結(jié)構(gòu)，在“連續(xù)”學(xué)習(xí)中得以完善

劉曉萍

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)要將零散的知識(shí)點(diǎn)以相關(guān)核心概念進(jìn)行統(tǒng)領(lǐng)與整合，進(jìn)而讓學(xué)生在“連續(xù)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中改造并完善已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)從表層符號(hào)走向邏輯與意義的統(tǒng)一，助推思維與能力的進(jìn)階。以小學(xué)階段三次“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)為例，通過(guò)結(jié)構(gòu)化素材、結(jié)構(gòu)化問(wèn)題、結(jié)構(gòu)化表征、結(jié)構(gòu)化練習(xí)，讓學(xué)生在“連續(xù)”經(jīng)驗(yàn)、“連續(xù)”思維、“連續(xù)”遷移、“連續(xù)”運(yùn)用中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的彼此完善。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；連續(xù)學(xué)習(xí)；認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

數(shù)學(xué)是一門(mén)“結(jié)構(gòu)化的科學(xué)”，其知識(shí)體系的形成、演化過(guò)程具有很強(qiáng)的邏輯性。數(shù)學(xué)教學(xué)要將零散的知識(shí)點(diǎn)以相關(guān)核心概念進(jìn)行統(tǒng)領(lǐng)與整合，進(jìn)而讓學(xué)生在“連續(xù)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中改造并完善已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)從表層符號(hào)走向邏輯與意義的統(tǒng)一，助推思維與能力的進(jìn)階。本文以小學(xué)階段三次“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)連續(xù)學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)彼此完善，即實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的豐盈，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的平衡。

一、結(jié)構(gòu)化素材：在“連續(xù)”經(jīng)驗(yàn)中，感悟概念的進(jìn)階與發(fā)展

分?jǐn)?shù)是一個(gè)內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)概念。由于它與整數(shù)、小數(shù)概念有較大的差別，學(xué)生理解與掌握分?jǐn)?shù)存在較大的困難。所以，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材與諸多版本教材一樣，安排學(xué)生分三個(gè)階段學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，即三年級(jí)上學(xué)期“認(rèn)

*本文系江蘇省蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“核心內(nèi)容視角下小學(xué)數(shù)學(xué)育人價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)研究”（批準(zhǔn)號(hào)：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。

識(shí)一個(gè)物體的幾分之一（幾）”，三年級(jí)下學(xué)期“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一（幾）”，五年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”。教學(xué)時(shí)，要將三個(gè)階段的內(nèi)容視作同一“單元”下多次的不同維度、不同層級(jí)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在“連續(xù)”的學(xué)習(xí)中完成內(nèi)容的鏈接與經(jīng)驗(yàn)的改造，感悟概念的進(jìn)階與發(fā)展。

眾所周知，數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都擴(kuò)大了數(shù)的應(yīng)用范圍。“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一”，是首次引入分?jǐn)?shù)概念，是分?jǐn)?shù)教學(xué)的起點(diǎn)與基點(diǎn)。教師應(yīng)該鏈接學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)對(duì)物體進(jìn)行切割與分配的生活情境，在突出分?jǐn)?shù)概念中的關(guān)鍵要素“平均分”的同時(shí)，通過(guò)所分物體的數(shù)量變化（對(duì)4個(gè)、2個(gè)、1個(gè)物體進(jìn)行平均分），分得的結(jié)果也隨之變化，從用整數(shù)表示，到整體中的“部分”“半個(gè)”無(wú)法用整數(shù)表示，引出刻畫(huà)“部分”這一大小的需求，使原有數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出現(xiàn)“失衡”，“分?jǐn)?shù)”的概念呼之欲出。

