追根溯源 挖掘本質(zhì)
——一道解析幾何?？碱}的源與流

趙福余

(江蘇省太倉高級中學(xué)，215400)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識,從具體實例出發(fā),展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程,了解知識的來龍去脈.”本文筆者通過一道?？碱},闡述教學(xué)的過程應(yīng)在引導(dǎo)學(xué)生自主探索處留出充分的空間,以利于學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程.

一、試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知?BMN是橢圓C的內(nèi)接三角形,若原點O為?BMN的重心,求原點O到直線MN距離的最小值.

二、試題解答

解法2若直線MN與x軸垂直,則線段MN的中點在x軸上,點B為長軸的頂點,由OB=2及重心的性質(zhì),易知此時原點O到直線MN的距離為1.

①

(3+4k2)x2+8knx+4n2-12=0.

②

三、追根溯源

對問題(2)作一般性研究,不難得到如下結(jié)論.

證明設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則直線MN的方程為(y2-y1)x-(x2-x1)y-(x1y2-x2y1)=0,點O到直線MN距離

由O為?BMN的重心,可得B(-x1-x2,-y1-y2).又

③

④

⑤

由③+④-⑤,(③+④)×2-⑤,得

⑥

⑦

結(jié)論2條件同結(jié)論1,則

因此,?？碱}的 “源”是一類“動弦、定面積”的橢圓內(nèi)接三角形問題.

四、結(jié)論拓展

(限于篇幅,推論1-3的證明留給讀者)

波利亞曾說:“一個專心認真?zhèn)湔n的教師

能夠拿出一個有變化但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面, 使得通過這道題就好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中,只要我們的教學(xué)能無疑生疑,有疑釋疑,不存一疑,學(xué)生的探究能力與思維能力定會逐漸得到提升,學(xué)生就能在學(xué)習(xí)、探究的過程中體驗到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂!