結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)實(shí)際問題 ,助力等量關(guān)系的分析

康葉紅

摘要：《分式方程的應(yīng)用》一課教學(xué)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系 ，列出分式方程。對(duì)此 ，可基于蘇科版教材給出的三道例題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) （相應(yīng)的式子結(jié)構(gòu) ），結(jié)構(gòu)化地設(shè)計(jì)例題來組織教學(xué) ：讓學(xué)生利用一元一次方程解決實(shí)際問題 ，從而在新舊對(duì)比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ;讓學(xué)生根據(jù)分式方程編制實(shí)際問題，從而在正逆轉(zhuǎn)換中鞏固數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ;讓學(xué)生解決條件更多、條件關(guān)系更不清晰的實(shí)際問題 ，從而在復(fù)雜關(guān)系中體會(huì)直觀工具的價(jià)值。

關(guān)鍵詞 ：初中數(shù)學(xué) ;分式方程 ;實(shí)際問題 ;數(shù)量關(guān)系 ;結(jié)構(gòu)化

一、教前思考

“分式方程的應(yīng)用 ”是蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè) “10.5分式方程 ”第三課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。在這一節(jié)的前兩個(gè)課時(shí)中 ，學(xué)生已經(jīng)理解了分式方程的概念 ，掌握了 （可化為一元一次方程的 ）分式方程的解法 ，認(rèn)識(shí)到解分式方程時(shí)必須對(duì)解得的根進(jìn)行檢驗(yàn) ，同時(shí) ，初步感受到分式方程的學(xué)習(xí)可以類比遷移整式 （一元一次 ）方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。本課主要是引導(dǎo)學(xué)生利用分式方程這個(gè)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。與之前學(xué)習(xí)的利用一元一次方程、二元一次方程組解決實(shí)際問題一樣 ，學(xué)生也要經(jīng)歷如下頁圖 1所示的數(shù)學(xué)抽象、建模 （數(shù)學(xué)化）過程 ，從而可以再次體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型 ，積累利用方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn) ，進(jìn)一步鞏固、發(fā)展模型觀念和應(yīng)用意識(shí)。

利用分式方程解決實(shí)際問題的一般過程包括 ：從實(shí)際問題中分析出數(shù)量之間的相等關(guān)系 ，依據(jù)等量關(guān)系列出分式方程 ，解分式方程，根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)解的合理性 ，進(jìn)而解決實(shí)際問題。根據(jù)學(xué)生解分式方程、對(duì)其根進(jìn)行檢驗(yàn)的知識(shí)基礎(chǔ)和利用一元一次方程、二元一次方程組解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) ，以及利用分式方程解決實(shí)際問題與這些基礎(chǔ)的關(guān)鍵區(qū)別 “由更為復(fù)雜的等量關(guān)系列出方程”，結(jié)合由學(xué)情前測(cè)發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)難點(diǎn) “列出分式方程 ”（常表現(xiàn)為 ：不理解實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ，不知道為什么所列的方程會(huì)是分式方程 ;不能理順條件關(guān)系、抓住關(guān)鍵條件，獲得等量關(guān)系 ;不能合理借助表格、線段圖等直觀工具分析題意 ，獲得等量關(guān)系 ），可以確定本課教學(xué)的重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系 ，列出分式方程。

