個富有期待的驗證過程。而拋灑圖釘實驗則是鮮明的探索型實驗。對于質地不均勻的圖釘，學生就沒有了預判力。事實也恰恰表明，各個小組預測的釘尖朝上的頻數(shù)結果相差甚遠。于是，此實驗就具有了強烈的探索意味。

（二）課型結構

數(shù)學實驗課的設計可以分為實驗準備、實驗操作、統(tǒng)計分析和實驗成果四個環(huán)節(jié)。其中，實驗操作是核心，具有實操性，它是統(tǒng)計分析和實驗成果的認知基礎，而實驗成果是基于實驗操作以及統(tǒng)計分析的理論提升。 努力做到“實驗操作有信度，理論提升有高度”，四個環(huán)節(jié)之間的關系是遞進的、相輔相成的和不可或缺的。一節(jié)數(shù)學實驗課如果呈現(xiàn)的僅僅是實驗操作環(huán)節(jié)，顯然是有瑕疵的。

二、數(shù)學實驗課型的教學案例

以下結合兩個案例，探討一下高中數(shù)學實驗課的實施與評價。

（一）拋擲硬幣實驗

1.實驗準備。（1）同桌兩位學生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個方形的實驗平臺。（2）兩位學生相對而坐，并填寫《實驗記錄單》中的信息。（3）實驗預測：拋擲100次硬幣，正面朝上的頻數(shù)是。

2.實驗操作。（1）學生甲在桌面上方拋擲一枚硬幣，讓硬幣做自由落體運動掉落到桌面上。（2）學生乙在《實驗數(shù)據(jù)表》中，用“正字法”記錄正面朝上的頻數(shù)。

3.統(tǒng)計分析。將《實驗數(shù)據(jù)表》中正面朝上的總頻數(shù)報給科代表。

（二）拋灑圖釘實驗

1．實驗準備。（1）同桌兩位學生組成合作小組。清空桌面，并將課桌相對擺放，形成一個方形的實驗平臺。為防止圖釘蹦跳落地，沿平臺的四周用書或文具等圍成一個封閉的區(qū)域。（2）兩位學生相對而坐，并填寫《實驗記錄單》中的信息項目。（3）實驗預測：拋擲100次圖釘，估計正面朝上的頻數(shù)是。

2.實驗操作。（1）學生甲在桌面上方適當?shù)母叨龋?0厘米左右）拋灑圖釘。在每次拋灑實驗中，要求學生手里放10枚圖釘，一次性拋灑或者讓圖釘陸續(xù)從手中滑落，掉落到桌面上。（2）學生乙在每次實驗后，將釘尖朝上的個數(shù)填寫到《實驗數(shù)據(jù)表》中。

3.統(tǒng)計分析：將《實驗數(shù)據(jù)表》中正面朝上的總頻數(shù)報給科代表。

（三）關于兩個實驗的幾點說明

1.合作小組的劃分。班額以50人為例，同桌的兩位學生組成合作小組，共分為25個小組。

2.實驗器材的準備。（1）拋擲硬幣實驗：準備硬幣，面值不限，每組1枚備用。（2）拋灑圖釘實驗：準備圖釘，每組10個圖釘備用。

3.影響實驗結果的因素分析。（1）平臺質地因素。研究表明，當平臺的質地比較光滑且硬質時，硬幣和圖釘都能夠充分地碰撞、彈跳，滿足實驗的隨機性要求。但當平臺的質地比較松軟時，就不能滿足實驗的場地環(huán)境要求。（2）器材選擇因素。研究表明，硬幣的材質、面值的選擇對實驗的結果沒有影響。但圖釘實驗就不同，不同功能、不同品牌的圖釘形狀各異，所得到的實驗數(shù)據(jù)客觀上就會有差別。因此，同一實驗必須采用同一種品牌的圖釘，并且在數(shù)據(jù)表中需要注明圖釘?shù)南嚓P信息。比如，本實驗所使用的圖釘是上海圖釘廠生產的四方牌121型圖釘。（3）拋擲方式因素。為了體現(xiàn)實驗的隨機性，讓硬幣、圖釘有充分的碰撞、彈跳的過程，要求拋擲的高度不能過低，可結合實驗環(huán)境的實際確定。若在課室內以課桌為實驗平臺，一般拋擲的高度以30～40厘米為宜。另外，硬幣還可以采取高拋旋轉的方式。

4.時間規(guī)劃。數(shù)學實驗課的每個環(huán)節(jié)可以進一步優(yōu)化時間。實踐表明，前三個環(huán)節(jié)可以在20分鐘以內完成。再進行后續(xù)的實驗成果的總結，時間就比較可控了。特別是，在下課前的2～3分鐘，還要進行硬幣（或圖釘）與《實驗報告單》的收集。

5.安全事宜。每次進行實驗設計時，必須考慮安全問題。像圖釘這一類器材，有一定的危險性，為了避免扎傷學生，在實驗后及時回收，不可忽視。

三、數(shù)學實驗的反思與評價

（一）數(shù)學實驗符合學生的認知規(guī)律

感性認識是認識的來源，是理性認識的基礎。 正如波利亞所說：“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見、摸得著。”對于學生來說，觀察、體驗、參與、從活動中獲得直接經驗是不可逾越的階段。但反思我們的教學，往往是把很多直接經驗尚且不足的學生，硬生生地拽到理論概括階段，導致學生的認知懵懂，催生分化。而數(shù)學實驗恰恰可以為學生的感性認識提供時間和空間，促進學生由感性認識轉向理性認識。

