洞悉教材意圖 融入史學(xué)文化
——從高爾頓的視角看正態(tài)曲線的教學(xué)

王 響

(湖北省武漢二中廣雅中學(xué),430010)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017年版)(以下簡稱《標準》)指出:“數(shù)學(xué)教材為‘教’與‘學(xué)’活動提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容,是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源．”[1]由此可見教材在課堂教學(xué)中扮演了重要角色,它是實施教學(xué)的重要資源．但面對教材,不少教師往往“一筆帶過”或“棄之不用”,沒有真正領(lǐng)會到教材的編寫意圖,未能創(chuàng)造性地使用教材,從而也難以達成《標準》中所要求的教學(xué)目標．本文以人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3“正態(tài)分布”的教學(xué)為例,嘗試挖掘教材意圖,設(shè)計教學(xué)片斷,沿著高爾頓的腳步看正態(tài)曲線的抽象過程．

一、背景分析,揣摩意圖

正態(tài)分布最早是由棣莫弗(De Moivre)、斯特林(Stirling)等數(shù)學(xué)家在二項分布的極限分布中被發(fā)現(xiàn),后經(jīng)歐拉(Euler)、拉普拉斯(Lapalace)、勒讓德(Legendre)和高斯(Gauss)等人在天文學(xué)和測地學(xué)的數(shù)據(jù)測量誤差的研究中推廣使用的.他們都對此做出了卓越貢獻,特別是高斯基于誤差正態(tài)分布的最小二乘理論對后世的影響極大,因此正態(tài)分布也被冠名高斯分布．正態(tài)分布不僅是屬于概率的范疇,同時它也是統(tǒng)計的基石．在19世紀,比利時統(tǒng)計學(xué)家凱特勒對正態(tài)分布情有獨鐘，英國生物學(xué)家高爾頓受此影響，開始用統(tǒng)計的方法研究遺傳進化問題,并設(shè)計了一個釘板裝置把正態(tài)分布的性質(zhì)用于解釋遺傳現(xiàn)象,成為正態(tài)分布發(fā)展的又一推動力量[2]．

教材中通過介紹高爾頓釘板實驗,給出一個小球堆積圖,然后從頻率的角度畫出一個頻率分布直方圖,最后增加試驗次數(shù)得到正態(tài)曲線．通過簡短的文字以及三幅圖形來得到如此美麗的曲線,這引起了筆者的思考:一是編者為何通過這種方式引出正態(tài)曲線?其意圖是什么?從學(xué)生的角度是否能夠理解?二是與其他引入方式相比,教材有何優(yōu)勢?三是如何依托教材,在結(jié)合《標準》對教學(xué)資源要求充分利用的基礎(chǔ)上，讓本節(jié)課發(fā)揮出更大的育人價值？帶著這些疑問,筆者對正態(tài)分布的產(chǎn)生與發(fā)展進行了深入分析,總結(jié)出以下兩點意圖:其一，讓數(shù)學(xué)史文化融入數(shù)學(xué)課堂,感受數(shù)學(xué)文化的魅力.由于高斯等數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的理論性較高,不易于學(xué)生接受,因此本節(jié)課從高爾頓釘板裝置出發(fā),通過試驗的方式讓學(xué)生了解古人奇妙且艱辛的探索之路．其二，沿著高爾頓的腳步重演正態(tài)曲線的形成過程,讓學(xué)生經(jīng)歷從身高、體重等具體的數(shù)據(jù)到高爾頓釘板中直觀的小球堆積圖,再借助頻率分布直方圖,最后抽象出正態(tài)曲線的過程,使學(xué)生經(jīng)歷直觀表象抽象的過程,對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有重要價值．

基于以上背景,筆者嘗試以下三個教學(xué)片段的設(shè)計,旨在領(lǐng)略教材意圖,融入史學(xué)文化,為核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)做一點探討．

