構(gòu)造函數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

趙文慶 陸萬(wàn)順

摘?? 要：基于2021-2022年8套高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷，從考查知識(shí)、試題特點(diǎn)和命題導(dǎo)向三個(gè)方面對(duì)試卷中應(yīng)用到構(gòu)造函數(shù)法的試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

基于高考在高中教學(xué)中的導(dǎo)向作用，提出在函數(shù)教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，注重構(gòu)造思想的滲透.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù)法；數(shù)學(xué)解題；高考數(shù)學(xué)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632???????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A???????? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）07-0041-04

1 問(wèn)題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）指出：“函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線(xiàn).”然而，函數(shù)具有的高度抽象性和形式化等特點(diǎn)，增加了學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)理解的困難，使得學(xué)生難以把握變量之間的關(guān)系以及建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題.

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，構(gòu)造法因其獨(dú)特的思維方式而備受關(guān)注，是一種常用的解題方法.所謂構(gòu)造法是指依據(jù)常規(guī)思維或解題方法解決某些問(wèn)題存在困難時(shí)，能夠從題設(shè)條件以及結(jié)論的性質(zhì)和特征等新角度出發(fā)，把握題設(shè)條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，以頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)為支架，構(gòu)造出滿(mǎn)足題設(shè)條件或結(jié)論并且能夠展現(xiàn)出原問(wèn)題隱含關(guān)系的新的數(shù)學(xué)對(duì)象，并借助其他數(shù)學(xué)工具快速解決問(wèn)題的方法.構(gòu)造法伴隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生，中國(guó)的《九章算術(shù)》和西方的《幾何原本》中含有大量構(gòu)造思想，在數(shù)學(xué)發(fā)展的起始階段，存在著大量的直觀經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)都是需要加以總結(jié)和提高的，也就是在此時(shí)，構(gòu)造方法體現(xiàn)出了極強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，所以無(wú)論東方還是西方，構(gòu)造法都有著極其深遠(yuǎn)的影響.

2 試卷分析

主要采用文本分析的方法對(duì)2021-2022兩年的高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷（包括2021年全國(guó)理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷以及2022年全國(guó)理科甲、乙卷和新高考Ⅰ、Ⅱ卷共8套試卷，下文稱(chēng)全國(guó)卷）進(jìn)行定量統(tǒng)計(jì)和定性分析，明晰構(gòu)造函數(shù)法在高考試卷中相關(guān)試題的分值及分值占比，呈現(xiàn)試題的特點(diǎn)以及命題導(dǎo)向，根據(jù)研究的實(shí)際呈現(xiàn)結(jié)果為構(gòu)造函數(shù)法的教學(xué)提出合理可行的建議.

2.1 試卷總體分析

由表1和表2可知，與函數(shù)有關(guān)的試題在考查函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，更側(cè)重于構(gòu)造思想方法的滲透.從考查總分來(lái)看，全國(guó)卷對(duì)構(gòu)造函數(shù)法的考查總分穩(wěn)定在10-20之間，選填題和解答題都有涉及考查，以中等及以上難度的題目為主.

從考查知識(shí)來(lái)看：試題考查的知識(shí)覆蓋必修和選修函數(shù)這一主題的各個(gè)章節(jié)，包括：函數(shù)的概念和性質(zhì)（單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性等）以及一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系等；此外，由于函數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的工具性，在圓錐曲線(xiàn)（橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的幾何性質(zhì)及最值問(wèn)題、隨機(jī)變量的分布列及期望、錐體與球的綜合問(wèn)題、等差數(shù)列的證明、不等式的范圍等相關(guān)問(wèn)題的解決過(guò)程中，也可能需要構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)作為解決問(wèn)題的工具.

從試題類(lèi)型來(lái)看：對(duì)選填題的統(tǒng)計(jì)表明，8套試卷中共考查了10道選填題，大多位于選填題的中間或壓軸位置，著重考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)或是以構(gòu)造出的函數(shù)作為工具解決圓錐曲線(xiàn)、錐體與球等相關(guān)問(wèn)題，對(duì)于解答題的統(tǒng)計(jì)表明，8套試卷中共考查了8道解答題，一般出現(xiàn)在壓軸題或次壓軸題的位置，主要在導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)的考查中體現(xiàn)構(gòu)造法的思想解決方程根的問(wèn)題、證明不等式、極值問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、參數(shù)取值范圍問(wèn)題. 此外，在新高考試卷中出現(xiàn)了通過(guò)構(gòu)造合適的函數(shù)來(lái)證明隨機(jī)變量的期望、等差數(shù)列的證明.由此可以看出，高考試卷在選填題和解答題上都側(cè)重對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考察，解答題還注重導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系.考查知識(shí)明確，考查題型穩(wěn)定，考查難度偏難，偶有難度減小現(xiàn)象，試題對(duì)函數(shù)內(nèi)容的考查逐漸深入，注重學(xué)科知識(shí)的融合性.

