滲透數(shù)學(xué)思想 提高教學(xué)效率

石校杰

摘 要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)這門課程應(yīng)具備的重要思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，我們常發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在課堂上聽(tīng)得投入認(rèn)真，卻在課后做習(xí)題時(shí)無(wú)從下手。究其根本原因在于學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)思維，未能真正掌握數(shù)學(xué)思想，從而無(wú)法靈活自如地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題?；诖?，要想最大限度地提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，廣大數(shù)學(xué)教師要積極地滲透數(shù)學(xué)思想，拓展學(xué)生的思維空間。下文筆者分析了數(shù)學(xué)涉及的基本數(shù)學(xué)思想，探討了滲透數(shù)學(xué)思想的必要性，總結(jié)了幾個(gè)滲透數(shù)學(xué)思想的實(shí)例，以期優(yōu)化初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維以及學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；素質(zhì)教育；數(shù)形結(jié)合思想；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G63? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1673-9132（2023）17-0070-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.17.023

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確了數(shù)學(xué)思想的重要性，要求廣大數(shù)學(xué)教師及時(shí)更新教學(xué)理念，突破傳統(tǒng)教學(xué)觀念束縛，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維和方法教導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想，探尋數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，進(jìn)而為學(xué)生做到舉一反三、靈活運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。因此，初中數(shù)學(xué)教師必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想研究，在課堂教學(xué)以及課后習(xí)題講解中有效滲透數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生感受不同數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用價(jià)值，為他們提供更科學(xué)的解決問(wèn)題的“工具”，讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)見(jiàn)效見(jiàn)質(zhì)。

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的必要性

（一）素質(zhì)教育理念的要求

素質(zhì)教育強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性，要求廣大教師在教學(xué)過(guò)程中重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)也明確提出讓學(xué)生在社會(huì)實(shí)踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。這也就要求學(xué)生必須掌握一些數(shù)學(xué)思想和方法，做到舉一反三、觸類旁通。從這一角度而言，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足于教育要求，重視數(shù)學(xué)思想教育，以數(shù)學(xué)思想促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

（二）提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力

教育家米山國(guó)藏曾經(jīng)講過(guò)：“無(wú)論是技術(shù)人員還是科學(xué)工作者，都需要明確數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神?！笨梢?jiàn)，數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)精神在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中的重要性不亞于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)技能。傳統(tǒng)教學(xué)中教師忽略了這一點(diǎn)，更重視數(shù)學(xué)知識(shí)本身，從而制約了學(xué)生思維能力發(fā)展。數(shù)學(xué)思想直接體現(xiàn)了學(xué)生的綜合素質(zhì)，能夠有效推動(dòng)學(xué)生解決問(wèn)題能力的發(fā)展，所以教師也必須在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想，尤其是要在具體的問(wèn)題情境中滲透數(shù)學(xué)思想，鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題，以此提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

（三）數(shù)學(xué)思想方法能夠解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)特征

“知其然并知其所以然”的前提是掌握知識(shí)本質(zhì)，只有了解本質(zhì)，才能靈活自如地應(yīng)用知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)包括數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)公式等內(nèi)容，這些是數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)內(nèi)容，而數(shù)學(xué)思想就是學(xué)生將方法、知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)智慧的“中介”。學(xué)習(xí)、理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想也是學(xué)生真正透徹理解數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，這是數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，能夠真正展現(xiàn)數(shù)學(xué)價(jià)值和數(shù)學(xué)魅力。因此，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，給學(xué)生解釋數(shù)學(xué)知識(shí)包含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在感知、體驗(yàn)、概括、總結(jié)、反思中掌握數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深層次的理解。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想的策略

（一）滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高解題效率

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的最主要的思想，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課程、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想。掌握數(shù)形結(jié)合思想能夠巧妙地化解難題，將數(shù)與形建立聯(lián)系，提高解題效率。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的滲透。具體而言，教師可以把握以下兩個(gè)方面內(nèi)容：

一是以形助數(shù)。學(xué)生更容易理解簡(jiǎn)單、直觀的圖形，而抽象單調(diào)的數(shù)字容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)疲勞，失去學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。巧妙地用數(shù)學(xué)幾何圖形來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系，能夠最大限度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。幾何圖形具有直觀形象的特點(diǎn)，因此在涉及數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)中，教師更多傾向于以形助數(shù)，利用圖形解決代數(shù)問(wèn)題，能夠產(chǎn)生“出奇制勝”的效果。例如，正方形的分割圖用來(lái)記憶完全平方公式；將兩個(gè)全等梯形拼成一個(gè)平行四邊形用來(lái)記憶梯形公式；利用數(shù)軸將坐標(biāo)軸上的代數(shù)賦予幾何意義，構(gòu)造幾何圖形，絕對(duì)值的幾何意義就是這類代表；利用函數(shù)的性質(zhì)把握函數(shù)的意義……此類問(wèn)題都是以形助數(shù)的直接體現(xiàn)。

