尺規(guī)作圖應(yīng)用專(zhuān)練

吳瓊

李嵐老師的這堂直播課，以尺規(guī)作圖的歷史引入，通過(guò)對(duì)五種基本尺規(guī)作圖之一的“作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)”進(jìn)行深入剖析，引發(fā)“為什么要這樣作圖”的思考，總結(jié)出尺規(guī)作圖的流程“草圖—分析—操作—驗(yàn)證”，引導(dǎo)同學(xué)們根據(jù)作圖痕跡辨別作圖類(lèi)型，根據(jù)題干要求進(jìn)行作圖分析、逆向推理，從而把復(fù)雜尺規(guī)作圖問(wèn)題分解為若干基本作圖問(wèn)題.

作一個(gè)角等于已知角，是根據(jù)“SSS”證兩個(gè)三角形全等的方法而得的；過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，是根據(jù)“同位角相等，兩直線(xiàn)平行”而得的. 下面從這兩個(gè)基本作圖出發(fā)，結(jié)合李嵐老師的方法進(jìn)行變式訓(xùn)練、實(shí)戰(zhàn)演練和分層作業(yè).

變式訓(xùn)練

例1 如圖1，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法不一定正確的是（ ）.

A. AF = BF? ? ? ? ? ? ? ? B. AE = [12]AC

C. ∠DBF + ∠DFB = 90° D. ∠BAF = ∠EBC

解析：結(jié)合角平分線(xiàn)的定義和垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析，由圖1中尺規(guī)作圖痕跡可知，BE為∠ABC的平分線(xiàn)，DF為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn).

由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得AF = BF，故A選項(xiàng)不符合題意.

∵DF為線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，∴∠BDF = 90°，

∴∠DBF + ∠DFB = 90°，故C選項(xiàng)不符合題意.

∵BE為∠ABC的平分線(xiàn)，∴∠ABF = ∠EBC.

∵AF = BF，∴∠ABF = ∠BAF，∴∠BAF = ∠EBC，

故D選項(xiàng)不符合題意.

根據(jù)已知條件不能得出AE = [12]AC，故應(yīng)選B.

實(shí)戰(zhàn)演練

例2 在以下圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，不能判斷射線(xiàn)AD平分∠BAC的是（ ）.

A. ① ? ? ? B. ② ? ? C. ③ ? ? D. ④

解析：根據(jù)角平分線(xiàn)的定義以及全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

如圖2①，射線(xiàn)AD是角平分線(xiàn).

如圖2②，根據(jù)“SAS”證明△ABN ≌ △ACM，可得∠ABD = ∠ACD；根據(jù)“AAS”證明△BDM ≌ △CDN，推出DM = DN，再根據(jù)“SSS”證明∠ADM ≌ △ADN，推出∠MAD = ∠NAD，推出射線(xiàn)AD是角平分線(xiàn).

如圖2④，根據(jù)“HL”證明△DAF ≌ △DAE，推出∠DAF = ∠DAE，推出AD是角平分線(xiàn).

如圖2③，無(wú)法證明AD是角平分線(xiàn). 故應(yīng)選C.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：2分鐘

1. 下列關(guān)于過(guò)直線(xiàn)l外一點(diǎn)P作直線(xiàn)l的平行線(xiàn)的尺規(guī)作圖錯(cuò)誤的是（ ）.

A. [P][l]? ? B. [P][l] ? ? C. [P][l] ? ?D. [l][P]

2. 如圖3，用尺規(guī)作圖作∠OBF = ∠AOB，則作圖痕跡弧MN是（ ）.

A. 以點(diǎn)B為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑的弧

B. 以點(diǎn)B為圓心，以DC長(zhǎng)為半徑的弧

C. 以點(diǎn)E為圓心，以O(shè)D長(zhǎng)為半徑的弧

D. 以點(diǎn)E為圓心，以DC長(zhǎng)為半徑的弧

難度系數(shù)：★★★★★ 解題時(shí)間：3分鐘

3. 如圖4，△ABC中，若∠BAC = 80°，∠ACB = 70°，根據(jù)圖4中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.

A. ∠BAQ = 40° B. DE = [12]BD

C. AF = AC D. ∠EQF = 25°

（答案見(jiàn)第29頁(yè)）

（作者單位：大連市第三十七中學(xué)）