實(shí)際上 ，從兩個(gè) “每份數(shù) ×份數(shù) =總數(shù) ”類型的數(shù)量關(guān)系出發(fā) ，如果已知的是兩個(gè) “每份數(shù) ”（“份數(shù) ”）的大小、兩個(gè) “份數(shù) ”（“每份數(shù)”）的和差或倍比關(guān)系 （包括相等關(guān)系 ）以及兩個(gè) “總數(shù) ”的和差或倍比關(guān)系 ，要求的是兩個(gè)“總數(shù) ”或兩個(gè) “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”）的大小 ，則可設(shè)一個(gè) “總數(shù) ”或 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”），表示出另一個(gè) “總數(shù) ”或 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”），再抓住兩個(gè) “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”）或兩個(gè) “總數(shù) ”的和差或倍比關(guān)系 ，列出形如 ax±bf（x）=c或 x =c·bf（x）[其中 a、b、c為已知數(shù) ，f（x）為ax的一次式 ]的整式 （一元一次 ）方程。由此，便可以回歸學(xué)生利用方程解決實(shí)際問題的起點(diǎn) ，對(duì)比 （鋪墊 ）設(shè)計(jì)需要利用一元一次方程解決的實(shí)際問題 ，更好地幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系 ，把握等量關(guān)系的本質(zhì) ，列出相應(yīng)的方程。

除此之外 ，也可以增設(shè)讓學(xué)生根據(jù)分式方程編制實(shí)際問題的逆向、開放問題 ，更好地幫助學(xué)生把握實(shí)際問題中等量關(guān)系的本質(zhì) ，同時(shí)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及 “數(shù)學(xué)的眼光 ”;還可以增設(shè)數(shù)量關(guān)系更為隱蔽、復(fù)雜 （條件更多、條件關(guān)系更不清晰 ）的實(shí)際問題 ，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀工具分析題意 ，并且靈活尋找多種數(shù)量關(guān)系 ，從而進(jìn)一步學(xué)會(huì)分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系。

通過上述分析 ，本課教學(xué) ，筆者基于教材給出的三道例題的本質(zhì) ———上述數(shù)量關(guān)系 （式子結(jié)構(gòu) ），由舊到新、由正到逆、由淺入深地設(shè)計(jì)出三道題目 ，以期通過結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì) ，充分助力學(xué)生分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系 ，同時(shí)，幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu) （聯(lián)系 ），感悟有效的思維方法 （過程）。

二、教學(xué)過程

（一）第一題的教學(xué) ：在新舊對(duì)比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

師 在一元一次方程和二元一次方程組的學(xué)習(xí)中 ，我們知道方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系 ，進(jìn)而解決實(shí)際問題的有效模型。最近 ，我們學(xué)習(xí)了分式方程及其解法。今天 ，我們就嘗試?yán)梅质椒匠探鉀Q實(shí)際問題 ，重點(diǎn)關(guān)注如何根據(jù)題意列出方程。先來看第一題。 （教師出示第一題 ：“①已知蘋果每千克 5元，橘子每千克 3元，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，共花了 24元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？ ②已知蘋果的單價(jià)是橘子的 1.5倍，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，買蘋果花了 18元，買橘子花了 6元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？”學(xué)生獨(dú)立完成 ，教師巡視。）

師 同學(xué)們都完成得差不多了。下面 ，請(qǐng)兩位同學(xué)分別解釋一下這兩問你列出了怎樣的方程 ，是如何列出的 ？

生 第一問 ，已知小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，因此 ，可設(shè)小麗買了蘋果 x千克、橘子 （6-x）千克 ，根據(jù)等量關(guān)系 “共花了 24元”，列出方程 ：4.5x+3（6-x）=24。

師 很好 ！找到等量關(guān)系以及設(shè)好未知量是列出方程的關(guān)鍵。（稍停 ）對(duì)比列出的兩個(gè)方程 ，你有什么發(fā)現(xiàn) ？

生 第一問列出的是一元一次方程 ，第二問列出的是分式方程。

師 為什么第一問列出的是整式方程 ，第二問列出的是分式方程 ？（稍停 ）這兩問中都存在怎樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 ? （若有所悟 ）這兩問中都存在單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的數(shù)量關(guān)系 ，即“單價(jià) ×數(shù)量 =總價(jià) ”。