二、教學(xué)片段及設(shè)計意圖

片段1具體—直觀

高爾頓的背景簡介:十九世紀中葉,英國著名科學(xué)家——弗蘭西斯·高爾頓,受其表兄達爾文的《物種起源》的影響,開始了對生物遺傳進化問題的研究．研究中他發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象:比如某地區(qū)同一年齡人的身高、體重數(shù)據(jù)中,特別高或特別矮的人都比較少;特別輕或特別重的人也都較少!這樣的分布規(guī)律背后,其決定因素究竟是什么呢?經(jīng)過深入分析他發(fā)現(xiàn)：這些數(shù)據(jù)的分布與高斯等數(shù)學(xué)家研究的正態(tài)分布很吻合．為了更加深入研究這類問題,他設(shè)計了一個釘板裝置(高爾頓釘板)來模擬正態(tài)分布,并將試驗結(jié)果呈現(xiàn)得非常直觀．

(高爾頓釘板介紹:在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當?shù)目障蹲煌ǖ?前面擋有一塊玻璃．讓一個小球從釘板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,當小球碰到小木塊時從左邊落下與從右邊落下的機會相等,碰到下一木塊又是如此,最后落入底板中的某一球槽內(nèi)．)

活動1高爾頓釘板試驗

師：(提問)任意放入一個球,這個球落入哪一個球槽事先是否能夠確定?

眾生:不能確定!

師：(追問)小球與某個小木塊碰撞后,會影響與下一個小木塊的碰撞結(jié)果嗎?

眾生:不會,小球與每一個小木塊碰撞后向左或向右落下的機會均等.

師:由此我們知道每一個小球在下落過程中與眾多小木塊發(fā)生碰撞,每次碰撞的結(jié)果不受上一次碰撞的影響,碰撞后小球向左或向右下落的機會均等,因此小球的堆積高度是眾多隨機碰撞的結(jié)果．

師:現(xiàn)在讓我們聚焦在小球堆積圖的形狀上,觀察當小球數(shù)量增加時,堆積圖會呈現(xiàn)出什么樣的特點呢(圖1)?

(師生合作模擬釘板試驗,并呈現(xiàn)出試驗結(jié)果,如圖．n=500,800,1 000,2 000,3 000,5 000,10 000.)

師:同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律呢?

生1:這些球槽中都是中間球槽落入的小球多,兩邊球槽落入的小球少,左右基本對稱．

師:對,和同學(xué)們前面猜想的一致,還有沒有呢?

生2:隨著小球數(shù)增加,后面四幅圖基本一樣的．

師:也就是說球槽中小球的堆積形狀都呈現(xiàn)出中間高,兩邊低的特點,并且隨著次數(shù)的增加,上述特征越發(fā)凸顯和穩(wěn)定．

設(shè)計意圖不少教師都是從身高、體重或鋼管內(nèi)徑的數(shù)據(jù)出發(fā),畫出頻率分布直方圖,最后得到正態(tài)曲線,但數(shù)據(jù)不隨機因素眾多且組數(shù)有限,是否對于每一組數(shù)據(jù)都有這樣的情形,學(xué)生可能會產(chǎn)生疑惑,也無法反映出科學(xué)家們努力探索的過程．而通過高爾頓釘板試驗就可以將身高體重的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為小球落下時所對應(yīng)的數(shù)據(jù),將具體身高、體重等數(shù)據(jù)的分布抽象為直觀形象的小球堆積圖,既可以模擬多次的獨立重復(fù)試驗,又可以形象直觀地表示出分布規(guī)律,讓學(xué)生直觀地感知小球堆積圖“中間高兩邊低”的特點，也驗證了學(xué)生試驗前的猜想,使學(xué)生參與到課堂中來．

又根據(jù)概率的統(tǒng)計學(xué)定義:概率是頻率的穩(wěn)定值(對于釘板實驗,如果隨著試驗次數(shù)的增加,小球落在某個球槽中的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù),那么這個常數(shù)就是小球落在該球槽概率的近似值),來啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生還需將這個堆積形狀規(guī)律轉(zhuǎn)化為頻率規(guī)律,才有可能求出相應(yīng)的概率．

片段2直觀—表象

師:球槽中小球的堆積高度反映了什么?

