能量均分定理的一種證明

周薇 李德華

摘要：本文用系綜理論證明了能量均分定理，說明能量均分定理對于互作用粒子系統(tǒng)也是正確的。進(jìn)一步澄清了能量均分定理中自由度的含義。

關(guān)鍵詞：能量均分定理；自由度；系綜理論；哈密頓量

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）42-0195-02

在大學(xué)物理或熱學(xué)課程中，能量均分定理是一項(xiàng)非常重要的教學(xué)內(nèi)容，且有廣泛的應(yīng)用，因此，對能量均分定理的正確闡釋和嚴(yán)格證明有著十分重要的意義。

一、常見的兩種表述及證明方法

一般教材和文獻(xiàn)中有兩種常見的表述[1]，其一：在溫度為T的平衡狀態(tài)下，分子的每一個自由度都具有kT的平均能量（也有表述為平均動能）。另一種表述為：處在溫度為T的平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項(xiàng)的平均值均為kT。對比這兩種表述很容易產(chǎn)生一個誤解，即粒子能量中每一個平方項(xiàng)對應(yīng)一個自由度，而經(jīng)典力學(xué)中的自由度定義為確定一個物體的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，這個數(shù)目一般與粒子能量平方項(xiàng)數(shù)并不一致。這個問題往往成為理解能量均分定理的困擾。

現(xiàn)有的教材及文獻(xiàn)[2-4]中對能量均分定理的證明，多采用針對近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論， 然而能量均分定理對于有相互作用的粒子系統(tǒng)亦是成立的，因此更嚴(yán)格更廣泛的證明應(yīng)該采用適用于粒子之間存在相互作用的系綜理論來進(jìn)行。

二、系綜理論證明能量均分定理

設(shè)N個自由度為r的互作用粒子組成的系統(tǒng)的哈密頓量為H（q，p），如果把所有的相空間坐標(biāo)q，p用x替代，x應(yīng)包括所有動量與坐標(biāo)（i=1，2…，2rN）。下面先計(jì)算x的平均值，其中x和x為任意兩個坐標(biāo)或動量

=xρ（x）dx （1）

這里沒有考慮全同粒子的不可分辨性，但不影響證明結(jié)果。采用微正則系綜，則

ρ（x）= E≤H（x）≤E+ΔE 0 H（x）≤E， H（x）≥E+ΔE （2）

式（2）中Ω是厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)。將式（2）代入式（1），并考慮到E是定值，=0，所以

=xdx

=xdx

=ΔExdx （3）

=ΔEx（H-E）？搖dx

-（H-E）dx

式（3）中最后一步用了分部積分，其中第一項(xiàng)對除了x的2Nr-1個變量積分。x取極值，相應(yīng)的點(diǎn)在能量曲面上，因此H=E，第一項(xiàng)為零。令λ=，則

=-ΔE（H-E）dx （4）

利用數(shù)學(xué)公式

Fα，xdx=dx

+Fα，gα？搖？搖-Fα，fα？搖？搖

可以得到

=-ΔE（-1）dx

=λΣ （5）

式（5）中Σ是能量曲面內(nèi)的狀態(tài)總數(shù)，那么厚度為ΔE的能量層內(nèi)的狀態(tài)數(shù)Ω=ΔE，所以

=λ=

再利用玻爾茲曼關(guān)系S=klnΣ，可得

=k=λkT （6）

式中λ=只有當(dāng)i=j時(shí)等于1，其余為零。

下面的討論用到哈密頓正則方程

=-，= （7）

若x為坐標(biāo)q，則

=-=-=kT （8）

若x為坐標(biāo)p，則

==kT （9）

式（9）中p正是某一運(yùn)動方向的動能的兩倍（比如mυ），對于三維運(yùn)動粒子平均動能為

=kT （10）

現(xiàn)在來分析式（8）的意義，對于三維運(yùn)動粒子，此式可以改寫為

-=3kT （11）

假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)粒子的相互作用勢能ε∝r，將力表達(dá)為勢能梯度，則得到

-===α=3kT （12）

若α=2，即對于平方形式的勢能有

=kT （13）

式（10）和式（13）說明平均動能和平均勢能具有相同的大小，且對每一方向都有kT。

哈密頓量如果只包括平方項(xiàng)可以表示為

H=ap+bq （14）

利用全微分可得

dH=（2aipidpi+2biqidqi）

=dp+dq

可以看出

=2aipi，=2biqi （15）

將式（15）代入式（14）得

H=p+q （16）

所以

==fkT （17）

式中f表示哈密頓量中平方項(xiàng)的數(shù)目，如式（16）中f=2Nr。這說明哈密頓量中每一個平方項(xiàng)的平均能量為kT。

用正則系綜理論同樣可以證明上述結(jié)論。

三、總結(jié)

在系綜理論中，不存在獨(dú)立粒子，由N個坐標(biāo)為 r的粒子組成的系統(tǒng)，其運(yùn)動狀態(tài)由Nr個廣義坐標(biāo)和Nr個廣義動量確定，決定一系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)所需的獨(dú)立變數(shù)為2Nr，如果把這個廣義坐標(biāo)和廣義動量的總數(shù)稱為自由度數(shù)，這樣定義的自由度的數(shù)量與獨(dú)立的平方項(xiàng)數(shù)量是一致的。這在一定程度上澄清了能量均分定理兩種表述的關(guān)系，明確了自由度的各種含義。當(dāng)然文中所指能量均分定理只針對動能和勢能均為平方項(xiàng)能量的特殊情況。對于非平方相，需要用廣義能量均分定理來求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐勞立.關(guān)于能量均分定理的討論[J].物理與工程，2005，15（6）：61-62.

[2]汪志誠.熱力學(xué)·統(tǒng)計(jì)物理[M].第二版.北京：高等教育出版社，1993：244-246.

[3]朱曙華.關(guān)于能量均分[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，16（2）：37-40.

[4]翁甲強(qiáng).能量均分定理證明的探討[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，16（3）：6-9.