數(shù)學(xué)廣角“鴿巢問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)

丁海生

觀察人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)每?jī)?cè)教材中都有一個(gè)單元是關(guān)于“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，但它的作用是什么呢？為什么教材要這樣設(shè)置呢？“數(shù)學(xué)廣角”為什么不直接叫做“數(shù)學(xué)單元應(yīng)用”呢？

其實(shí)仔細(xì)閱讀后可以發(fā)現(xiàn)在這一部分的課題中，教材著重向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想及方法，使學(xué)生深入理解本冊(cè)教材中抽象的數(shù)學(xué)理念、公式、定理，并加以綜合應(yīng)用，將數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際生活相聯(lián)系，使數(shù)學(xué)原理不再是束之高閣的真理，而是平易近人的解決方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文將以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”單元的“鴿巢問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)為例，觀察“數(shù)學(xué)廣角”單元在教學(xué)中發(fā)揮的獨(dú)特作用。

一、教學(xué)目標(biāo)

★初步認(rèn)識(shí)“鴿巢問(wèn)題”；通過(guò)觀察、比較、判斷、歸納等方法，經(jīng)歷“鴿巢問(wèn)題”的探究過(guò)程；理解幾個(gè)不同原理雖然使用的名字不同，但是其本質(zhì)相同。

★明白“鴿巢問(wèn)題”的推導(dǎo)過(guò)程，掌握“鴿巢問(wèn)題”的一般形式；能夠應(yīng)用“鴿巢問(wèn)題”解決實(shí)際問(wèn)題。

★通過(guò)“鴿巢問(wèn)題”的靈活運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)推理有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性和科學(xué)性有更深的體會(huì)；感受數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，滲透數(shù)學(xué)的模型思想。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

理解“鴿巢問(wèn)題”的具體內(nèi)容，掌握先“平均分”，再分配的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：

學(xué)生理解“總有”“至少”詞語(yǔ)的意義，知道數(shù)量與種類之間的聯(lián)系；建立鴿子與鳥巢的數(shù)學(xué)模型。

三、教材分析

“鴿巢問(wèn)題”中包含著一個(gè)重要而又基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用其中的原理可以解決很多問(wèn)題，本節(jié)課學(xué)生初步認(rèn)識(shí)這一問(wèn)題中蘊(yùn)含的定理，了解定理的由來(lái)，通過(guò)幾個(gè)直觀的數(shù)學(xué)情境，明白重點(diǎn)詞匯下的組合分配方式，在理解的基礎(chǔ)上，對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題加以“模型化”，應(yīng)用“鴿巢問(wèn)題”解決。在模型的不斷建立過(guò)程中，加深對(duì)“鴿巢問(wèn)題”的理解應(yīng)用，從而在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中可以拓展應(yīng)用。

四、學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)“平均分”有一定的了解?！皵?shù)學(xué)是思維的體操”，“鴿巢問(wèn)題”就是學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)推理得出結(jié)論的過(guò)程。但由于“鴿巢問(wèn)題”關(guān)鍵是一個(gè)抽象的存在性問(wèn)題，學(xué)生理解易存在偏差，故教師教學(xué)中要把握實(shí)際與抽象轉(zhuǎn)換的界限，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)原理，并建立起自己的思維模型，這具有一定的挑戰(zhàn)性。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入主題

師：同學(xué)們，老師家里有兩個(gè)蘋果，但是卻有四個(gè)家人需要分享蘋果，應(yīng)該怎么分配呢？

生：我知道！可以將蘋果對(duì)半切開，然后就可以進(jìn)行平均分配了。（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出“平均分”的概念）

師：看來(lái)大家都很聰明呢！那如果老師需要分配的物品不能拆分呢，現(xiàn)在老師家里養(yǎng)了四只鴿子，需要將它們放在三只鳥籠里，你還會(huì)分配嗎？

（教師通過(guò)“平均分”概念導(dǎo)入，但是與之前平均分配問(wèn)題不同的是本節(jié)課中的物品不可拆分，引導(dǎo)學(xué)生從平均分配的狀態(tài)進(jìn)入推理分配的情境）

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)兩個(gè)小的生活情境導(dǎo)入，第一情境采用可以拆分的物品，學(xué)生可以采用平均分的方式進(jìn)行分配，第二個(gè)情境采用不可拆分物品進(jìn)行提問(wèn)，二者形成對(duì)比，學(xué)生借此思考在不同物品狀態(tài)下的推理。導(dǎo)入今天的新課，不可拆分物品下的分配狀態(tài)。）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，引出問(wèn)題

師：看來(lái)同學(xué)們對(duì)“鴿子的家在哪里”都很感興趣，那現(xiàn)在我們一起動(dòng)手操作模擬一下這個(gè)情境。

教師指導(dǎo)學(xué)生利用身邊力所能及的物品模擬情境。用鉛筆替代鴿子，筆筒代替鳥籠，以小組為單位，嘗試將物品進(jìn)行分配。

師：如果將四支鉛筆放入三個(gè)筆筒，你會(huì)怎么分配呢？

（引導(dǎo)學(xué)生再次明確探究的問(wèn)題，關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)，不單單是某個(gè)物體或者情境，而是類似情境需要解決問(wèn)題的遷移）