生3:頻數(shù)分布規(guī)律.

師:如何利用所學(xué)的知識進一步研究小球的分布情況呢?大家通過小球的堆積圖聯(lián)想到了什么?

生4:頻率分布直方圖．

活動2畫出頻率分布直方圖(圖2)

(大部分學(xué)生都能通過列出頻率分布表,然后以球槽編號為橫坐標,以小球落入某個球槽中的頻率/組距為相對應(yīng)的縱坐標,畫出頻率分布直方圖,個別學(xué)生無法下手．)

師:觀察這個圖,你有什么發(fā)現(xiàn)?

生5:與球槽中小球的堆積圖形狀類似,其頻率分布直方圖也是中間高兩邊低,左右基本對稱,形狀大小基本穩(wěn)定．

設(shè)計意圖通過層層設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生從小球堆積圖聯(lián)想到頻率分布直方圖,動手畫出直方圖的過程,能使學(xué)生對服從正態(tài)分布的變量特征有更深刻的體會,并且從中培養(yǎng)學(xué)生動手操作、數(shù)據(jù)分析的能力．

從直觀的小球堆積圖到更加準確、形象的頻率分布直方圖．中間高兩邊低、左右對稱的正態(tài)曲線的特征已初露原形,使學(xué)生進一步加深了對正態(tài)分布特征的理解．但是在數(shù)學(xué)中僅有這樣直觀的表示還不夠,理想的是能用數(shù)學(xué)式子表示這個規(guī)律,從而為正態(tài)曲線的抽象做下鋪墊．

片段3表象—抽象

師:大家回顧一下必修3的內(nèi)容,要想讓樣本的頻率分布直方圖更好地反映總體的分布規(guī)律,我們是怎么做的?

生6:使小球數(shù)逐漸增加,組距不斷縮?。?/p>

活動3幾何畫板演示

師:通過計算機模擬試驗,我們發(fā)現(xiàn)了什么?

生7:這個直方圖的輪廓由一條折線逐漸變成了一條光滑的曲線．

師:進一步抽象．我們將這條曲線抽象出來,放在平面直角坐標系中,大家發(fā)現(xiàn)這條曲線具有什么樣的特點呢(圖3)?

生8:中間高,兩邊低,左右基本對稱．

師:非常好!我們就把這樣一條曲線叫做正態(tài)曲線,由于這條曲線的外形像一個倒扣著的鐘,所以我們也稱他為鐘形曲線．

設(shè)計意圖從舊知到新知,學(xué)生經(jīng)歷從頻率分布直方圖到正態(tài)曲線的抽象過程,更進一步從圖象的角度直觀地理解“形如鐘形,中間高、兩邊低,左右對稱”的特點,借助幾何畫板讓學(xué)生直觀形象地感受從離散型隨機變量到連續(xù)型隨機變量的過渡．

三、結(jié)束語

隨著新課程標準的頒布,各類教材也在陸續(xù)編排出版.作為課程標準的載體,教師要善于利用教材,挖掘教材深意,充分發(fā)揮出教材中教學(xué)情境、例題與習(xí)題、數(shù)學(xué)活動的作用,理解其設(shè)置意圖,讀懂其中所蘊含的數(shù)學(xué)知識與能力、數(shù)學(xué)思想和方法,真正用好教材而不是教教材、照搬教材,更不是不要教材．同時也應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的特點,創(chuàng)造性地去使用教材,通過啟發(fā)引導(dǎo)讓學(xué)生學(xué)會自主學(xué)習(xí),使學(xué)生核心素養(yǎng)的提升落實到每一節(jié)課堂中去．