接著，教學(xué)再走一步：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)12表示半個(gè)數(shù)量，12還表示一份與總份數(shù)之間的倍比關(guān)系。此時(shí)，教師還可以引發(fā)學(xué)生提出問(wèn)題：2份、3份與總份數(shù)之間的關(guān)系可以怎樣表示？這節(jié)課，我們分了一個(gè)物體，那么，如果是一些物體呢？……這樣的結(jié)構(gòu)化素材，能夠激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探究的愿望，完成對(duì)分?jǐn)?shù)概念“連續(xù)”學(xué)習(xí)的對(duì)接。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”的教學(xué)，采用聯(lián)系舊知的方式引入，體現(xiàn)這是在平均分一個(gè)物體基礎(chǔ)上的連續(xù)學(xué)習(xí)。這也正是該課教學(xué)的邏輯起點(diǎn)，使概念的學(xué)習(xí)得以自然推進(jìn)。具體可以從分一個(gè)物體開(kāi)始，創(chuàng)設(shè)兩只小猴分水果的情境，提出問(wèn)題：“孫小圣要把這一個(gè)桃平均分給2只小猴。每只小猴分得多少呢？”自然鏈接三年級(jí)上學(xué)期關(guān)于分?jǐn)?shù)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)。接著，在“繼續(xù)研究分?jǐn)?shù)”的活動(dòng)中，桃子的數(shù)量變化成了4個(gè)、6個(gè)、12個(gè)到任意個(gè)，平均分的份數(shù)從2份、3份到任意份。學(xué)生一邊分，一邊向同伴介紹每一次分桃的結(jié)果，在整體數(shù)量的變化中，對(duì)概念的理解逐步逼近本質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分母其實(shí)就是總份數(shù)，分子就是分得的份數(shù)。無(wú)論是一個(gè)物體還是一個(gè)整體，表示分得的一份和總份數(shù)之間的關(guān)系都可以用分?jǐn)?shù)——幾分之一來(lái)表示。不知不覺(jué)中，學(xué)生對(duì)幾分之一的認(rèn)知結(jié)構(gòu)又得到了拓展與完善。

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)，則以某個(gè)分?jǐn)?shù)為例，讓學(xué)生在讀一讀、畫(huà)一畫(huà)、說(shuō)一說(shuō)的活動(dòng)中，鏈接前兩次積累的“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的經(jīng)驗(yàn)，揭示出本課概念建構(gòu)的實(shí)際背景，感悟概念進(jìn)階前后的聯(lián)系，把握概念的屬性，從“份數(shù)”的角度完成分?jǐn)?shù)概念的抽象。

二、結(jié)構(gòu)化問(wèn)題：在“連續(xù)”思維中，經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程

數(shù)學(xué)是一個(gè)前后聯(lián)系的知識(shí)系統(tǒng)，因此，教學(xué)時(shí)還要樹(shù)立“大單元”意識(shí)，瞻前顧后、左顧右盼，通過(guò)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題，讓學(xué)生在“連續(xù)”的學(xué)習(xí)中敞亮思維，觸摸知識(shí)的本質(zhì)。

分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，本質(zhì)上是學(xué)生經(jīng)歷逐級(jí)抽象的過(guò)程。因此，每一階段的教學(xué)都需要從概念的本質(zhì)出發(fā)，設(shè)計(jì)體現(xiàn)概念漸進(jìn)抽象的結(jié)構(gòu)化問(wèn)題。教學(xué)“一個(gè)物體的幾分之一”，可以提問(wèn)學(xué)生：“半個(gè)是怎么得到的？”讓學(xué)生在“操作→多元表征→統(tǒng)一表征”的過(guò)程中理解12的含義，并且明確：當(dāng)平均分的結(jié)果不是整個(gè)的時(shí)候，可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示數(shù)量。接著，順勢(shì)而為，從每人分得的一份與整個(gè)物體之間的關(guān)系出發(fā)，讓學(xué)生初次轉(zhuǎn)換視角：12還能表示每一份和總份數(shù)之間的關(guān)系。而對(duì)這層意義的理解，才是學(xué)生真正認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)意義的開(kāi)始，也是學(xué)生要跨越的一個(gè)認(rèn)知難點(diǎn)。后續(xù)的教學(xué)中，平均分的一個(gè)物體在不斷改變，教師可以“我們分的都是一個(gè)物體（圖形），表示的都是其中的一份，為什么得到的分?jǐn)?shù)卻不一樣”的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考：不管平均分成多少份，都可以從數(shù)量和關(guān)系兩個(gè)角度，用分?jǐn)?shù)表達(dá)平均分后的結(jié)果。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”的教學(xué)，從分一個(gè)桃子開(kāi)始。教師可以從數(shù)量與關(guān)系兩個(gè)視角，提出問(wèn)題：“把一個(gè)桃平均分給2只小猴，每只小猴分得多少呢？每只小猴分得這個(gè)桃的幾分之幾呢？”揭示本課學(xué)習(xí)的邏輯依然是：像12這樣的分?jǐn)?shù)既能表示數(shù)量，也可以表示分得的份數(shù)和平均分成的份數(shù)之間的關(guān)系。在分4個(gè)、6個(gè)、12個(gè)桃的活動(dòng)中，依然是這樣的雙線并進(jìn)，幫助學(xué)生在整體思考與對(duì)比中，深刻理解分?jǐn)?shù)表示量與量之間關(guān)系的定義，有效地突破難點(diǎn)。

