經(jīng)歷“三重境”，抵達(dá)“結(jié)構(gòu)化”

施婭林

摘要：《長(zhǎng)方形和正方形的面積復(fù)習(xí)》一課，是長(zhǎng)方形和正方形的面積學(xué)習(xí)的“收官之作”，承載著建構(gòu)清晰、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要功能；又是其他圖形面積與體積學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)?；诖?，立足結(jié)構(gòu)化進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生比較易混淆知識(shí)，明晰認(rèn)知結(jié)構(gòu)；整合碎片化知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；立足轉(zhuǎn)化思想，生長(zhǎng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到清晰、完整而開放的境界。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)化;復(fù)習(xí)課；認(rèn)知結(jié)構(gòu)

*本文系江蘇省南京市教育科學(xué)規(guī)劃2021年度第十二期個(gè)人課題“結(jié)構(gòu)化視角下第一學(xué)段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)策略的研究”（編號(hào)：Ed4506）的階段性研究成果。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形和正方形的面積”復(fù)習(xí)課，是小學(xué)階段長(zhǎng)方形和正方形知識(shí)學(xué)習(xí)的“收官之作”，又是其他平面圖形的面積與立體圖形的體積和表面積學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，尤為重要。教材在三年級(jí)上冊(cè)編排了周長(zhǎng)的含義和長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)計(jì)算等內(nèi)容；在三年級(jí)下冊(cè)編排了面積的含義和長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算等內(nèi)容。由于周長(zhǎng)和面積的測(cè)量對(duì)象都是圖形（長(zhǎng)方形和正方形），兩者極易混淆。另外，面積指向“二維的面”，這對(duì)學(xué)生來說比較抽象，難以理解。而學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的內(nèi)化程度會(huì)直接影響后續(xù)其他平面圖形面積計(jì)算以及“三維的體”知識(shí)的學(xué)習(xí)。于是，筆者嘗試帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷清晰、完整、開放的“三重境”，抵達(dá)知識(shí)、思維、認(rèn)知的“結(jié)構(gòu)化”。

一、教學(xué)過程

（一）清晰：比較易混淆知識(shí)，明晰認(rèn)知結(jié)構(gòu)

師回想一下，這學(xué)期我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形的什么知識(shí)？

生面積。

師對(duì)。說到面積，馬上想到和它最容易混淆的是什么？

生周長(zhǎng)。

師既然容易混淆，在復(fù)習(xí)的時(shí)候應(yīng)該怎樣做呢？

生找兩者之間有什么聯(lián)系和區(qū)別。

生可以把面積和以前學(xué)的周長(zhǎng)進(jìn)行比較。

師“比較”這個(gè)詞用得特別好！我們?cè)趶?fù)習(xí)的時(shí)候，可以把易混淆的知識(shí)進(jìn)行比較。這是常用的一種復(fù)習(xí)方法，也叫對(duì)比。接下來，你們打算從哪幾個(gè)方面比較呢？

生（用手指比畫課桌面的邊線）周長(zhǎng)是這個(gè)桌面一周邊線的長(zhǎng)度，（用手掌摸課桌的面）面積是指課桌面的大小。

師很好！從周長(zhǎng)與面積的含義這個(gè)方面來比較。

生計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是求四條邊的長(zhǎng)度之和，而計(jì)算長(zhǎng)方形的面積是用“長(zhǎng)×寬”，計(jì)算方法不同。

生面積和周長(zhǎng)的單位不同，周長(zhǎng)的單位是厘米、分米或米，而面積的單位是平方厘米、平方分米或平方米。

……

師剛才你們說的都是面積和周長(zhǎng)的不同之處。那既然它們很容易混淆，說明它們之間一定有著相似之處。想一想，有哪些相似之處？

生都跟長(zhǎng)方形和正方形有關(guān)。

生我感覺學(xué)習(xí)的過程相似，都是先認(rèn)識(shí)什么是周長(zhǎng)、面積，再計(jì)算。

師確實(shí)，它們的學(xué)習(xí)過程很相似，它們是關(guān)于圖形的兩個(gè)量，不過周長(zhǎng)是邊線的長(zhǎng)度，而面積是面的大小?，F(xiàn)在你能分清楚周長(zhǎng)和面積了嗎？