師 都有幾個(gè)這樣的數(shù)量關(guān)系 ？分別是什么事物的 ？

生 兩個(gè) ，分別是蘋果的和橘子的。

師 那么 ，已知和要求有什么不同 ，才導(dǎo)致列出的方程類型不同 ？

生 第一問已知兩個(gè)單價(jià)、兩個(gè)數(shù)量的和、兩個(gè)總價(jià)的和 ，要求兩個(gè)數(shù)量。

師 這樣一分析 ，就可以發(fā)現(xiàn) ，其實(shí)已知了兩個(gè)等量關(guān)系 ，要求的也是兩個(gè)量。那么 ，為什么列出的是一個(gè)一元一次方程 ？

生 我們利用兩個(gè)數(shù)量的和設(shè)一個(gè)數(shù)量 ，表示出另一個(gè)數(shù)量 ;再利用兩個(gè)總價(jià)的和列出一個(gè)方程。

師 那么 ，根據(jù)已知的兩個(gè)等量關(guān)系的 “對(duì)等性”，我們還可以設(shè)什么未知量 ，列出什么方程 ？

師 這是一個(gè)什么方程 ？

生 一元一次方程。

師 那么 ，是什么導(dǎo)致這一問列出的還是一元一次方程 ？

生 我知道了。因?yàn)橹赖氖菃蝺r(jià) ，所以 ，求 （設(shè)）數(shù)量 ，利用總價(jià)的關(guān)系時(shí) ，列出的是 “單價(jià) ×數(shù)量 ”的式子 ;求（設(shè)）總價(jià) ，利用數(shù)量的關(guān)系時(shí) ，列出的是 “總價(jià) ÷單價(jià) ”的式子。它們都是一次整式 （未知數(shù)不在分母上）。

師 非常好 ！你看透了問題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。再來分析第二問。

生 ? （接話 ）因?yàn)橹赖氖强們r(jià) ，所以 ，求（設(shè)）數(shù)量時(shí) ，利用單價(jià)的關(guān)系列出的是 “總價(jià) ÷數(shù)量 ”的式子 ;而求 （設(shè)）單價(jià)時(shí) ，利用數(shù)量的關(guān)系列出的是 “總價(jià) ÷單價(jià) ”的式子。它們都是分式 （未知數(shù)在分母上）。

第一題是購物問題 ，增設(shè)的第一問改編自蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè) “4.3用一元一次方程解決問題 ”的例 2。由此 ，可以引導(dǎo)學(xué)生通過兩問的內(nèi)在聯(lián)系由舊知過渡到新知，并在新舊對(duì)比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ，從而理解所列方程的類型 ，并學(xué)會(huì)分析條件和結(jié)論 ，理順其相互關(guān)系 ，進(jìn)而抓住關(guān)鍵條件 ，獲得等量關(guān)系。

（二）第二題的教學(xué) ：在正逆轉(zhuǎn)換中鞏固數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

師請(qǐng)大家一起來看第二題。

（教師出示第二題 ：“①從甲地到乙地 ，小明步行比乘公交車多用 2.1h。已知小明步行的速度為 5km/h，乘公交車的速度為 40km/h，那么兩地相距多遠(yuǎn) ？ ②請(qǐng)根據(jù)第一問中的數(shù)量關(guān)系 ，設(shè)計(jì)已知量和未知量 ，編制出利用分式方程解決的實(shí)際問題。”）

師 先看第一問 ，與第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價(jià) ×數(shù)量 =總價(jià) ”的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 有，是“速度 ×?xí)r間 =路程 ”。

師 那么 ，有幾個(gè)這樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 兩個(gè) ，分別是步行的和乘公交車的。

師 那么 ，已知和要求分別是什么 ？

生 已知兩個(gè)速度、兩個(gè)時(shí)間的差、兩個(gè)路程———是同一個(gè)路程。

師 這一點(diǎn)看上去和第一題有一些不同 ，但是本質(zhì)上還是已知兩個(gè)路程的關(guān)系 ，即兩個(gè)路程相等 ，或者說兩個(gè)路程差為 0 （比值為 1）。那么 ，要求什么 ？

