太赫茲大規(guī)模MIMO中結(jié)合量子變分算法的預(yù)編碼方案*

汪銳，李汀，解培中

（南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003）

0 引言

太赫茲和大規(guī)模MIMO技術(shù)是當前5G和面向6G通信的關(guān)鍵技術(shù)。太赫茲通信具有大帶寬和傳輸速率高等特點，面向太赫茲頻段的通信技術(shù)有望解決當前無線通信系統(tǒng)頻譜稀缺和容量限制的問題。大規(guī)模MIMO技術(shù)是對第四代無線通信技術(shù)中的MIMO技術(shù)的延伸，它從空間上提升了系統(tǒng)容量，提高了通信系統(tǒng)的性能。但隨著大規(guī)模MIMO中天線數(shù)的增大，算法復(fù)雜度以及實現(xiàn)的困難程度也會大幅增大，對于研究如何降低算法復(fù)雜度和如何減少開銷是當下研究的重點。另一方面，量子計算與機器學(xué)習(xí)的結(jié)合成為新的交叉研究領(lǐng)域。量子計算由于其高并行性，n個量子比特能夠計算傳統(tǒng)通信中2n維的矩陣，能夠大大降低傳統(tǒng)機器學(xué)習(xí)算法的復(fù)雜度，在目前中等規(guī)模的含噪量子計算機上，可以接近傳統(tǒng)算法的性能。因此，結(jié)合量子機器學(xué)習(xí)的無線通信技術(shù)將逐漸成為基于人工智能的6G無線通信研究的一個可能關(guān)注點。本文創(chuàng)新性地提出將量子機器學(xué)習(xí)應(yīng)用于太赫茲大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的預(yù)編碼設(shè)計中，探索人工智能與6G通信具體技術(shù)環(huán)節(jié)結(jié)合的新方式。

在MIMO系統(tǒng)中，為了抑制信號干擾的影響，預(yù)編碼技術(shù)成為解決問題的關(guān)鍵。預(yù)編碼方案通常分為兩種：全數(shù)字預(yù)編碼和混合預(yù)編碼。全數(shù)字預(yù)編碼可以同時控制傳輸信號的相位和幅度，在單用戶系統(tǒng)和多用戶系統(tǒng)中都可以使用。根據(jù)處理方式是否線性，可以將全數(shù)字預(yù)編碼劃分為線性預(yù)編碼和非線性預(yù)編碼。線性預(yù)編碼包括匹配濾波（MF）、奇異值分解（SVD）、迫零預(yù)編碼（ZF）、最小均方誤差預(yù)編碼（MMSE）等。非線性預(yù)編碼主要有臟紙編碼（DPC）[1]、和湯姆林森-哈拉希瑪預(yù)編碼（THP）[2]。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，混合預(yù)編碼受到廣泛的關(guān)注。在單用戶系統(tǒng)中，文獻[3]提出了空間稀疏混合預(yù)編碼器，文獻[4]提出了基于連續(xù)干擾消除的混合預(yù)編碼器。對于多用戶系統(tǒng)，文獻[5]提出了將正交匹配追蹤（OMP,Orthogonal Matching Pursuit）算法用在基于量化碼本的設(shè)計方案中，設(shè)計了一種混合最小均方誤差（MMSE,Minimum Mean Square Error）預(yù)編碼器，針對用戶較多的應(yīng)用場景，有一定的性能優(yōu)勢。文獻[6]提出一種高效簡單的混合預(yù)編碼算法，它直接選用理想數(shù)字預(yù)編碼的相位作為模擬預(yù)編碼，數(shù)字預(yù)編碼則采用最小二乘法（LS,Least Square）。除了以上這些需要完美CSI的方法，也有一些不需要完美CSI的預(yù)編碼方法，如一種有限反饋法[8]就是利用毫米波信道模型特點，在一個有限的候選碼字集中匹配到相對最佳的碼字作為模擬預(yù)編碼。