生（齊聲）能！

師請(qǐng)判斷：“邊長(zhǎng)是4厘米的正方形，周長(zhǎng)和面積一樣”這句話是否正確？

生正確，都是4×4=16。

生不對(duì)。周長(zhǎng)是16厘米，而面積是16平方厘米，單位不一樣，不能比較。

生不能比較，因?yàn)樗鼈冋f的東西不一樣。

師是的。但是在剛才計(jì)算周長(zhǎng)和面積時(shí)，列式都是4×4=16。那你知道算式4×4=16在計(jì)算周長(zhǎng)和面積時(shí)，有什么不同之處嗎？算式中的4又分別表示什么？

生計(jì)算周長(zhǎng)的算式中的4×4表示的是4個(gè)4厘米的邊長(zhǎng)，計(jì)算面積的算式中的4×4表示的是邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，含義是不一樣的。

師是的，周長(zhǎng)和面積是描述一個(gè)圖形的不同的量。面積是對(duì)面的大小的度量，而周長(zhǎng)是對(duì)線的長(zhǎng)度的度量。因此，雖然都是4×4=16，但是表示的意義不同。

［說明：為幫助學(xué)生明晰周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)易混淆的概念，采用了比較辨析的策略。首先，學(xué)生用手比畫、摸，在概念上區(qū)分周長(zhǎng)和面積；接著，學(xué)生比較周長(zhǎng)與面積的相同與不同之處，知道周長(zhǎng)和面積的度量對(duì)象都是圖形，但是度量的單位不同，計(jì)算方法也不同。在此基礎(chǔ)上，教師請(qǐng)學(xué)生辨析邊長(zhǎng)是4厘米的正方形周長(zhǎng)和面積是否相等。顯然，學(xué)生很容易被相同的數(shù)值所迷惑，進(jìn)而再次引發(fā)對(duì)周長(zhǎng)和面積的比較。這也為學(xué)生深入理解面積的本質(zhì)創(chuàng)造了機(jī)會(huì)。經(jīng)歷這三次比較，學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積的認(rèn)識(shí)從粗糙走向精細(xì)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐漸清晰。］

（二）完整：整合碎片化知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

師請(qǐng)用12個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的小正方形拼長(zhǎng)方形，并說說這些長(zhǎng)方形的面積各是多少？

（學(xué)生操作。教師巡視，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生都拼出了如圖1所示的三種長(zhǎng)方形。）

生面積都是12平方厘米。

師為什么都是 12 平方厘米？

生因?yàn)槊總€(gè)小正方形的面積都是1平方厘米，這些長(zhǎng)方形都是用12個(gè)這樣的小正方形拼出來的，所以面積當(dāng)然都是12平方厘米。

師除了可以用數(shù)小正方形個(gè)數(shù)的方法來計(jì)算面積，還有別的方法嗎？

生用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，即“長(zhǎng)×寬”。

師（指圖1）結(jié)合圖形想一想：我們是怎樣得到長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的？又是怎樣推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的？

生就是數(shù)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形的個(gè)數(shù)，直接數(shù)有幾行幾列就可以了，幾行就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，幾列就是長(zhǎng)方形的寬。

師沒錯(cuò)，這就是長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程。那這種學(xué)習(xí)的方式，你感覺它熟悉嗎？

生以前數(shù)過方格數(shù)，就是用行數(shù)乘列數(shù)的。

師跟著教材回憶：（出示圖2）二年級(jí)上冊(cè)，我們學(xué)習(xí)過數(shù)方格數(shù)；（出示圖3）三年級(jí)上冊(cè)，先學(xué)習(xí)了用數(shù)來表示圖形的大??；（出示圖4）接著，在方格中研究了周長(zhǎng)一定時(shí)，圖形的形狀不同，導(dǎo)致圖形的面積不同；（出示圖5）此外，還學(xué)習(xí)了用“行數(shù)×列數(shù)”計(jì)算地磚的塊數(shù)。