例1：關(guān)于x的方程x2+2kx+3k=0的兩根在-1和3之間，求k的取值范圍。

解題思路：令f（x）=x2+2kx+3k，該函數(shù)圖像與x的橫坐標(biāo)就是f（x）=0的解，由y=f（x）的圖像（見(jiàn)圖1）進(jìn)行推導(dǎo)即可解題。

一元一次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)都有著非常密切的關(guān)聯(lián)，在解決二次方程、二次不等式的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，首先就應(yīng)該想到其與二次函數(shù)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)解題，往往收效更高。

二是以數(shù)助形。初中數(shù)學(xué)教材中涉及的圖形難度也在遞增，從簡(jiǎn)單圖形到復(fù)雜幾何圖形，需要學(xué)生具備較強(qiáng)空間思維方能正確掌握?qǐng)D形要點(diǎn)。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將圖形和數(shù)之間建立聯(lián)系，用簡(jiǎn)單的數(shù)來(lái)表示幾何圖形的本質(zhì)、屬性，以此提高學(xué)生抓取關(guān)鍵信息的能力。比如利用數(shù)軸、坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題代數(shù)化，利用角度、距離、面積解決幾何問(wèn)題，利用勾股定理證明直角，利用三角函數(shù)研究角的問(wèn)題，這些都是以數(shù)助形的體現(xiàn)。

例2：圖2是由五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的十字形，如果要將這個(gè)十字形拼湊成一個(gè)正方形，你有多少種方法？

解題思路：此題如果只從圖形角度進(jìn)行分析，除了試驗(yàn)應(yīng)該沒(méi)有更好的解決辦法了。但如果能夠?qū)⑿无D(zhuǎn)化為數(shù)，將形與數(shù)巧妙結(jié)合，那么問(wèn)題就變得相對(duì)容易了。利用圖形面積公式可以計(jì)算出正方形邊長(zhǎng)為，從圖中找一段邊長(zhǎng)為的線段并且作一個(gè)正方形即可設(shè)計(jì)出各種裁剪方法。

無(wú)論是以形助數(shù)還是以數(shù)助形都需要教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)問(wèn)題中提取關(guān)鍵信息，從題干中獲取數(shù)學(xué)條件，然后觀察、分析、思考，理清幾何圖形與數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，接著再進(jìn)行過(guò)程驗(yàn)證。如此即可深化學(xué)生對(duì)數(shù)和形的理解，也能夠培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)。

（二）滲透方程和函數(shù)思想，建立數(shù)學(xué)模型

方程和函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，方程思想和函數(shù)思想也是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)加強(qiáng)方程和函數(shù)思想的滲透，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用列等式方程解決問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生快速聯(lián)想函數(shù)思想，運(yùn)用函數(shù)來(lái)呈現(xiàn)題干中的數(shù)量關(guān)系，以此鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例3：等腰三角形△ABC中，AB=BC=6，點(diǎn)P是線段BC中的一點(diǎn)，AB∥PQ且與AC相交于點(diǎn)Q，將線段PQ作為正方形PQMN的一條邊，點(diǎn)C和線段MN不處于線段PQ的同側(cè)，假設(shè)△ABC和正方形PQMN的公共部分是S，將CP的長(zhǎng)設(shè)為x，求得S和x之間存在的函數(shù)關(guān)系式。

此題看似比較復(fù)雜，涉及的圖形、線段、數(shù)量關(guān)系相對(duì)較多，學(xué)生容易受思維定式的影響，難以找到解題突破口。在指導(dǎo)學(xué)生解決這類問(wèn)題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生從方程和函數(shù)的角度進(jìn)行思考，鼓勵(lì)學(xué)生將此題轉(zhuǎn)化為方程或者函數(shù)問(wèn)題，建立方程模型或者函數(shù)模型。此種教學(xué)形式不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型素養(yǎng)，同時(shí)也能簡(jiǎn)化解答過(guò)程。

（三）滲透化歸類比思想，提高學(xué)習(xí)效率

化歸類比思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較基礎(chǔ)的數(shù)形思想，其本質(zhì)在于將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將學(xué)生陌生的問(wèn)題熟悉化，將抽象的知識(shí)直觀化。這一數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題過(guò)程中應(yīng)用得非常廣泛，是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的數(shù)學(xué)思想，具有較強(qiáng)的普遍性和實(shí)用性，是幫助學(xué)生快速解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法。因此，教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)化歸類比思想引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，然后歸入一類題型，進(jìn)而找到同類問(wèn)題相似的解決方法，從原問(wèn)題答案中獲取一類問(wèn)題的解題技巧。