（二）數(shù)學實驗蘊含合作學習

組織學生進行實驗探究是數(shù)學教師的重要教學行為。數(shù)學實驗不僅豐富了學生的實踐活動，而且為開展數(shù)學探究教學提供了一種有效途徑。不僅豐富了感性認知，更重要的是感受到了合作的愜意。在分工合作的同時，還可以互換角色，每位學生都能完整地經歷實驗的全過程，充分發(fā)揮學生的主體性和教師的主導性。另外，學生還可以在自評、互評以及教師的綜合評價中學會反思、收獲友誼和快樂成長。

（三）數(shù)學實驗要基于教材，立足課堂

首先，數(shù)學實驗要源于教材。從教材中挖掘素材，不斷充實數(shù)學實驗內容。據(jù)統(tǒng)計，在教材的第十章《概率》的章節(jié)中，以拋硬幣、擲骰子、摸球為背景的舉例說明、探究活動、例題、練習、習題累計有45處之多，幾乎貫穿章節(jié)的始終?？梢姡矌?、骰子、球是展示隨機現(xiàn)象的既簡單又重要的概率模型，這啟發(fā)教師應當充分利用好這些素材，發(fā)揮它們對知識的承載作用。 其次，數(shù)學實驗應當基于教學的需要。要體現(xiàn)數(shù)學實驗的必要性，不能為了“實驗”而實驗，不能讓數(shù)學實驗成為課程的附屬品。第三，數(shù)學實驗是一種教學形式，應當根植于課堂這個主陣地，盡量不要額外占用時間和空間，這就需要教師合理地規(guī)劃時間，高效地開展實驗活動，讓數(shù)學實驗由“塞入”“加入”“嵌入”，過渡到“整合”，逐步向“融合”邁進。

（四）加強思辨，培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)

教師可以抓住實驗中隨機出現(xiàn)的一些現(xiàn)象，讓學生充分感知，引導他們進行思辨。以拋擲硬幣為例，在實驗開始之前，讓學生預測：實驗100次，硬幣正面朝上的頻數(shù)是多少？在實驗結束后，可以隨機調查幾個小組的預測數(shù)據(jù)，體會實際與預想的差距。在實驗過程中也可能會出現(xiàn)幾次、十幾次，甚至更多次的連續(xù)正面朝上的現(xiàn)象，而不是想象的那種正面朝上和反面朝上交替出現(xiàn)，讓學生懂得這些現(xiàn)象在實驗過程中都是客觀存在的。

在統(tǒng)計分析環(huán)節(jié)，教師利用Excel軟件預制好《實驗數(shù)據(jù)與頻率統(tǒng)計表》和《頻率折線圖》，投放到白板上。在統(tǒng)計分析環(huán)節(jié)，由各小組報出正面朝上的頻數(shù)，由科代表錄入數(shù)據(jù)。在屏幕上，每錄入一組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計表就會自動運算，同時，頻率折線圖也隨之有了動態(tài)改變。然后，教師引導學生結合統(tǒng)計表的數(shù)據(jù)和頻率折線圖的走勢進行思辨。當實驗的頻數(shù)較少時，頻率呈現(xiàn)不夠穩(wěn)定的態(tài)勢，上下振蕩，振幅比較寬。而當實驗頻數(shù)足夠多時，頻率值基本在0.46至0.48之間振蕩，振幅較窄，頻率逐漸呈現(xiàn)出穩(wěn)定的態(tài)勢。通過分析，讓學生懂得頻率的穩(wěn)定性是建立在大數(shù)量級實驗基礎上的概念，從而引導學生較好地理解概率定義的本質。在總結實驗成果環(huán)節(jié)，教師可以比較直觀地引導學生理解頻率的穩(wěn)定性，學生會很自然地理解用頻率來估計概率的合理性，從而增強對概念的深度認知，完成從感性認識到理性認識的過渡。

四、結束語

數(shù)學實驗是一種活動化教學，能很好地激起學生的求知欲和好奇心，激發(fā)學生對數(shù)學學科的興趣，增強數(shù)學表達能力，提高計算能力、數(shù)理統(tǒng)計與分析能力。嚴謹?shù)膶嶒炦^程操作、客觀的實驗現(xiàn)象觀察、真實的數(shù)據(jù)統(tǒng)計以及對數(shù)學本質的抽象表述等，都在潛移默化地感化學生，不僅提升了學科素養(yǎng)，也培養(yǎng)了實事求是、求真務實的科學態(tài)度。

數(shù)學實驗教學具有直觀性、情境性、探索性和實踐性，高中采用實驗教學方式不僅可以改變學生的學習方式，促進學生的全面發(fā)展，還可以轉變教師的思想觀念。高中數(shù)學實驗教學的發(fā)展需要廣大一線教師集思廣益，結合高中數(shù)學教學實際，在理論研究和實踐課例中找到符合現(xiàn)實需求的教學策略，為高中數(shù)學實驗課程實施開辟廣闊的道路，這對推進高中數(shù)學以及基礎數(shù)學教學都具有開創(chuàng)性意義。

責任編輯 羅 峰