生 要求路程。

師 雖然是同一個(gè)路程 ，但是 ，也可以看成兩個(gè)相等的路程。這樣一看 ，第二題第一問是不是和第一題第一問在本質(zhì)上是一樣的 ？那么 ，可以根據(jù)什么等量關(guān)系設(shè)未知量 ，列出方程呢 ？

生 還可以反過來。根據(jù) “步行的時(shí)間 -乘公交車的時(shí)間 =2.1h”，設(shè)乘公交車的時(shí)間是 xh、步行的時(shí)間是 （x+2.1）h;再根據(jù) “步行的路程 =乘公交車的路程”，列出方程 ：40x=5（x+2.1）。

師 很好 ！這個(gè)問題和之前的問題看似不同，實(shí)則相通。理清已知的和要求的之間的關(guān)系 ，把握其本質(zhì) ，就很容易用類似的方法列出這兩個(gè)方程了。這兩個(gè)方程也是什么方程 ？生一元一次方程。師現(xiàn)在來看第二問 ，你能編制出怎樣的實(shí)際問題 ？

（學(xué)生獨(dú)立完成 ，教師巡視。）

師 很多同學(xué)都有了想法 ，誰來說說 ？

師 你是怎么想到的 ？

生 類似于第一題的第二問 ，只要已知 “路程 ”這個(gè) “總數(shù) ”就好了 ，然后給出兩個(gè) “速度 ” （相當(dāng)于 “每份數(shù) ”）之間的關(guān)系以及兩個(gè) “時(shí)間 ”（相當(dāng)于 “份數(shù) ”）之間的關(guān)系。

師 很好 ！那么 ，設(shè)未知量 ，列出方程有幾種方法呢 ？

（三）第三題的教學(xué) ：在復(fù)雜關(guān)系中體會(huì)直觀工具的價(jià)值

師 最后 ，來看第三題。 （教師出示第三題 ：“某項(xiàng)工程 ，需要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。若由甲隊(duì)去做 ，恰能如期完成 ;若由乙隊(duì)完成 ，需要超過規(guī)定日期 3天?，F(xiàn)在由甲、乙兩隊(duì)合做 2天后，余下的工程由乙隊(duì)獨(dú)自去做 ，恰好在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。規(guī)定的時(shí)間是多少天？”學(xué)生獨(dú)立完成 ，教師巡視。）

師 一些同學(xué)有了想法 ，一些同學(xué)還在思考。現(xiàn)在 ，請(qǐng)大家停下來。別急著回答 ，還是先思考 ：這道題題和第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價(jià) ×數(shù)量 =總價(jià) ”的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 有，應(yīng)該是 “工作效率 ×工作時(shí)間 =工作總量 ”。

師 同樣地 ，有幾個(gè)這樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 兩個(gè) ，分別是甲隊(duì)的和乙隊(duì)的。

師 仔細(xì)分析題目條件 ，兩隊(duì)各只有一個(gè)這樣的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 （若有所悟 ）兩隊(duì)都有兩次這樣的數(shù)量關(guān)系。甲隊(duì)第一次以它的工作效率 （不知道）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道 ，要求的 ），完成了相應(yīng)的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道）工作了 2天，完成了相應(yīng)的工作總量 （不知道）。乙隊(duì)第一次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道 ，要求的）多3天，完成了相應(yīng)的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道，要求的 ），完成了相應(yīng)的工作總量 （不知道）。

師不錯(cuò) ，你用語言文字表述了題目中蘊(yùn)含的四組 “工作效率 ×工作時(shí)間 =工作總量”。但是 ，這樣表述顯然不夠清晰 ，或者說不夠簡(jiǎn)潔、直觀。你能借助其他表達(dá)工具或方式 ，更加清晰地表示這四組數(shù)量關(guān)系嗎 ？ （教師引導(dǎo)學(xué)生得到表 1。）

