一類對(duì)稱型不等式的一種證法

李居之

(河南省南陽(yáng)師范學(xué)院軟件學(xué)院,473061)

對(duì)于對(duì)稱型不等式,比較常見的方法就是構(gòu)造局部不等式來證明.但在面對(duì)不同的不等式問題時(shí),如何來構(gòu)造局部不等式卻是比較難處理的.本文從一類條件為“abcd=1”的四元分式型的對(duì)稱不等式著手,通過引入、控制待定系數(shù),最后將其統(tǒng)一構(gòu)造出一個(gè)熟知的局部不等式來證明.

這里,給出一個(gè)熟知的簡(jiǎn)單證明.

下面舉幾個(gè)例子,來應(yīng)用這個(gè)結(jié)論.

證明當(dāng)x>0時(shí),有

?t10-t8-t6+2t5-t4-t2+1≥0

?(t-1)2(t2+t+1)(t6+t5+t3+t+1)

≥0,顯然成立.

證明當(dāng)x>0時(shí),有

?t6-3t4+2t3≥0

?t3(t+2)(t-1)2≥0,顯然成立.

評(píng)注此題改編于2004年吉林省競(jìng)賽題、2004年德國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克選拔考試題:已知正數(shù)a,b,c,滿足abc=1,求證:

例3(Mathematical Reflections J500)已知正數(shù)a,b,c,d滿足abcd=1,求證:

證明當(dāng)x>0時(shí),有

5x2-2x+1≤(1+x2)2

?x4-3x2+2x≥0

?x(x+2)(x-1)2≥0,顯然成立.

又因?yàn)閍2b2c2d2=(abcd)2=1,由上面的結(jié)論知所證不等式成立.

證明當(dāng)x>0時(shí),有

?(x3+2)(x12+3)≥3x(x3+1)2

?x15+2x12-3x7-6x4+3x3-3x+6

≥0

?(x-1)2(x13+2x12+3x11+6x10+9x9+

12x8+15x7+18x6+18x5+18x4+

18x3+12x2+9x+6)≥0,顯然成立.

另外,利用均值不等式可將此不等式轉(zhuǎn)化到例2.這說明此不等式是比較弱的.

證明當(dāng)x>0時(shí),有

?4(x8+3)(2x3+1)2≥9(x3+1)4

?4(16x14-9x12+16x11-36x9+4x8-

6x6+12x3+3)≥0

?(x-1)2(16x12+32x11+39x10+62x9+

哀樂又一次響起在這屋里，阿東被這悲哀之聲壓迫得透不過氣。但阿里卻立即把頭伸出被子。他的臉上露出平靜表情。仿佛真的是在聽母親的聲音。他不說話，只側(cè)耳傾聽。

85x8+72x7+63x6+54x5+39x4+

24x3+9x2+6x+3)≥0,顯然成立.

證明當(dāng)x>0時(shí)，有

?16(4x2-x+1)(1+x)4≥(8x3+

15x2+6x+3)2

?15x4-4x3-30x2+12x+7≥0

?(3x+1)(5x+7)(x-1)2≥0,顯然成立.

證明當(dāng)x>0時(shí)，有

?4x(3+x4)≥(8x-x4-3)(1+x)2

?x6+6x5+x4-8x3-13x2+10x+3

≥0

?(x-1)2(x4+8x3+16x2+16x+3)

≥0,

顯然成立.

需要說明的是,這種方法有一定的局限性,甚至在使用起來時(shí)并沒有其他的方法簡(jiǎn)單.尤其是對(duì)于待定系數(shù)的控制,讀者朋友們稍不留意,就有可能陷入其中.但當(dāng)面對(duì)這一類對(duì)稱型不等式束手無措時(shí),不妨嘗試拿來應(yīng)用,有時(shí)也不失為一種好方法!