隱零點(diǎn)問題中化隱為顯的幾種策略

魏東升

(江西省瑞金第一中學(xué)，342500)

在利用導(dǎo)數(shù)解題時,導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的處理往往是一個關(guān)鍵環(huán)節(jié),其中無法精確求解的“隱零點(diǎn)”成為學(xué)生解題的難點(diǎn).對于這類問題,常見的處理方式主要有虛設(shè)零點(diǎn)和化隱為顯兩大類.其中化隱為顯是指為了避免出現(xiàn)直接求導(dǎo)帶來的隱零點(diǎn)問題,通過采取重新構(gòu)造函數(shù)的方式,把隱零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為顯零點(diǎn)的一種處理技巧.本文結(jié)合近幾年的幾道高考導(dǎo)數(shù)壓軸題,探討隱零點(diǎn)問題中化隱為顯的幾種主要策略,以供大家參考.

一、“雙雄”構(gòu)造

(1)求a,b;

(2)證明：f(x)>1.

解(1)a=1,b=2.(過程略)

綜上，當(dāng)x>0時，g(x)>h(x),即f(x)>1.

評注本題對f(x)利用導(dǎo)數(shù)整體研究時會碰到隱零點(diǎn)問題,上述解法把證f(x)>1等價拆分成兩個易求零點(diǎn)的函數(shù)(稱之為“雙雄”構(gòu)造),回避了難點(diǎn),簡化了問題處理.

二、分離構(gòu)造

例2(2017年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)略.

綜上,所求a=1.

評注分離是處理函數(shù)或不等式問題的一種常見手段,通常用于分離參數(shù),或者分離含有類似xlnx這樣的超越式.本題中除了分離參數(shù),還由f(x)含有xlnx而導(dǎo)致求導(dǎo)后出現(xiàn)隱零點(diǎn)問題,故而采取了將x和lnx分離的處理方式.

三、合并構(gòu)造

例3(2018年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1,證明:當(dāng)x≥0時,f(x)≥1;

(2)略.

解(1)當(dāng)a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0.

設(shè)g(x)=(x2+1)e-x-1,則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x≤0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)減,可知當(dāng)x≥0時,g(x)≤g(0)=0,即f(x)≥1.

評注對于含有ex的函數(shù),根據(jù)求導(dǎo)法則,由于[f(x)ex]′=[f′(x)+f(x)]ex,所以像例3這樣把f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0,即將x2+1和e-x合并在一起求導(dǎo),可以很好地避免隱零點(diǎn)的出現(xiàn).

四、放縮構(gòu)造

例4(2018年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

(1)略;

五、主元構(gòu)造

(1)略;

評注前四種構(gòu)造策略都是建立在以x為主元的框架內(nèi)進(jìn)行的，對于含參的函數(shù)(比如例5)，可構(gòu)造以參數(shù)為主元的函數(shù)來實現(xiàn)化隱為顯的目的.

在導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)過程中,像這樣以專題的形式介紹隱零點(diǎn)問題的處理策略,盡量一次性徹底地解決與其有關(guān)的問題,對學(xué)生解題水平的提升、邏輯思維的訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng),想必都是極好的.