目前的量子計算機只支持有限數(shù)量物理量子位和有限門保真度，一般的量子算法很難在量子計算機上實現(xiàn)。因此，量子計算發(fā)展的一個重要方向就是找到一種可以在有噪聲的中型量子計算機上（NISQ,Noisy Intermediate-Scale Quantum）有效運行的算法。量子變分算法（VQA,Variational Quantum Algorithm）可以在依賴外部參數(shù)的淺層量子電路中實現(xiàn)。它們也被稱作參數(shù)化量子電路或量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（QNN,Quantum Neural Network），量子網(wǎng)絡(luò)參數(shù)可以采用機器學(xué)習(xí)中的梯度算法在經(jīng)典計算機上進行優(yōu)化。近些年來，很多基于量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子變分算法相繼被提出，文獻[9]提出變分量子本征求解器（VQE,Variational Quantum Eigensolver）,一種用于獲得給定哈密頓量近似基態(tài)的變分算法，經(jīng)過數(shù)值模擬，與傳統(tǒng)求解矩陣特征值的算法相比，VQE在求解大維度矩陣的特征值時效率更高，并且能夠在NISQ設(shè)備上運行。文獻[10]針對NISQ設(shè)備上變分混合量子經(jīng)典算法（VHQCA）在解決復(fù)雜問題時量子態(tài)制備和測量次數(shù)過多的問題，提出了一種新穎的優(yōu)化器。文獻[11]將量子變分算法用于求解線性方程組和矩陣向量乘法中的應(yīng)用，并進行了數(shù)值測試。文獻[12]提出引入量子奇異值估計算法來求解線性方程組，利用奇異值的變分原理設(shè)計一個新的損失函數(shù)，訓(xùn)練兩個量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來學(xué)習(xí)奇異向量并輸出相應(yīng)的奇異值。文獻[13]提出一個變分量子線路，來產(chǎn)生二分純態(tài)的奇異值分解。文獻[14]提出了一種由標準量子門組成的量子電路來實現(xiàn)梯度優(yōu)化算法，并在四量子比特系統(tǒng)中展示了齊次多項式優(yōu)化問題的求解，證明了該算法能夠有效解決高維的優(yōu)化問題。此外，不同于可容錯量子計算機對糾錯的較高要求，在低深度量子線路實現(xiàn)的量子計算機上噪聲能夠得到有效的抑制，同時也表明量子計算在有噪聲的中等規(guī)模量子計算機上運行有一定的可行性。

隨著量子技術(shù)的不斷發(fā)展，各大商業(yè)巨頭、學(xué)術(shù)機構(gòu)以及政府戰(zhàn)略都將目光轉(zhuǎn)向量子計算，并且作為未來幾十年主要的發(fā)展方向。同時，隨著無線通信技術(shù)的快速發(fā)展，無線用戶的數(shù)量規(guī)模越來越大，對處理數(shù)據(jù)的能力和對數(shù)據(jù)分析的能力需求更高，而量子計算具有的高并行性可以降低傳統(tǒng)機器學(xué)習(xí)算法的復(fù)雜度，能夠大量減少運算量。因此，將量子計算應(yīng)用到無線通信領(lǐng)域被認為是助力未來6G、后6G時代無線通信技術(shù)發(fā)展的一個很有前景的方向。文獻[15]設(shè)計了一種改進的量子算法用于實現(xiàn)基于MMSE的大規(guī)模MIMO上行鏈路檢測，在該問題中，首先設(shè)計一個基于量子奇異值估計的量子算法得到量子態(tài)形式的發(fā)射信號，然后，提出改善的量子態(tài)信息提取算法獲取量子態(tài)發(fā)射信號的幅度和相位，以便信息可在傳統(tǒng)設(shè)備中使用。文獻[16]提出一套完整的量子算法用于實現(xiàn)無線通信系統(tǒng)中的多信號分類問題。包括量子奇異值分解的量子信號協(xié)方差矩陣重構(gòu)、基于變分量子算法的密度矩陣特征分解。該量子算法相比于傳統(tǒng)的MUSIC算法能夠提供多項式甚至指數(shù)級別的加速。文獻[17]提出基于量子奇異值估計算法的量子ELM算法，將量子奇異值估計算法引入無線信道預(yù)測中，將經(jīng)典ELM算法同量子奇異值估計算法相結(jié)合，在偽逆計算的部分使用量子奇異值估計，降低了經(jīng)典ELM算法的時間復(fù)雜度。然而，在太赫茲移動通信系統(tǒng)的預(yù)編碼技術(shù)中，目前還沒有同量子機器學(xué)習(xí)結(jié)合的方案，本文創(chuàng)新性地提出將量子變分算法用于太赫茲大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中的預(yù)編碼方案的設(shè)計中，并在Google量子機器學(xué)習(xí)平臺進行了實驗仿真，利用量子計算的高并行性，降低算法的復(fù)雜度，提高整個通信系統(tǒng)的性能。