結(jié)構(gòu)化問(wèn)題還可以助推知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善。在初步認(rèn)識(shí)了一個(gè)整體的幾分之一后，教師可以提問(wèn)：“學(xué)到這兒，我們來(lái)做個(gè)比較：以前我們是把一個(gè)桃這樣的物體平均分，今天我們平均分的對(duì)象有什么不同呢？有沒(méi)有相同的地方呢？”學(xué)生在比較中感悟到：無(wú)論是一個(gè)物體還是一個(gè)整體，表示分得的一份和總份數(shù)之間的關(guān)系都可以用分?jǐn)?shù)——幾分之一來(lái)表示。于是，學(xué)生對(duì)幾分之一的認(rèn)識(shí)又前進(jìn)了一步。課尾，教師可以再次提問(wèn)引發(fā)學(xué)生思考：“還有哪些有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)，等待我們?nèi)パ芯磕兀俊弊寣W(xué)生對(duì)后面的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)有很好的期待。

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)，讓學(xué)生在之前直觀認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上形成分?jǐn)?shù)的概念，對(duì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)有更為深入的認(rèn)識(shí)。教師通過(guò)例子的變化以及提問(wèn)“大家表示出的分?jǐn)?shù)有什么相同的地方”，引導(dǎo)學(xué)生完成單位“1”的概括（如圖1）。讓學(xué)生在舉例說(shuō)說(shuō)一些分?jǐn)?shù)表達(dá)的意思，以及“你能用一句話說(shuō)說(shuō)所有分?jǐn)?shù)的意義嗎”的思考中，完成分?jǐn)?shù)意義的歸納。認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)單位之后，教師可以提問(wèn)：“同學(xué)們，到現(xiàn)在我們都學(xué)習(xí)了哪些數(shù)？”引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)已有“數(shù)認(rèn)識(shí)”的結(jié)構(gòu)化思考，進(jìn)而打通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位在數(shù)意義與表達(dá)上的一致性。

結(jié)構(gòu)化問(wèn)題意在從整體上“謀篇布局”，使學(xué)生在系統(tǒng)性、本質(zhì)性的思考中實(shí)現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)的完善?？此聘盍选ⅹ?dú)立的概念學(xué)習(xí)產(chǎn)生了關(guān)聯(lián)：分?jǐn)?shù)能夠表示部分與整體的關(guān)系，也能夠表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系。這無(wú)形中充實(shí)了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，也為下一步探索分?jǐn)?shù)的其他意義打開(kāi)了思路。

三、結(jié)構(gòu)化表征：在“連續(xù)”遷移中，把握概念的內(nèi)在邏輯

可遷移性在數(shù)學(xué)內(nèi)部尤其重要?？v觀小學(xué)階段數(shù)的拓展，無(wú)論是從一位數(shù)到多位數(shù)，還是從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、小數(shù)，其核心都是計(jì)數(shù)單位及其表示方式的不斷拓展。因此，對(duì)計(jì)數(shù)單位及其表示方式的認(rèn)識(shí)應(yīng)貫穿于每一次數(shù)概念的拓展進(jìn)程中，每認(rèn)識(shí)一種新的數(shù)，必然是新的計(jì)數(shù)單位產(chǎn)生或者其表示方式重新建構(gòu)的過(guò)程。抓住“計(jì)數(shù)單位”這一核心概念，有助于把握數(shù)概念發(fā)展的內(nèi)在邏輯，從而把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)數(shù)認(rèn)識(shí)的通聯(lián)。

三年級(jí)兩次“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的教學(xué)，都是在直觀情境中展開(kāi)的，教師要跳出簡(jiǎn)單的講解，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用情境，通過(guò)實(shí)物表征（如圖2）、圖像表征（如圖3）、語(yǔ)言文字表征和符號(hào)模型表征等多元表征，自主探究，建構(gòu)思維表達(dá)的多元結(jié)構(gòu)和分?jǐn)?shù)概念的縱橫關(guān)聯(lián)，探尋數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)，在抽象完成分?jǐn)?shù)的意義之后，教師要用好計(jì)數(shù)器這一介于直觀與抽象之間的表征工具，適時(shí)組織關(guān)于整數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)在數(shù)意義與表達(dá)上一致性的勾連與比較活動(dòng)，幫助學(xué)生完善“數(shù)認(rèn)識(shí)”的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師出示一顆珠子（如圖4）并提問(wèn)：（1）在沒(méi)有表示數(shù)位的計(jì)數(shù)器上，一顆珠子可以表示哪些數(shù)？（這里的一顆珠子可以表示整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，也可以表示小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。）（2）去掉計(jì)數(shù)器，這里的一顆珠子還可以表示什么數(shù)？（它還可以表示像13、14……這樣的分?jǐn)?shù)單位。）（3）有了這些計(jì)數(shù)單位，我們就可以數(shù)出哪些數(shù)？（原來(lái)，“數(shù)都可以通過(guò)各自計(jì)數(shù)單位的累加得到”。）如此，計(jì)數(shù)單位在數(shù)的意義與表達(dá)上的一致性得以通透，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到了再次優(yōu)化。