2.2 試題特點(diǎn)分析

2.2.1 重視基礎(chǔ)知識(shí)的考查

全國(guó)卷作為使用范圍最廣的高考試卷，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本經(jīng)驗(yàn)、基本技能和基本方法.試題在教材的基礎(chǔ)上推陳出新，對(duì)教材進(jìn)行了激活，體現(xiàn)了命題源于教材又高于教材的特點(diǎn).通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新變式或拓展，賦予時(shí)代特色，體現(xiàn)全國(guó)卷的設(shè)計(jì)理念，例如2022年新高考Ⅰ卷22題第（2）問(wèn)對(duì)等差數(shù)列的證明，體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù)，側(cè)重對(duì)學(xué)生基本知識(shí)的考查.

2.2.2 重視創(chuàng)新能力的考查

《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》提出：構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象. 例如2021年新高考Ⅱ卷第14題，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)構(gòu)造符合題目要求的函數(shù)解析式，著重考查學(xué)生的思維靈活性，試題形式為開(kāi)放性試題，有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的考查，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)試卷的選拔功能.

2.3 命題導(dǎo)向分析

以試題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，聯(lián)系試題特點(diǎn)，繼續(xù)對(duì)命題導(dǎo)向進(jìn)行分析探討，具體如下.

2.3.1 考查知識(shí)綜合化

結(jié)合表1和表2可以看出，對(duì)構(gòu)造函數(shù)這一方法考查總分占比穩(wěn)定.全國(guó)卷中對(duì)單一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查的試題明顯減少，重視知識(shí)綜合.隨著文理不分科的實(shí)行，試題考查有著綜合化的趨勢(shì)，重視函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識(shí)在試題中的融合考查；強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)內(nèi)容和主干知識(shí)，關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系；素養(yǎng)考查上，側(cè)重以題目中已知元素作為原件進(jìn)行構(gòu)造，側(cè)重創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)以及邏輯思維能力的發(fā)散.

2.3.2 考查題型多樣化

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》明確指出“四層”為高考的考查內(nèi)容，即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”，“四翼”為高考的考查要求，即從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的角度對(duì)素質(zhì)教育的目標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià). 試題的答案不再是唯一的，開(kāi)放性試題和結(jié)構(gòu)不良試題登上高考試卷舞臺(tái)，要求學(xué)生具備靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.如2021年新高考Ⅱ卷14題，開(kāi)放性試題為學(xué)生提供了更多展示空間、發(fā)散思維、綜合解答問(wèn)題和探究創(chuàng)新的可能.開(kāi)放性試題是考查學(xué)生核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的重要方式，也是綜合性和創(chuàng)新性的集中體現(xiàn).

3 構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用評(píng)析

函數(shù)在高考試卷中占有重要地位，運(yùn)用一些傳統(tǒng)方法解決問(wèn)題遇到困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)變解題思路，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)形式的函數(shù)模型達(dá)到解決問(wèn)題的目標(biāo).

3.1 構(gòu)造函數(shù)比較大小

例1?? （2022年新高考Ⅰ卷7）設(shè)a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，則（????? ）.A.a

C.c

比較大小問(wèn)題經(jīng)常用到冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等幾類(lèi)常見(jiàn)的基本初等函數(shù)，綜合應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算，通過(guò)構(gòu)造相關(guān)函數(shù)，利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，形象直觀地處理相關(guān)的比較大小問(wèn)題，可以很好地考查函數(shù)與方程思想、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，以及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、比較大小等知識(shí)，破解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵：一是細(xì)審題，如本題，題眼“a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9”，能發(fā)現(xiàn)它們的共性；二是巧構(gòu)造，即會(huì)構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，注意活用導(dǎo)數(shù)法或初等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；三是會(huì)放縮，即會(huì)利用放縮法比較大小.