師 很好 ！借助表格顯示 ，條件之間的關(guān)系就清楚多了。因?yàn)轭}目條件比較復(fù)雜 ，所以最好再檢查一下 ：還有遺漏條件嗎 ？

生 甲、乙兩隊(duì)第二次的工作總量之和為工程總量。

師 也就是 ，表中最后一列的兩個(gè)未知量之和為工程總量。題目條件比較清楚了 ，你能列出方程了嗎 ？你準(zhǔn)備依據(jù)哪些等量關(guān)系設(shè)哪些量 ，表示出哪些量 ？再依據(jù)哪個(gè)等量關(guān)系列出方程 ？

師 他依據(jù) “甲隊(duì)第二次的工作總量 +乙隊(duì)第二次的工作總量 =工程總量 ”列出了方程 ，不過 ，這個(gè)方程解起來有點(diǎn)麻煩。可以簡(jiǎn)化這里的數(shù)量關(guān)系和方程嗎 ？想想工程總量還可以怎么表示 ？不同的表示之間有關(guān)系嗎 ？或者看看上述方程的求解過程給我們什么啟發(fā) ？

師 非常好 ！這個(gè)等量關(guān)系以及相應(yīng)的方程不僅非常簡(jiǎn)潔 ，而且經(jīng)過轉(zhuǎn)化 ，讓我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)其和第一題第二問一樣的數(shù)量關(guān)系本質(zhì) ：知道兩個(gè) “工作總量 ”的大小 （都是單位 “1”）、兩個(gè) “工作時(shí)間 ”的差 （3）以及兩個(gè) “工作效率 ”的比 （3∶

2），要求兩個(gè) “工作時(shí)間 ”的大小。（稍停）確實(shí) ，表格、線段圖等常見的直觀工具可以幫助我們理清題意 ，找到等量關(guān)系，尤其是題目條件比較復(fù)雜時(shí)。而且這時(shí) ，題目中的等量關(guān)系通常比較多 ，借助直觀工具可以得到它們之間的聯(lián)系，從而優(yōu)化等量關(guān)系 ，列出更為簡(jiǎn)潔、好解的方程。 （學(xué)生反思、體會(huì)。）

師 當(dāng)然 ，同學(xué)們也要一分為二地看待這個(gè)事情。方程思想的根本追求是正向思維，即更容易想。而最容易想的處理方式其實(shí)就是遇到等量關(guān)系就列 ，遇到未知量就設(shè) ，把所有等量關(guān)系都列出來、所有未知量都設(shè)出來后 ，要處理的也就是解一個(gè)可能有點(diǎn)復(fù)雜的方程組。雖然同學(xué)們只學(xué)過二元一次方程組 （可能選學(xué)過三元一次方程組 ），但是解多元的方程組的基本思想是相同的 ，即消元 ，具體包括代入消元、加減消元等。這樣就把 “想”的困難轉(zhuǎn)化到了 “算”上，而 “算”的難更多地表現(xiàn)為繁 ———“算 ”是相對(duì)機(jī)械、程序化的事情。第三題實(shí)際上是工作任務(wù)問題。相比

于前兩題 ，不再鋪墊設(shè)問 ，而直接讓學(xué)生利用分式方程解決實(shí)際問題 ;同時(shí) ，其數(shù)量關(guān)系更為復(fù)雜 ，不容易看清本質(zhì) ，不容易 “題型化”“套路化 ”。由此 ，一方面 ，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助圖表分析題意 ，簡(jiǎn)潔扼要、條理清晰地表達(dá)數(shù)量關(guān)系 ，凸顯直觀工具的運(yùn)用價(jià)值;另一方面 ，則可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)借助條件關(guān)系優(yōu)化數(shù)量關(guān)系 ，培養(yǎng)思維的靈活性。特別值得一提的是 ，教師最后的總結(jié)上升到了方程思想的層面 ，基于堅(jiān)實(shí)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ) ，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)識(shí)提升到素養(yǎng)、大概念的層面。