1 信道模型與問題描述

1.1 太赫茲信道模型

太赫茲通信具有大帶寬和傳輸速率高等特點，在自由空間中傳播時損耗非常大，且視線路徑（LoS,Line of Sight）相對于非視線路徑（NLoS,None Line of Sight）損耗較低。本文中，根據(jù)文獻[18]的描述，太赫茲大規(guī)模MIMO信道模型考慮在經(jīng)典的S-V信道模型（Saleh-Valenzuela）中進行改進，采用歸一化線性陣列（ULA,Uniform Linear Array）建模。由于太赫茲信號受到大氣吸收、衍射損耗等因素的影響，隨著傳播距離的增加而衰減很快，因此太赫茲系統(tǒng)中水平和垂直到達角較小。假設(shè)每一條傳播路徑中僅有一條散射路徑，這樣可以將太赫茲信道視作視距傳播信道。則其收發(fā)端之間Nt×Nr的時域信道矩陣可表示為：

其中，Nt為基站的發(fā)送天線數(shù)，Nr為用戶接收天線數(shù)。L表示傳輸路徑數(shù)，αl表示第l條路徑的增益，服從復(fù)高斯分布，其中，復(fù)信道增益滿足條件表示歸一化常數(shù)。δ(?)表示脈沖響應(yīng)函數(shù)，τl表示第l條路徑的延遲，Gt,l、Gr,l分別表示發(fā)送端和接收端的天線增益，取決于陣列天線的規(guī)模以及單個元件的天線陣列函數(shù)。φl表示第l條路徑的到達角（AoD,Angle of Departure）,φl表示第l條路徑的離開角（AoA,Angle of Arrival），且分別表示接收端和發(fā)送端的陣列響應(yīng)矢量，可表示為：

其中，λ表示傳輸信號的波長，d表示天線之間的距離。

1.2 問題描述

圖1展示了大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型，發(fā)送端配備了Nt根天線，接收端配備Nr根天線，發(fā)送符號數(shù)為d，發(fā)送端預(yù)編碼矩陣為F∈CNt×d。接收端接收矩陣為W∈CNr×d。信道矩陣為H∈CNr×Nt。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型

為了簡化分析，假設(shè)發(fā)送符號數(shù)、發(fā)送天線數(shù)和接收天線數(shù)相等，即d=Nt=Nr。發(fā)送端發(fā)送的信號可以表示為：

其中，n表示加性復(fù)高斯白噪聲向量，均值為0，方差為σ2，經(jīng)過接受矩陣W處理后的信號可表示為：

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，本文為簡化接收端處理，假設(shè)WHW=1，系統(tǒng)可達和速率可以表示為：

其中，記Mm=HmHm，Mm的SVD分解為，最大特征向量即為最優(yōu)解，本文考慮構(gòu)造一個變分量子系統(tǒng)，將M作為系統(tǒng)哈密頓量，通過量子本征求解器，獲得M的最大本征向量，即最大特征向量Vm，式(11)的最優(yōu)解為fn，由此可以得到預(yù)編碼矩陣

2 基于量子變分算法的預(yù)編碼設(shè)計

2.1 變分量子特征值求解器

變分量子特征值求解器算法是基于變分原理所提出的，變分原理是指對于任意一個初態(tài)用某一體系的哈密頓量作用它時，可以得到該體系在這一狀態(tài)下的平均能量E，它將大于或接近于體系的基態(tài)能量E0，即：

從上式可以看出，如果所制備的初態(tài)正好就是體系的基態(tài)，那么E=E0，直接得到體系的基態(tài)能量；但往往所制備的初態(tài)與體系的基態(tài)能量有很大的差別，導(dǎo)致E?E0，這個時候需要引入一組參數(shù)，通過不斷調(diào)節(jié)參數(shù)，設(shè)置一個閾值，使得所制備的量子態(tài)能夠無限接近于體系的基態(tài)。對于一個n階較大方陣的特征值λ1λ2...λn求解，可以利用VQE算法，尋找到描述某一體系的哈密頓量的本征值E1E2...En，從而獲得特征向量。VQE算法的基本流程如圖2所示：

圖2 VQE算法的基本流程

變分量子特征值求解器是一種量子-經(jīng)典混合算法，用于尋找體系的基態(tài)，并且能夠有效地找出一個較大矩陣H的特征值，該算法能夠大大降低相干時間的要求。所以，為了求解前文公式(13)的預(yù)編碼優(yōu)化問題，本文提出將VQE與預(yù)編碼結(jié)合的算法，將Mm作為變分量子本征值求解器的系統(tǒng)哈密頓量，首先，構(gòu)建參數(shù)化量子線路用于表征可通過參數(shù)調(diào)整的預(yù)編碼向量；然后將Mm分解為由泡利矩陣組成的子哈密頓量，分別在量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進行訓(xùn)練，經(jīng)過梯度優(yōu)化算法，得到最大奇異向量，最終生成預(yù)編碼矩陣F。

