高二數(shù)學(xué)測(cè)試

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共9小題,每小題5分,計(jì)45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合要求)

(A) 3 (B)9 (C)12 (D)15

2.下列結(jié)論中正確的是( )

(B)若y=(2x+1)3,則y′=3(2x+1)2

(C)若y=x2ex,則y′=2xex

3.將2封不同的信投入3個(gè)不同的信箱,不同的投法種數(shù)為 ( )

4.若復(fù)數(shù)z滿足z(3-i)=8-6i(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為 ( )

(A) 1 (B) 3 (C)-1 (D)-3

6.為全面貫徹黨的教育方針,落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù),某學(xué)校積極推進(jìn)教學(xué)改革,開(kāi)發(fā)了10門(mén)校本課程,其中藝術(shù)類(lèi)課程4門(mén),勞動(dòng)類(lèi)課程6門(mén).小明從10門(mén)課程中任選3門(mén),則出現(xiàn)藝術(shù)類(lèi)課程的概率為( )

(A)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32

(B)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1

(C)展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

(D)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)

8.某省新高考方案規(guī)定的選科要求為:學(xué)生先從物理、歷史兩科中任選一科,再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、政治、地理四門(mén)學(xué)科中任選兩科.現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生按上面規(guī)定選科,則甲、乙恰有一門(mén)學(xué)科相同的選科方法有( )種

(A)24 (B)30 (C)48 (D)60

9.若集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},從集合A中任取3個(gè)不同的元素,其中最小的元素用a表示,從集合B中任取3個(gè)不同的元素,其中最大的元素用b表示,記X=b

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3個(gè)小題,每小題5分,計(jì)15分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)

10.已知i為虛數(shù)單位,則下列選項(xiàng)中正確的是 ( )

(A)復(fù)數(shù)z=3+4i的模|z|=5

(C)若復(fù)數(shù)(m2+3m-4)+(m2-2m-24)i是純虛數(shù),則m=1或m=-4

(D)對(duì)任意的復(fù)數(shù)z,都有z2≥0

11.已知隨機(jī)變量ξ的分布列是

ξ-101P121-p2p2

隨機(jī)變量η的分布列是

η123P121-p2p2

則當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時(shí),下列選項(xiàng)中正確的是( )

(A)E(ξ)=E(η)

(B)V(ξ)=V(η)

(C)E(ξ)增大

(D)V(η)先增大后減小

12.已知函數(shù)f(x)=xex,若x1

(A)(x1-x2)]f(x1)-f(x2)]>0

(B)x1f(x2)>x2f(x1)

(D)f(x1)-f(x2)

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,計(jì)20分)

13.若隨機(jī)變量X～N(2,32),且P(X

15.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=2,AD=AA1=1,則點(diǎn)B1到平面D1BC的距離為_(kāi)_____.

四、解答題(本大題共6小題,計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

(1)求n的值;

(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在點(diǎn)P(1，3)處的切線方程為y=3x,且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極值.

(1)求f(x)的解析式;

(2)當(dāng)x∈[-3,1]時(shí)，求f(x)的最大值.

19.(本小題滿分12分)新冠肺炎疫情防控時(shí)期,各級(jí)各類(lèi)學(xué)校組織師生開(kāi)展了“停課不停學(xué)”活動(dòng).為了解班級(jí)線上學(xué)習(xí)情況,某位班主任老師進(jìn)行了有關(guān)調(diào)查研究.

(1)從班級(jí)隨機(jī)選出5名同學(xué),對(duì)比研究了線上學(xué)習(xí)前后兩次數(shù)學(xué)考試成績(jī),如下表:

線上學(xué)習(xí)前成績(jī)x1201101009080 線上學(xué)習(xí)后成績(jī)y145130120105100

求y關(guān)于x的線性回歸方程;

(2)針對(duì)全班45名同學(xué)(25名女生,20名男生)的線上學(xué)習(xí)滿意度調(diào)查中,女生滿意率為80%,男生滿意率為75%,填寫(xiě)下表,判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為線上學(xué)習(xí)滿意度與學(xué)生性別有關(guān).

滿意人數(shù)不滿意人數(shù)合計(jì) 男生 女生 合計(jì)

參考公式和數(shù)據(jù):

20.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,?PAC為正三角形,AC=2.

(1)求直線PA與平面PBD所成角的大小;

(2)若∠BPO=30°,求二面角A-PB-D的正切值.