生原來那就是面積！原來面積的求法和數(shù)方格數(shù)是相通的！

生但是，用“長(zhǎng)×寬”求長(zhǎng)方形的面積更方便！

師是?。』貞洈?shù)學(xué)書，我們才發(fā)現(xiàn)原來之前就已經(jīng)接觸過面積了。不過，通過這學(xué)期的學(xué)習(xí)，我們可以更簡(jiǎn)便地計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的面積了。

……

［說明：在三年級(jí)下冊(cè)正式學(xué)習(xí)面積前，學(xué)生具有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和逐漸發(fā)展的空間認(rèn)知能力，能夠直觀地感受物體的表面所占的區(qū)域是具有一定大小的。教材也從二年級(jí)開始就逐漸滲透面的“大小”這一概念。而為了描述面的大小，需要用一個(gè)有著“大小”意義的“數(shù)”來表達(dá)，這個(gè)數(shù)就是小方塊數(shù)，這與三年級(jí)下冊(cè)教材中用數(shù)方格法推導(dǎo)出長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算公式的方法相一致。當(dāng)學(xué)生從現(xiàn)在的角度去看原來的知識(shí)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生“原來那就是面積”“原來面積的求法就是數(shù)方格數(shù)”的感悟。如果說在之前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)面大小的理解還停留在經(jīng)驗(yàn)層面，那么經(jīng)過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)面的大小的認(rèn)知更加理性和抽象，也更加結(jié)構(gòu)化。］

（三）開放：立足轉(zhuǎn)化思想，生長(zhǎng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

師剛才我們解決了一些有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形的實(shí)際問題。到目前為止，我們認(rèn)識(shí)了很多平面圖形，想一想：教材為什么最先編排長(zhǎng)方形和正方形的面積？

生長(zhǎng)方形和正方形的面積比較好算。

生長(zhǎng)方形和正方形是比較規(guī)則的圖形。

師“規(guī)則”這個(gè)詞用得特別好！生活中可不只有像長(zhǎng)方形和正方形這樣的規(guī)則圖形，要求其他圖形的面積可以怎么辦呢？

生得想辦法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或者正方形。

師轉(zhuǎn)化是一個(gè)很好的方法。那其他平面圖形的面積與長(zhǎng)方形、正方形的面積會(huì)有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)你選擇一個(gè)平面圖形，比如，平行四邊形、三角形、梯形等，嘗試求它的面積。

（學(xué)生活動(dòng)。教師巡視，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都能通過移動(dòng)或者割補(bǔ)的方法將圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或正方形。）

師剛才我們是從平面圖形的角度思考的，現(xiàn)在把思路再打開一些，你覺得長(zhǎng)方形、正方形的面積和立體圖形，如長(zhǎng)方體、正方體、圓柱等有關(guān)嗎？如果有關(guān)系，有什么關(guān)系？

生正方體的面都是正方形，把這6個(gè)正方形的面積加起來就是正方體的“面積”。

生長(zhǎng)方形的紙能卷成圓柱，所以應(yīng)該和圓柱也有關(guān)系。

師很有道理！這就是以后我們將要學(xué)習(xí)的立體圖形的表面積和體積。雖然今天我們不能解決這些問題，但是我們已經(jīng)掌握了研究這些問題的方法，這些方法可以幫助我們繼續(xù)研究其他問題。

［說明：長(zhǎng)方形和正方形的面積是學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形、圓等平面圖形面積的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱與圓錐的體積和表面積的基礎(chǔ)，基本思想都是轉(zhuǎn)化。因此，在復(fù)習(xí)課的最后，讓學(xué)生思考“要求其他圖形的面積可以怎么辦”和“長(zhǎng)方形、正方形的面積和立體圖形有關(guān)嗎？如果有關(guān)系，有什么關(guān)系”等拓展性問題，就是要讓學(xué)生感悟“變未知為已知，用舊知獲新知”的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)。由此，學(xué)生感受到知識(shí)與方法的開放性，主動(dòng)聯(lián)結(jié)未知與已知，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主動(dòng)生長(zhǎng)。］