3.2 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

例2?? （2021年新高考Ⅰ卷22）已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，如何構(gòu)造函數(shù)以及構(gòu)造什么形式的函數(shù)是一個(gè)難點(diǎn)，并且滿(mǎn)足所構(gòu)造的函數(shù)必須是單調(diào)函數(shù).本題作為2021年新高考Ⅰ卷壓軸大題，以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，綜合考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及構(gòu)造函數(shù)證明不等式.以函數(shù)作為工具解決不等式問(wèn)題時(shí)，需要深刻地認(rèn)識(shí)各類(lèi)初等函數(shù)的具體特征，即一般的基本初等函數(shù)y=f（x）及其反函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖象變換等），第（2）問(wèn)中的不等式證明，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新能力進(jìn)行了深層次的考查，需要注意培養(yǎng)學(xué)生理性思維和數(shù)學(xué)探索等素養(yǎng).

3.3 構(gòu)造函數(shù)求值或參數(shù)范圍

例3?? （2021年全國(guó)甲卷21）已知a>0且a≠1，函數(shù)f（x）=xaax（x>0）.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

本題作為壓軸大題，主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及方程根的問(wèn)題中的應(yīng)用，第（2）問(wèn)中首先將曲線(xiàn)y=f（x）與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程lnxx=lnaa有兩個(gè)不同的解，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnxx，通過(guò)求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而有g(shù)（x）max=1e.又g（1）=0，從而得到0

3.4 根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造具體函數(shù)

例4?? （2021年新高考Ⅱ卷14）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx=.

（1）f（x1x2）=f（x1）f（x2）；

（2）當(dāng)x∈0，+∞時(shí)，f ′（x）>0；

（3）f ′（x）是奇函數(shù).

本題要求學(xué)生從已有條件出發(fā)，列舉出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù).看似是一個(gè)“舉例問(wèn)題”，但其本質(zhì)上仍是一個(gè)構(gòu)造問(wèn)題，構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)f（x）符合題目中的要求、性質(zhì)等信息.由于答案開(kāi)放，所以在邏輯思維的靈活性方面起到了很好地考查作用，同時(shí)也為不同層次、不同水平的學(xué)生提供充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間.

通過(guò)以上對(duì)構(gòu)造函數(shù)法例題的分析可以看到，構(gòu)造法確實(shí)是一種解決函數(shù)問(wèn)題的好途徑，當(dāng)使用常規(guī)思維方法無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，合理構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的圖象，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)，直觀簡(jiǎn)單明了地解決問(wèn)題，啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思維，開(kāi)拓學(xué)生解題思路，同時(shí)也提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，起到事半功倍、出奇制勝的效果.

4 研究啟示

4.1 加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，就是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程.張奠宙先生認(rèn)為數(shù)學(xué)本質(zhì)是“數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn).”從概念上看，函數(shù)是一類(lèi)特殊的映射，其本質(zhì)是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么學(xué)生除了要理解“對(duì)應(yīng)”的思想，還要準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)集合、定義域、值域等， “函數(shù)思想”就是以此為基礎(chǔ)建立的，通過(guò)解決相關(guān)的問(wèn)題，學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，提出質(zhì)疑，認(rèn)真反思，逐步加強(qiáng)對(duì)函數(shù)概念的理解，學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)了對(duì)應(yīng)思想后，才能更好地理解函數(shù)的本質(zhì)特征，在解題過(guò)程中把握函數(shù)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4.2 注重構(gòu)造思想的滲透

構(gòu)造法的應(yīng)用很多，針對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題可以采用不同的構(gòu)造方法，但并不是所有的問(wèn)題都能夠通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型得以有效解決.在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)注意循序漸進(jìn)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行構(gòu)造思想的滲透，在潛移默化中增加對(duì)學(xué)生構(gòu)造思想的體驗(yàn).運(yùn)用構(gòu)造法解決問(wèn)題有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，在建構(gòu)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行整合重組，構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).運(yùn)用構(gòu)造思想解決問(wèn)題是一個(gè)綜合了抽象思維、形象思維、邏輯思維等多種思維成分的復(fù)雜思維過(guò)程，這一過(guò)程同時(shí)也是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的過(guò)程.

參考文獻(xiàn)：

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［責(zé)任編輯：李?? 璟］

收稿日期：2022-12-05

作者簡(jiǎn)介：趙文慶（1998-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究；

陸萬(wàn)順（1981-），男，寧夏彭陽(yáng)人，碩士，副教授，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：寧夏自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2022AAC03329）;寧夏高等學(xué)校科學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：NXG2022098）