2.2 量子系統(tǒng)哈密頓量Mm的分解形式

在進行量子模擬時，為了能夠在量子線路中將哈密頓量成功映射到量子比特上，需要將哈密頓量分解為泡利算符組成的形式。一般地，對于任意一個哈密頓量都可以表示為：

根據(jù)上式，可以將式(11)展開成以下形式：

考慮寫成相對于系統(tǒng)大小的多項式的哈密頓量，可以近似為n倍張量積之和的矩陣。通過經(jīng)典加法器，〈H〉的計算簡化為一個量子態(tài)|ψ〉的簡單泡利算子的期望值的多項式數(shù)之和，再乘以一些實常數(shù)。量子設(shè)備可以有效地得到任意數(shù)量的簡單泡利算子的張量積的期望值。使用n量子位，就可以得到這個2n×2n哈密頓量的期望值。

2.3 參數(shù)化量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練

酉算子H表示可觀測量的特征值問題，本文提出的算法中，首先要制備預(yù)編碼向量的參數(shù)化量子初態(tài)，通過對一個全0量子態(tài)|ψ〉作用含參量子線路，如式(15)，制備預(yù)編碼向量對應(yīng)的參數(shù)化量子初態(tài)，它可以寫成本征態(tài)的組合。

實現(xiàn)VQE過程中，首先需要設(shè)計搭建量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)QNN，也可以理解為一個參數(shù)化量子線路U(θ)，來構(gòu)建試探波函數(shù)使得U(θ)|ψ〉=|ψ(θ)〉。量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)U(θ)如圖3所示。其中D表示量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度。

圖3 量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

通過作用量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)U(θ)在初始態(tài)上，得到輸出態(tài)。在VQE模型中，通過給出解析表達式來計算全局損失函數(shù)L(θ)的梯度，并且可以通過更新參數(shù)化量子線路中的參數(shù)θ來估計梯度。損失函數(shù)L的梯度取決于參數(shù)θ，把期望值作為優(yōu)化的損失函數(shù)，一般由關(guān)于哈密頓量的期望值給出。

圖4 量子變分算法流程圖

整體算法步驟如下：

步驟1：根據(jù)Saleh-Valenzuela信道模型生成信道矩陣，以系統(tǒng)可達和速度最大為目標，將最優(yōu)預(yù)編碼矩陣設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為的特征分解；

步驟4：隨后構(gòu)建參數(shù)化量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將分解后的子哈密頓量加載到參數(shù)化量子線路中進行訓(xùn)練。得到輸出態(tài)|ψ(θ)；

步驟5：根據(jù)步驟二中經(jīng)訓(xùn)練后得到的輸出態(tài)中的參數(shù)θ，將期望值作為優(yōu)化的損失函數(shù)，損失函數(shù)如式(17)所示；

步驟7：根據(jù)訓(xùn)練完成的量子線路U(θ)，提取對應(yīng)的矩陣表達式，提取最大本征態(tài)對應(yīng)的最大本征向量Vm，fn=Vm；

步驟8：依次計算{f1,f2,...fN}，生成預(yù)編碼矩陣Fopt=diag{f1,f2,...}。

2.4 算法復(fù)雜度分析

一般使用經(jīng)典計算機時，需要分別優(yōu)化哈密頓量的所有子哈密頓量，這會受到N表示性問題的影響，對應(yīng)量子復(fù)雜度類為QMA，這對于經(jīng)典計算機和量子計算機來說都是難以解決的。本文提出的方案的優(yōu)勢在于，根據(jù)量子計算的高并行性，量子硬件可以存儲全局量子狀態(tài)，其資源比經(jīng)典硬件所需的資源要少得多，因此不會出現(xiàn)N表示性問題。

任意數(shù)量泡利算子的張量積的期望值可以通過每個量子比特的局部測量來估計。這種獨立的測量可以并行執(zhí)行，從而產(chǎn)生恒定的時間成本[19]。此外，這些算子中的每一個頻譜都是有界的，每個算子的復(fù)雜度可以由計算精度p來描述，復(fù)雜度可以近似估計為。這里的M是哈密頓量分解中的項數(shù)，hmax是哈密頓量分解中具有最大范數(shù)的系數(shù)。這種方法的優(yōu)點是準備狀態(tài)后進行單次測量的相干時間為。相反，這種方法相對于量子期望估計的不同是操作總數(shù)的縮放，這種縮放反映所需狀態(tài)準備的重復(fù)次數(shù)，在量子期望估計中，狀態(tài)準備步驟的次數(shù)是恒定的。從本質(zhì)上講，通過增加關(guān)于量子期望估計的多項式重復(fù)次數(shù)，顯著降低了相干時間要求，同時保持了相對于經(jīng)典情況的指數(shù)優(yōu)勢。此外，量子變分特征求解器對基態(tài)波函數(shù)近似計算基態(tài)特征值時，相對于量子期望估計算法，同樣具有相對短的相干演化的優(yōu)勢。