二、教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：“對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑?！保?］數(shù)學(xué)學(xué)科的概念、原理和規(guī)律間的本質(zhì)聯(lián)系構(gòu)成了數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生頭腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)。將知識(shí)按照邏輯關(guān)系進(jìn)行聯(lián)結(jié)、整合，使各部分之間的聯(lián)系條理化、清晰化的過程就是結(jié)構(gòu)化。縱觀蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排，在內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、順序上都十分注重結(jié)構(gòu)化。但是，由于課時(shí)和學(xué)生接受能力等限制，教材編寫時(shí)會(huì)將一些知識(shí)進(jìn)行分割和細(xì)化。因此，復(fù)習(xí)課自然而然地承載著建構(gòu)清晰、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的重要功能。

“長(zhǎng)方形和正方形的面積”復(fù)習(xí)課，是在學(xué)生學(xué)完周長(zhǎng)與面積的含義，以及長(zhǎng)方形、正方形周長(zhǎng)與面積的計(jì)算之后進(jìn)行教學(xué)的，也是為學(xué)生學(xué)習(xí)其他平面圖形的面積以及立體圖形的體積和表面積做鋪墊。因此，本節(jié)課的教學(xué)至關(guān)重要。

在教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比較策略，對(duì)周長(zhǎng)和面積這兩個(gè)易混淆的概念進(jìn)行辨析。第一次比較是直觀感受兩個(gè)概念的區(qū)別。第二次比較是異中求同、同中求異，在求同、求異的過程中，學(xué)生既理清了周長(zhǎng)和面積的知識(shí)關(guān)聯(lián)，又明確了異在何處，對(duì)周長(zhǎng)和面積的認(rèn)知逐漸結(jié)構(gòu)化。第三次比較是基于邊長(zhǎng)為4厘米的正方形周長(zhǎng)和面積的計(jì)算過程和結(jié)果（不帶單位）相同，引發(fā)學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)和面積本質(zhì)的深刻辨析，從而使學(xué)生形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

然后，教師帶領(lǐng)學(xué)生“盤點(diǎn)過去”，對(duì)教材中有關(guān)面積的內(nèi)容進(jìn)行梳理，將碎片化的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。在梳理的過程中，引導(dǎo)學(xué)生整合知識(shí)，將舊的知識(shí)融入新的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。這樣，學(xué)生才能從一個(gè)整體的視角“俯瞰”原來的知識(shí)，看見知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)，進(jìn)而豐富知識(shí)理解的維度與深度，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

最后，教師通過兩個(gè)拓展性問題引導(dǎo)學(xué)生“面向未來”，主動(dòng)生長(zhǎng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第一個(gè)問題，請(qǐng)學(xué)生思考長(zhǎng)方形和正方形面積與其他圖形面積之間的關(guān)系。這個(gè)問題旨在引導(dǎo)學(xué)生用已有的知識(shí)與思想方法去思考未知的問題。第二個(gè)問題，請(qǐng)學(xué)生借助想象，思考長(zhǎng)方形和正方形的面積與立體圖形的關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生的思維從二維（面）延伸到三維（體），發(fā)展空間觀念。兩個(gè)問題的提出都是為了讓學(xué)生從已知中尋找新方向，發(fā)現(xiàn)新問題，誘發(fā)新思考，使得思維在不斷的碰撞中產(chǎn)生更多的聯(lián)想，形成生長(zhǎng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。最后的總結(jié)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生感受到“課雖止，但思未盡”，培養(yǎng)學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題的能力，形成科學(xué)的思維習(xí)慣。

復(fù)習(xí)課，不是反復(fù)的練習(xí)，而是一種喚醒、一種整合、一種生長(zhǎng)。本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生比較易混淆知識(shí)，明晰認(rèn)知結(jié)構(gòu)；整合碎片化知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；立足轉(zhuǎn)化思想，拓展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到清晰、完整而又開放的認(rèn)知境界。經(jīng)歷“三重境”，學(xué)生向下扎根，建構(gòu)清晰而完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)；又向上生長(zhǎng)，完善思維結(jié)構(gòu)，最終獲得知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)三個(gè)層面的良好發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：3.