借助幾何模型 解構(gòu)網(wǎng)格作圖

朱琛

[摘? 要] 近幾年數(shù)學(xué)中考題中，對(duì)于網(wǎng)格作圖，要求越來(lái)越高，通過(guò)解題與研究可以發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)格作圖，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，具有綜合性強(qiáng)的特點(diǎn). 借助幾何模型解構(gòu)網(wǎng)格作圖，能使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 幾何模型;網(wǎng)格作圖;數(shù)學(xué)思想

在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)過(guò)程中，幾何模型可以幫助學(xué)生識(shí)別圖形信息，抽取關(guān)鍵要素，實(shí)現(xiàn)圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互聯(lián)系、轉(zhuǎn)化. 借助幾何模型，學(xué)生能夠?qū)?fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形來(lái)解決，從而將知識(shí)進(jìn)行延伸與拓展，達(dá)到“舉一反三”的目的.

下面以2021年天津市中考數(shù)學(xué)中的一道網(wǎng)格作圖題為例，通過(guò)分析抽取幾何模型，談網(wǎng)格作圖教學(xué)的幾點(diǎn)建議.

試題呈現(xiàn)

（2021年天津市中考數(shù)學(xué)第18題）如圖1，在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上.

（1） 線段AC的長(zhǎng)等于______;

（2） 以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP=AC，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）______.

試題分析

在網(wǎng)格作圖中，以畫(huà)圖技能立意的試題通常都比較基礎(chǔ)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較單一，以格點(diǎn)畫(huà)圖為主要考查目標(biāo). 上述試題第（1）問(wèn)，就是利用正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，運(yùn)用勾股定理計(jì)算格點(diǎn)線段的長(zhǎng)度，屬于基本能力要求. 第（2）問(wèn)考查能力要求則大幅提高，強(qiáng)調(diào)了對(duì)作圖工具的限制（用無(wú)刻度的直尺），即只能通過(guò)格點(diǎn)來(lái)確定直線，或確定所作直線與直線（含格線）的交點(diǎn). 由于現(xiàn)有圖形無(wú)法直接找到合適的格點(diǎn)，學(xué)生容易產(chǎn)生迷茫，徘徊不前.

思路1? 等腰三角形模型

分析：數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決就是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì). 抓住圓心和圓弧，通?？梢詷?gòu)成半徑，產(chǎn)生圓心角，而點(diǎn)A在圓弧上，就產(chǎn)生圓周角，從而通過(guò)“圓心角等于圓周角的2倍”聯(lián)想到角平分線;而由半徑又可以聯(lián)想到等腰三角形，再次產(chǎn)生“‘平行線、等腰三角形、角平分線知二推一”的結(jié)論. 至此，就會(huì)考慮如何通過(guò)點(diǎn)O畫(huà)出AC的平行線？由于點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，所以該平行線一定過(guò)BC的中點(diǎn)，借助網(wǎng)格線，利用平行線分線段成比例，就能找到點(diǎn)D，畫(huà)出如圖2所示的情形.

圖2中的直徑AB，還能聯(lián)想到“直徑所對(duì)的圓周角是直角”的結(jié)論，此時(shí)，線段AE就具有平分角和垂直兩種特性，就容易想到等腰三角形這個(gè)特殊圖形. 在平面上將等腰三角形的模型圖構(gòu)建出來(lái)，利用軸對(duì)稱(chēng)性進(jìn)一步分析，得到AB上滿足條件的線段AP（見(jiàn)圖3）.

解答：如圖4，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D，連結(jié)OD并延長(zhǎng)，與半圓相交于點(diǎn)E，連結(jié)BE并延長(zhǎng)，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連結(jié)AE交BC于點(diǎn)G，連結(jié)FG并延長(zhǎng)，與AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

思路2? “8字形”模型

分析：如果點(diǎn)P是某線與AB相交所成（見(jiàn)圖5），思考滿足這個(gè)幾何模型，則需進(jìn)一步考慮過(guò)點(diǎn)B畫(huà)AC的平行線且BH=AB-AC.

利用圓心和半圓，發(fā)現(xiàn)形成的半徑都等于AB，由此想到利用中位線構(gòu)造線段OE等于AC，則EF=AB-AC（見(jiàn)圖6），此時(shí)易證△AOC≌△BOD，得到AC∥BD，而后思考能否在平行線BD上畫(huà)出BH=2EF即可.