例題4：解一元一次方程2x+6=3-x

方法：首先移項(xiàng)得：2x+x=3-6，然后合并同類項(xiàng)得：3x=-3，接著系數(shù)化為1得：x=-1。

例題5：解一元一次不等式：2x+6﹤3-x

方法：同樣移項(xiàng)得：2x+x﹤3-6，再合并同類項(xiàng)得：3x﹤-3，接著兩邊都除以3得：x﹤-1。

兩類問(wèn)題放在一起類比，學(xué)生掌握起來(lái)就容易得多。當(dāng)遇到不等式時(shí)，教師要鼓勵(lì)學(xué)生聯(lián)想方程，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，教學(xué)效率也更高。

又如，在教學(xué)“分解因式”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師就可以基于如下問(wèn)題鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用化歸類比思想進(jìn)行解決。

問(wèn)題1：993-99能被100整除嗎？可以將數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)數(shù)的乘積形式，從而推導(dǎo)出993-99能被100整除。

方法：993-99=99×992-99×1=99×（992-1）=99×（9801-1）=99×9800=99×98×100。

問(wèn)題2：你能否將a3-a化成幾個(gè)整式的乘積形式？

方法：a3-a=a×a2-a×1=a（a2-1）。

有了問(wèn)題1的類比，學(xué)生解決問(wèn)題2就沒(méi)太大難度，自信心也會(huì)倍增，學(xué)習(xí)積極性更高。學(xué)生先經(jīng)歷分解因數(shù)，再經(jīng)歷分解因式，并通過(guò)類比對(duì)分解因式的本質(zhì)有更加深刻的認(rèn)識(shí)。

（四）滲透分類討論思想，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

分類討論思想也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)常涉及的一種數(shù)學(xué)思想，尤其在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，不少問(wèn)題都需要進(jìn)行分類討論。缺乏分類討論思想容易導(dǎo)致學(xué)生解題答案缺乏完整性。培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想有利于促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放性思維大有益處。從初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，初中階段的分類討論思想可以分為如下幾類：一類是問(wèn)題給定，條件和結(jié)論存在多種可能；二類是問(wèn)題包含的參變量取值不同，存在多個(gè)計(jì)算結(jié)果。這兩類問(wèn)題都需要學(xué)生進(jìn)行分類研究，方能準(zhǔn)確地、完整地解題。

例如，比較1-a和1+a的大小。

作差法是最常用的比較大小的方法，通過(guò)作差（1+a）-（1-a）得到2a，此時(shí)就需要對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論：

①當(dāng)a>0時(shí)，2a>0，即（1+a）-（1-a）>0，即1+a>1-a；

②當(dāng)a=0時(shí)，2a=0，即（1+a）-（1-a）=0，即1+a=1-a；

③當(dāng)a<0時(shí)，2a<0，即（1+a）-（1-a）<0，即1+a<1-a。

又如，解方程：x+4=3；比較a2-a+4與a2+3的大小；在△ABC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范圍……這些例題都涉及了分類討論思想，教師可在教學(xué)過(guò)程或者作業(yè)設(shè)計(jì)中適當(dāng)增設(shè)這類習(xí)題，通過(guò)逐層深入培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想。

需要注意的是，引導(dǎo)學(xué)生分類討論時(shí)應(yīng)做到“不重、不漏”，尤其要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性，確保分類討論結(jié)果的準(zhǔn)確性。同時(shí)，在分類討論過(guò)程中容易出現(xiàn)“討論有重漏，討論之后不檢驗(yàn)是否合題意”現(xiàn)象，需要教師注意觀察學(xué)生利用分類思想解題是否存在這些問(wèn)題，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生規(guī)避分類討論誤區(qū)，科學(xué)設(shè)計(jì)分類討論類習(xí)題，以此培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，讓學(xué)生思維更開(kāi)放、更靈活，思考問(wèn)題的方向更多變、更完整。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)思想既是一種學(xué)習(xí)方法，也是一種思維方式。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想的支撐。在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想不僅可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，同時(shí)也能夠提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)重新審視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)價(jià)值，始終圍繞新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，將數(shù)學(xué)思想滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程、函數(shù)、化歸類比、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題，提高學(xué)生的解題能力和解題效率，為提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 侯佳園.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究［J］.赤子（上中旬），2016（24）.

［2］ 陳建國(guó).初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略研究［J］.亞太教育，2015（22）.

［3］ 于永蓮.數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題解決教學(xué)中的應(yīng)用［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2012（2）.

［4］ 吳菁.初中數(shù)學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的意義、原則與途徑［J］.南平師專學(xué)報(bào)，2000（2）.

［5］ 李賀.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透思維導(dǎo)圖的方法［J］.科學(xué)咨詢（教育科研），2020（6）.

［6］ 劉志睿.數(shù)學(xué)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透［J］.科學(xué)咨詢（科技·管理），2020（6）.