（設(shè)計(jì)意圖：指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行情境的模擬，為之后的動(dòng)手操作作準(zhǔn)備，也使學(xué)生了解到這個(gè)問(wèn)題并不是僅僅只存在特定情境下，而是通過(guò)不同的生活情境總結(jié)出的一類問(wèn)題的特性。）

（三）自主探究，解決問(wèn)題

學(xué)生探究，分小組反饋成果。

（學(xué)生操作，教師巡視指導(dǎo)）

1.直觀列舉

這一組學(xué)生認(rèn)為鴿子只有四只，數(shù)量不多，可以將所有的可能情況列出再進(jìn)行探究。

他們將四支鉛筆進(jìn)行分配，分配方式有四種：

第一種，所有筆筒先進(jìn)行平均分配，采用之前所學(xué)的除法算式進(jìn)行列式，發(fā)現(xiàn)余下一支鉛筆，而這只鉛筆只能隨機(jī)分配給其中的一個(gè)筆筒，才能保證所有的鉛筆都能有筆筒放置。

第二種，筆筒的大小并未確定，這組學(xué)生認(rèn)為可以直接都放進(jìn)一個(gè)筆筒，這樣就不存在分配的問(wèn)題。

第三種，在上一組學(xué)生的影響下發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)筆筒處于空置狀態(tài)，如果只有一個(gè)筆筒空置的話，我們就可以將四支鉛筆平均放入兩個(gè)筆筒中。

第四種，有一個(gè)筆筒空置的情況時(shí)，我們可以將其余兩個(gè)筆筒中的一個(gè)放入三支，一個(gè)放入一支，也不失為一種分配方式。

在進(jìn)行完情況的模擬后，他們還進(jìn)行了作圖列舉，如圖1。

2.理論推理

另一組學(xué)生則是直接進(jìn)行思考，然后根據(jù)一種情況進(jìn)行推理。

首先他們還是維持“平均分”的思想進(jìn)行分配，發(fā)現(xiàn)鴿子和鳥籠如果是一一對(duì)應(yīng)的狀態(tài)，那三個(gè)筆筒中必有三支鉛筆。可是現(xiàn)在我們手中多出一支鉛筆，所以總有一個(gè)筆筒至少有兩支鉛筆。

（設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)學(xué)生采用兩種不同的分配方式進(jìn)行分配，學(xué)生的思維是發(fā)散的，而且他們的想法并不會(huì)受到思維的拘束，所以教師要針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的各種情況進(jìn)行模擬，就像本文中學(xué)生探究的“直觀列舉法”就是學(xué)生最常采用的方式，在此基礎(chǔ)上學(xué)生也有可能跳出“平均分”的概念進(jìn)行分配。教學(xué)設(shè)計(jì)既要考慮學(xué)生的既有水平，也要關(guān)注學(xué)生發(fā)展水平的進(jìn)步。）

（四）構(gòu)建模型，總結(jié)方法

師：同學(xué)們的想法非常多呢！在同學(xué)們的表述中出現(xiàn)了兩個(gè)特別的詞匯“總有”和“至少”，有沒(méi)有同學(xué)能結(jié)合你們兩組的想法談一談這兩個(gè)詞在其中的含義呢？

（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)列舉法解釋詞匯含義）

生：通過(guò)列舉法可以發(fā)現(xiàn)“總有”是在所有情況中這個(gè)特性是固定不變的，“至少”則是在問(wèn)題中有多余的數(shù)量需要我們劃分，在調(diào)整之后分得的數(shù)量。

師：同學(xué)們的觀察很細(xì)心，但是如何找到這個(gè)多出來(lái)的數(shù)量或者“至少數(shù)”呢？

生：可以平均分，多余的數(shù)量再加上平均分的數(shù)量就是“至少數(shù)”。

師：看來(lái)同學(xué)們都有自己的想法呢？但是老師想問(wèn)問(wèn)大家如果老師手中有100根鉛筆需要分配到99支筆筒里，你們的方法還能使用嗎？

師：有的同學(xué)面露難色，是的，在數(shù)量龐大的物品分配中，我們使用列舉法時(shí)情況會(huì)非常復(fù)雜，所以一般我們會(huì)采用“平均分”的方式進(jìn)行劃分。那“平均”后我們具體需要怎樣調(diào)整呢？