借助幾何模型（見(jiàn)圖7），根據(jù)平行線分線段成比例，可以得到點(diǎn)F是GB的中點(diǎn)，由此得到網(wǎng)格圖（見(jiàn)圖8）. 根據(jù)點(diǎn)F是GB的中點(diǎn)，且EF∥BD，可以進(jìn)一步畫(huà)出以EF為中位線的△GBH（見(jiàn)圖9）. 再次回到幾何模型圖5，獲得△ACP∽△BHP，由此得到比例線段，最后證明可得AP=AC（見(jiàn)圖10）.

解答：如圖10，取BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，連結(jié)OE并延長(zhǎng)，與半圓相交于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長(zhǎng)，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連結(jié)CO并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，連結(jié)BD，GE，并延長(zhǎng)使它們相交于點(diǎn)H，連結(jié)CH，與線段AB相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

解題反思

1. 構(gòu)造模型，細(xì)研解題思路

幾何模型多種多樣，嘗試聯(lián)系條件構(gòu)造合適的基本圖形，是進(jìn)一步展開(kāi)探究的前提. 需要探究的問(wèn)題通常都不是一蹴而就的，需要靜下心、沉住氣，逐一打開(kāi)思維的凝固點(diǎn)，各種解決方法就順應(yīng)而生.

細(xì)研解題思路過(guò)程時(shí)，學(xué)生頭腦中會(huì)經(jīng)歷幾何模型及其性質(zhì)與數(shù)學(xué)知識(shí)的比較，并進(jìn)行有效關(guān)聯(lián)，靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步形成自我知識(shí)體系.

2. 融合模型，提升解題能力

網(wǎng)格作圖，往往會(huì)將圖形化簡(jiǎn)為繁，需要構(gòu)建多種（或重復(fù)）幾何模型才能解決. 解決網(wǎng)格作圖時(shí)，要體會(huì)一個(gè)模型形成過(guò)程，深入挖掘幾何模型的功能，提升運(yùn)用模型的綜合能力. 融合多種幾何模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是有效提取學(xué)生自我知識(shí)貯備以及解題能力的一種表現(xiàn). 隨著知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，學(xué)生會(huì)主動(dòng)進(jìn)行幾何模型的構(gòu)建和梳理，采用直觀呈現(xiàn)、反向推理等方式溝通相互間聯(lián)系，從而在解題中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

3. 感悟模型，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

網(wǎng)格作圖本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)寶藏，承載著初中幾何研究的重要知識(shí)和重要思想：勾股定理、圖形全等的變換、圖形的相似變換、平行線分線段成比例、中位線等數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合;還融合多元化數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想.

“執(zhí)果索因”，這是教學(xué)至關(guān)重要的一個(gè)方法. 通過(guò)反思，深入理解網(wǎng)格作圖的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想和動(dòng)手操作的能力，發(fā)現(xiàn)和探究的能力，計(jì)算、分析、推理的能力，以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力和創(chuàng)新思維能力，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值體現(xiàn).

教學(xué)建議

1. 歸納網(wǎng)格作圖的類(lèi)型，兼顧非特殊性

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的作圖要求提出：在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫(xiě)出作法[1]. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)要求學(xué)生掌握好五種基本作圖即可. 對(duì)于網(wǎng)格作圖，蘇科版七年級(jí)課本上，主要利用網(wǎng)格的格點(diǎn)畫(huà)已知線段的垂線和平行線;蘇科版八年級(jí)課本上，則是利用網(wǎng)格格點(diǎn)畫(huà)三角形的各種全等變換圖形、利用勾股定理畫(huà)已知長(zhǎng)度的線段及直角的角平分線和線段的垂直平分線;蘇科版九年級(jí)課本上，則是利用網(wǎng)格格點(diǎn)畫(huà)相似三角形以及相似變換圖形. 根據(jù)這些作圖要求，類(lèi)似地歸納以下三個(gè)基本作圖類(lèi)型：

類(lèi)型一：經(jīng)過(guò)兩個(gè)格點(diǎn)畫(huà)出直線;

類(lèi)型二：經(jīng)過(guò)已知直線外一個(gè)格點(diǎn)，畫(huà)已知直線的平行線;

類(lèi)型三：經(jīng)過(guò)一個(gè)格點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線[2].