數(shù)軸也是對(duì)數(shù)的意義進(jìn)行表征的常用工具。在數(shù)軸上有了單位“1”之后，2、3……這樣的整數(shù)也就可以通過(guò)有幾個(gè)“1”找到相應(yīng)的位置。由此，學(xué)生對(duì)“整數(shù)就是單位‘1’的累加，有幾個(gè)單位‘1’就用整數(shù)幾來(lái)表示”的理解更為深刻。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)軸上數(shù)的表示再深入思考：如果不滿1個(gè)單位“1”，我們可以用怎樣的數(shù)來(lái)表示呢？——今天學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)，也可以在數(shù)軸上找到它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。在圖5引發(fā)的分一分、找一找的活動(dòng)中，分?jǐn)?shù)在計(jì)數(shù)方式上的獨(dú)特之處就顯而易見(jiàn)了。在對(duì)“整數(shù)、小數(shù)相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10，那分?jǐn)?shù)呢？也有這樣的關(guān)系嗎”的叩問(wèn)中，學(xué)生對(duì)數(shù)的產(chǎn)生是源于人類在生產(chǎn)和生活中計(jì)數(shù)的需要的感悟，也更深刻了。

可見(jiàn)，在“計(jì)數(shù)單位”“十進(jìn)制”“位值制”等核心概念的統(tǒng)領(lǐng)下，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)逐步從感性走向了理性，由抽象具體走向了抽象一般。

四、結(jié)構(gòu)化練習(xí)：在“連續(xù)”運(yùn)用中，拓展概念的內(nèi)涵與外延

數(shù)學(xué)概念的理解、拓展離不開(kāi)運(yùn)用。由于三年級(jí)都是直觀認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，因此，在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師需要再次創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，把學(xué)生領(lǐng)到生活中去“發(fā)現(xiàn)”分?jǐn)?shù)，研究生活中與分?jǐn)?shù)有關(guān)的知識(shí)，把對(duì)分?jǐn)?shù)的理解遷移到新的情境中，充分揭示并加以簡(jiǎn)單應(yīng)用。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一”的教學(xué)，可以利用開(kāi)始的“公園野餐”情境，關(guān)注小芳和小明野餐用的正方形墊子，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)來(lái)表述它的邊長(zhǎng)與周長(zhǎng)的關(guān)系（如圖6），還可以鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)墊子的大小與公園草坪大小的關(guān)系，推理并畫(huà)出公園的形狀與大?。ㄈ鐖D7）。

“認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一”的教學(xué)，可以創(chuàng)設(shè)走進(jìn)超市的情境，從養(yǎng)樂(lè)多和紙巾等物品的包裝（如圖8）中聯(lián)想出一些分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生感悟到：同樣的整體，平均分的份數(shù)不同，得到的分?jǐn)?shù)就不同。也可以創(chuàng)設(shè)有趣的拔河比賽情境（如圖9），讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)：圖中框出的一個(gè)男孩，占左邊兩個(gè)男孩人數(shù)的幾分之一？占拔河人數(shù)的幾分之一？占所有人數(shù)的幾分之一？由此，引導(dǎo)學(xué)生明白：同樣是一份，一個(gè)整體變了，那么它們的關(guān)系也變了。還可以創(chuàng)設(shè)有趣的貼拇指游戲，給出9個(gè)大拇指貼紙，請(qǐng)學(xué)生拿出三分之一，接著再拿出剩下的三分之一。學(xué)生在有趣的操作活動(dòng)中，感悟到：都是三分之一，有人拿了3個(gè)，而有人卻拿了2個(gè)。原來(lái)，“一個(gè)整體變了，它的三分之一也就變了”。

“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)，對(duì)生活中的分?jǐn)?shù)理解與分析則更顯理性。對(duì)“一節(jié)課的時(shí)間是23小時(shí)”與“這節(jié)課的時(shí)間大約已經(jīng)過(guò)了34”這兩句話，學(xué)生借助幾何直觀（如圖10）展開(kāi)分析，強(qiáng)烈地感受到分?jǐn)?shù)中單位“1”的重要性。同時(shí)，也認(rèn)識(shí)了一些新的數(shù)量關(guān)系，提高了發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

總之，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是匹配認(rèn)知結(jié)構(gòu)的彈性結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的完善是螺旋向上的，不是一蹴而就的。讓學(xué)生在不同的年齡朝著同一個(gè)目標(biāo)邁進(jìn)，必將推動(dòng)知識(shí)的整體融合與學(xué)習(xí)方式的變革。