本文提出的算法與經(jīng)典算法相比，算法復(fù)雜度有顯著的優(yōu)勢。使用當前已知的量子態(tài)精確編碼存儲量子態(tài)向量需要至少2n個復(fù)數(shù)。給定這種量子態(tài)，使用經(jīng)典算法計算期望值需要點運算。因此，當在經(jīng)典計算機上執(zhí)行單個函數(shù)評估時，預(yù)計在存儲和計算中都需要指數(shù)級資源。此外，經(jīng)典最小化算法準確表示此狀態(tài)所需要的參數(shù)數(shù)量為2n。因此，即使執(zhí)行經(jīng)典最小化算法來確定也需要指數(shù)級的資源?？梢源致怨烙嬤@個過程的復(fù)雜度為?？梢园l(fā)現(xiàn)，與經(jīng)典算法相比，本文提出的算法在復(fù)雜度上有顯著的優(yōu)勢。

3 數(shù)值仿真

本文采用的仿真環(huán)境為太赫茲大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型，訓(xùn)練參數(shù)設(shè)置為：量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度D設(shè)置為2，總迭代次數(shù)設(shè)置為80。為了驗證算法的有效性，在Google量子平臺進行驗證，利用量子編程框架cirq，分別與以下算法在不同信噪比和不同發(fā)送天線數(shù)下的系統(tǒng)可達和速率進行對比：1）SVD預(yù)編碼；2）MMSE預(yù)編碼。由于目前在經(jīng)典計算機中模擬量子計算機是一個困難的問題，量子計算系統(tǒng)的操作行為需要經(jīng)典計算機中指數(shù)數(shù)量的操作來模擬，因此本文的仿真實驗在接收天線數(shù)較少的情況下進行。仿真結(jié)果如圖所示。

圖5和圖6分別表示當系統(tǒng)為Nt=4、Nr=4時和Nt=16、Nr=16時各算法系統(tǒng)可達和速率和信噪比的關(guān)系，從圖5和圖6中可以看出，系統(tǒng)可達和速率隨信噪比的增加而增加，本文提出的算法系統(tǒng)可達和速率性能近似于傳統(tǒng)SVD預(yù)編碼性能，優(yōu)于MMSE預(yù)編碼性能。

圖5 4×4時不同信噪比下系統(tǒng)可達和速率對比圖

圖6 16×16時不同信噪比下系統(tǒng)可達和速率對比圖

圖7表示當Nr=4時各算法系統(tǒng)可達和速率隨著發(fā)送天線數(shù)由16到196的變化關(guān)系，由圖7中可以看出，各算法系統(tǒng)可達和速率隨發(fā)送天線數(shù)的增加而增加，本文提出的算法性能與SVD預(yù)編碼算法性能相近，優(yōu)于MMSE預(yù)編碼算法。

圖7 發(fā)送天線數(shù)由16到196的系統(tǒng)可達和速率對比圖

4 結(jié)束語

本文提出的結(jié)合變分量子本征值求解器的預(yù)編碼方案，以系統(tǒng)可達和速率最大為目標，利用變分量子特征值求解器，將問題轉(zhuǎn)化為求解系統(tǒng)哈密頓量的期望及其對應(yīng)的量子態(tài)，在量子機器學(xué)習(xí)平臺上準備一個參數(shù)化的試探波函數(shù)，然后結(jié)合經(jīng)典機器學(xué)習(xí)的優(yōu)化算法，訓(xùn)練得到一組最優(yōu)的參數(shù)來更新參數(shù)化量子線路，從而獲得最優(yōu)的預(yù)編碼矩陣。經(jīng)驗證分析，該方案能具有指數(shù)級加速，與經(jīng)典的算法相比較，性能相近，但具有計算復(fù)雜度優(yōu)勢。本文提出的方案是將量子機器學(xué)習(xí)與無線通信技術(shù)相結(jié)合的一次嘗試，為未來無線通信技術(shù)的發(fā)展提供了更多的可能。