從天津的這個(gè)網(wǎng)格作圖題來(lái)看，不難發(fā)現(xiàn)，無(wú)法采用所歸納的基本類(lèi)型，所畫(huà)的直線經(jīng)過(guò)的是非格點(diǎn)，難度較大，需要經(jīng)過(guò)分析和綜合等方式才能解答.

因此教學(xué)時(shí)，圍繞網(wǎng)格作圖不能只注重格點(diǎn)這種特殊點(diǎn)考慮，適當(dāng)設(shè)置網(wǎng)格作圖中非格點(diǎn)連線的問(wèn)題，能促發(fā)學(xué)生探討研究網(wǎng)格作圖的方法，積累網(wǎng)格作圖的經(jīng)驗(yàn)，做好知識(shí)的內(nèi)化和遷移.

例如，在進(jìn)行三角形相似教學(xué)時(shí)，利用網(wǎng)格作圖n等分線段，設(shè)計(jì)問(wèn)題如下：

在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，僅能使用無(wú)刻度的直尺，分別在圖11、圖12中的線段AB上作點(diǎn)C，使得AC ∶ BC=3 ∶ 2.

2. 外顯網(wǎng)格作圖的一般化思想方法

幾何模型可以實(shí)現(xiàn)互相轉(zhuǎn)換以及連接. 在網(wǎng)格背景下研究平面圖形，本身保留圖形自身的幾何特性，還包含位置及數(shù)量的特殊性. 在歸納網(wǎng)格作圖基本類(lèi)型時(shí)，結(jié)合作圖原理，就能發(fā)現(xiàn)其中熟識(shí)的圖形變換（圖形平移和旋轉(zhuǎn)，見(jiàn)圖13和圖14）. 往往有難度的網(wǎng)格作圖，實(shí)質(zhì)就是很多小知識(shí)點(diǎn)綜合而成，借助幾何模型的構(gòu)建，可以直觀猜想點(diǎn)與點(diǎn)、線與線之間的關(guān)聯(lián)，再逐一分析突破. 網(wǎng)格作圖教學(xué)時(shí)，注意歸納整理網(wǎng)格中常見(jiàn)的幾何模型（見(jiàn)圖5和圖7），為學(xué)生發(fā)揮空間想象和推理搭建好“腳手架”.

借助幾何模型解構(gòu)網(wǎng)格作圖，外顯網(wǎng)格作圖一般化的思考方法，引導(dǎo)學(xué)生形成一般化的思維習(xí)慣和自主探析作法的能力[3].

3. 電子白板輔助展現(xiàn)網(wǎng)格作圖高效性

網(wǎng)格作圖重在動(dòng)手操作，而電子白板的輔助，給學(xué)生參與課堂展示自我提供了一個(gè)良好平臺(tái). 借助電子白板，學(xué)生不僅能親自動(dòng)手繪圖，還能清楚、高效地講解自己的解決方案，增強(qiáng)了師生之間、生生之間的溝通交流，同時(shí)活躍了課堂探究的氛圍.

借助電子白板的交互功能，幾何模型變得更規(guī)范、更直觀，學(xué)生為本的課堂教學(xué)也充分展現(xiàn)，教學(xué)趣味性，高效性得以實(shí)現(xiàn).

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)不能一味依賴(lài)手中的答案照本宣科，教師要俯下身，從學(xué)生學(xué)情考慮，一起深入探究，“深”“透”地領(lǐng)悟答案的生成過(guò)程. 網(wǎng)格作圖方法多樣，以幾何模型奠基，能讓學(xué)生迅速著陸于最近發(fā)展區(qū)，讓解決方法自然形成. 對(duì)于解決一類(lèi)思維性強(qiáng)的問(wèn)題，幾何模型有它的優(yōu)勢(shì)所在，直觀性更優(yōu)于計(jì)算，模型的記憶也更優(yōu)于文字的記憶. 教師鉆研得透徹，找到適合學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，學(xué)生才會(huì)學(xué)得輕松.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]金楊建. 正方形網(wǎng)格作圖的原理、教學(xué)功能與建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（20）：37-40.

[3]章飛. 初中數(shù)學(xué)幾何作圖的教學(xué)實(shí)施建議[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（05）：9-12.