（引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題解決步驟）

生：我們需要先找到這個(gè)“至少數(shù)”，可以通過(guò)列有余數(shù)的除法計(jì)算，得出多余的數(shù)量，再將多余數(shù)量調(diào)整。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生根據(jù)之前的問(wèn)題探究操作解決“總有”和“至少”的情況，再找到“至少數(shù)”，最后通過(guò)龐大數(shù)量的物品分配，得出使用先“平均分”再調(diào)整的方式解決問(wèn)題更為廣泛和簡(jiǎn)捷。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題解決步驟，使學(xué)生聯(lián)想到應(yīng)用有余數(shù)的除法算式的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題。）

（五）運(yùn)用模型，綜合實(shí)踐

師：同學(xué)們的思路非常清晰，那這種思路是否能在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用操作呢？讓我們一起來(lái)試一試。（教師出示問(wèn)題情境）

問(wèn)題1：把7本書放進(jìn)3個(gè)抽屜，不管怎么放，總有1個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。為什么？

根據(jù)之前的思路進(jìn)行“平均分”，列出式子。

7÷3=2（本）……1（本）

得到多余數(shù)量為1本，下一步我們就需要將這一部分多余的數(shù)量放入抽屜，這樣就會(huì)導(dǎo)致有一個(gè)抽屜里的數(shù)量由之前的2本增加到現(xiàn)在的3本，所以總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)3本書。

師：同學(xué)們的操作非常順暢，但是如果書籍的數(shù)量增多，情況會(huì)發(fā)生改變嗎？一起動(dòng)手算一算10本書時(shí)的情況。

10÷3=3（本）……1（本）

10本書時(shí)，總有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)4本書?？梢园l(fā)現(xiàn)這個(gè)至少的數(shù)量就是我們算式里的“商+1”。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在之前初步得出“鴿巢問(wèn)題”解決方法的基礎(chǔ)上實(shí)踐應(yīng)用，再次拓展提升，發(fā)現(xiàn)“鴿巢問(wèn)題”的第二種類型，對(duì)之前的方法進(jìn)一步細(xì)化、優(yōu)化。）

（六）回顧知識(shí)，歸納原理

師：同學(xué)們，回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你們還記得我們做了什么嗎？

生：我們今天提到了一個(gè)新的問(wèn)題“鴿巢問(wèn)題”，但是其并不只是鴿與巢的問(wèn)題，而更像是一種物品分配問(wèn)題，并且關(guān)鍵是對(duì)推理能力的鍛煉，應(yīng)用一些數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)事件發(fā)生情況進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的推理。

師：今天我們學(xué)習(xí)了兩種“鴿巢問(wèn)題”發(fā)生的類型，你還記得有什么嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生回顧問(wèn)題的同時(shí)進(jìn)行總結(jié)）

師生總結(jié)“鴿巢問(wèn)題”的兩種類型：

如果有m+1個(gè)數(shù)量的物品放入m個(gè)格子中，則總有一個(gè)格子至少有2個(gè)數(shù)量的物品。

如果有多于kn個(gè)數(shù)量的物品放入n個(gè)格子中，則總有一個(gè)格子中至少有（k+1）個(gè)數(shù)量的物品，其中k為正整數(shù)。

在解決這兩種問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都需要根據(jù)先“平均分”再調(diào)整的思路進(jìn)行探究，列出有余數(shù)的除法算式，知道“至少數(shù)”為算式中的“商+1”。

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)回顧，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下總結(jié)出“鴿巢問(wèn)題”的兩種類型，知道解決問(wèn)題的思路及方法，加深對(duì)這一類問(wèn)題模型的認(rèn)識(shí)，鞏固應(yīng)用方法。從問(wèn)題開始，到問(wèn)題解決結(jié)束。同時(shí)幫助學(xué)生建立邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生自主總結(jié)模型問(wèn)題的能力。）

六、教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)第一步以學(xué)生日常中所見的小事開啟，加強(qiáng)實(shí)際生活與數(shù)學(xué)推理之間的聯(lián)系，從“可拆分物體”引出“平均分”概念，為之后的首步思路作準(zhǔn)備；第二步以“鴿子”與“鳥籠”的問(wèn)題引出本課教學(xué)內(nèi)容，這個(gè)“鴿巢問(wèn)題”的題目也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的生活化，從生活問(wèn)題出發(fā)，探究數(shù)學(xué)思維；第三步小組討論解決課堂開始的問(wèn)題，得到解決思路，動(dòng)手操作，得出結(jié)論；第四步在總結(jié)方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入探究不同問(wèn)題類型下的解決方式，得出結(jié)論；第五步回顧總結(jié)，將遇到的“鴿巢問(wèn)題”總結(jié)出問(wèn)題模型，同時(shí)再次確定問(wèn)題解決的思路和方式。

在教學(xué)時(shí)，需要注意“鴿巢問(wèn)題”不只應(yīng)用于實(shí)際的物品分配中，也可以在幾何問(wèn)題、數(shù)字整除關(guān)系、“連續(xù)時(shí)間”問(wèn)題、“人的相識(shí)”問(wèn)題等多個(gè)數(shù)學(xué)場(chǎng)景中出現(xiàn)。

編輯：溫雪蓮