21.(本小題滿分12分)某市舉辦了一次“詩(shī)詞大賽”,分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié).已知共有20 000名學(xué)生參加了預(yù)賽,現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本,得到如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

得分(百分制)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人數(shù)1020302515

(1)規(guī)定預(yù)賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)良,若從樣本中預(yù)賽成績(jī)不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人,求恰有1人預(yù)賽成績(jī)優(yōu)良的概率;

(2)由樣本數(shù)據(jù)分析可知,該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替),且σ2=361.利用該正態(tài)分布,估計(jì)全市參加預(yù)賽的全體學(xué)生中預(yù)賽成績(jī)不低于72分的人數(shù);

(3)預(yù)賽成績(jī)不低于91分的學(xué)生將參加復(fù)賽,復(fù)賽規(guī)則如下:

① 參加復(fù)賽的學(xué)生初始分都設(shè)置為100分；

② 參加復(fù)賽的學(xué)生可在答題前自己決定答題數(shù)量n,每一題都需要“花”掉一定分?jǐn)?shù)來(lái)獲取答題資格(即用分?jǐn)?shù)來(lái)買(mǎi)答題資格),規(guī)定答第k題時(shí)“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2k(k=1,2,…n);

③ 每答對(duì)一題得2分，答錯(cuò)得0分；

④ 答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績(jī).

已知學(xué)生甲答對(duì)每道題的概率均為0.75,且每題答對(duì)與否都相互獨(dú)立.若學(xué)生甲希望獲得最佳的復(fù)賽成績(jī),則他的答題數(shù)量n應(yīng)為多少?

參考數(shù)據(jù):若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ

(1)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.B；2.D；3.C；4.C；5.C；6.A；

7.B；8.D；9.A；

二、多項(xiàng)選擇題

10.AB； 11.BC； 12.BCD.

三、填空題

四、解答題

18.(1)f′(x)=3x2+2ax+b,由題意得

解得a=2,b=-4,c=4.故f(x)=x3+2x2-4x+4,經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.

=1.15，

=5.

所求線性回歸方程為y=1.15x+5.

(2)列表如下:

滿意人數(shù)不滿意人數(shù)合計(jì) 男生15520 女生20525 合計(jì)351045

H0:假設(shè)學(xué)生線上學(xué)習(xí)滿意度與學(xué)生性別無(wú)關(guān),計(jì)算得

因?yàn)镵2≈0.161<6.635，所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下，不可以認(rèn)為線上學(xué)習(xí)滿意度與學(xué)生性別有關(guān).

20.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以AC⊥BD,且O是AC,BD的中點(diǎn).

(1) 因?yàn)锳C⊥BD,AC⊥PO,PO?平面PBD,BD?平面PBD,PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD.

所以PO為PA在平面PBD內(nèi)的射影,∠APO即為直線PA與平面PBD所成的角.

在正三角形PAC中,PO是AC邊上的中線,所以∠APO=30°.

因?yàn)锳O⊥平面PBD,PB?平面PBD,所以AO⊥PB.

又AO∩OH=O,AO?平面AOH,HO?平面AOH,所以PB⊥平面AOH.

因?yàn)锳H?平面AOH,所以PB⊥AH；又OH⊥PB,所以∠AHO即為所求二面角A-PB-D的平面角.

所以，全市參加參賽的全體學(xué)生中成績(jī)不低于72分的人數(shù)大約為20 000×0.158 65=3 173.

(3)以隨機(jī)變量ξ表示甲答對(duì)的題數(shù),則ξ～B(n,0.75),且Eξ=0.75n.

記甲答完n題所加的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,則X=2ξ,EX=2Eξ=1.5n.

依題意，為了獲取答n題的資格,甲需要“花”掉的分?jǐn)?shù)為0.2×(1+2+3+…+n)=0.1(n2+n).

設(shè)甲答完n題的分?jǐn)?shù)為f(n),則f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9.

由于n∈N*,故當(dāng)n=7時(shí),f(n)取最大值104.9,即復(fù)賽成績(jī)的最大值為104.9.

所以，若學(xué)生甲期望獲得最佳復(fù)賽成績(jī),則他的答題量n應(yīng)該是7.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,a)單調(diào)減，在(a,+∞)單調(diào)增.

又x0ex0=1，得ln(x0ex0)=0，即lnx0+x0=0,故g(x0)=1-m.由g(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn)，得g(x0)=1-m<0,即m>1.

下面用零點(diǎn)存在性定理證明：當(dāng)m>1時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有2個(gè)零點(diǎn).

令φ(m)=em-2m(m>1),則φ′(m)=em-2>0,φ(m)在(1,+∞)單調(diào)增，得φ(m)>φ(1)=e-2>0.

又g(x0)=1-m<0,g(x)在(0,x0)連續(xù)且單調(diào)減，故g(x)在(0,x0)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，得m>1.