概率統(tǒng)計與函數(shù)的交匯

?廣州市增城區(qū)鄭中鈞中學(xué) 周曉霞

在新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷中，概率統(tǒng)計是其中一大重要的主干知識，特別是其與函數(shù)的交匯應(yīng)用問題，能很好地融入創(chuàng)新情境與交匯知識，實現(xiàn)不同主干知識之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，對于考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本能力與思想方法等有很好的效果，倍受命題者青睞.

1 利用二次函數(shù)處理概率統(tǒng)計問題

例1(多選題)設(shè)實數(shù)p滿足0

表1

則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時( ).

A.E(ξ)減小

B.E(ξ)增大

C.D(ξ)先減小后增大

D.D(ξ)先增大后減小

點評：利用二次函數(shù)(或其他相關(guān)的函數(shù)類型)來解決概率統(tǒng)計問題時，關(guān)鍵是結(jié)合相應(yīng)的概率統(tǒng)計要素構(gòu)建起對應(yīng)的函數(shù)，進而借助函數(shù)的圖象或性質(zhì)來解決一些相關(guān)的單調(diào)性、最值等應(yīng)用問題.

2 利用基本初等函數(shù)處理概率統(tǒng)計問題

例2已知樣本x1，x2，……，x2022的平均數(shù)和方差分別是1和4，若yi=axi+b(i=1，2，……，2022)的平均數(shù)和方差也分別是1和4，則ab=.

綜上可知，ab=1.故答案為1.

點評：抓住一次函數(shù)所對應(yīng)的平均數(shù)和方差與對應(yīng)樣本數(shù)據(jù)的函數(shù)關(guān)系式(分別是一次線性函數(shù)與二次函數(shù))來構(gòu)建對應(yīng)的方程組，這是問題解決的關(guān)鍵與切入點，也是概率統(tǒng)計中相關(guān)概念的函數(shù)基本性質(zhì).熟練掌握概率統(tǒng)計中相關(guān)概念的函數(shù)基本性質(zhì)等，也是函數(shù)概念與性質(zhì)的深入與應(yīng)用.

3 利用分段函數(shù)處理概率統(tǒng)計問題

例3某超市同一月按每天相同進貨量訂購一種品牌的酸奶，每瓶酸奶對應(yīng)的進貨成本與售價分別為5元與8元，未售出的酸奶當(dāng)天晚上九點以后以每瓶3元的價格酬賓全部處理完.根據(jù)銷售經(jīng)驗與當(dāng)天的最高氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)信息，如果當(dāng)天最高氣溫不低于30，需求量為500瓶；如果當(dāng)天最高氣溫位于區(qū)間[25，30)，需求量為300瓶；如果當(dāng)天最高氣溫低于25，需求量為200瓶.為了確定八月份的預(yù)訂數(shù)目，統(tǒng)計了當(dāng)?shù)厍叭臧嗽路菝刻斓淖罡邭鉁財?shù)據(jù)信息，得如表2的頻數(shù)分布表：

表2

假設(shè)以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)試確定八月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；

(2)若要求八月份一天銷售這種酸奶的利潤的數(shù)學(xué)期望值不低于700元，則八月份的每天的進貨量n(單位：瓶)應(yīng)滿足什么條件？

解析：(1)根據(jù)題目條件，需求量X的所有可能取值為200，300，500.

因此所求的分布列如表3所示.

表3

(2)由(1)可知這種酸奶一天的需求量在200至500瓶之間，則只須考慮200≤n≤500，n∈Z.

當(dāng)300

由E(Y1)≥700，解得n≤400，此時可得300

當(dāng)200≤n≤300時，設(shè)酸奶利潤為Y2，則E(Y2)=0.3[200×3-2(n-200)]+0.7×3n=1.5n+300.

綜上可得，267≤n≤400,n∈Z.

點評：分段函數(shù)在概率統(tǒng)計的實際問題中應(yīng)用比較廣泛，結(jié)合概率統(tǒng)計問題中變量的不同分段取值情況，利用分段函數(shù)的本質(zhì)，對應(yīng)的概率統(tǒng)計要素也要對應(yīng)地進行分類討論，綜合應(yīng)用.

4 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處理概率統(tǒng)計問題

例4[2021年廣東省梅州市平遠中學(xué)高三(上)第五次段考數(shù)學(xué)試卷]高校的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》(教育部2014年印發(fā))通知中規(guī)定：每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.有且僅有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將再送另外2位同行專家(不同于前3位專家)進行復(fù)評，2位復(fù)評專家中1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文，將認(rèn)定為“存在問題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為p(0

(2)現(xiàn)擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評與需要復(fù)評的評審費用分別為900元與1 500元，若某次評審抽檢論文總數(shù)為3 000篇，求該次評審費用期望的最大值及對應(yīng)p的值.

(2)設(shè)每篇學(xué)位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900，1 500，于是

令函數(shù)g(p)=p(1-p)2，p∈(0，1)，求導(dǎo)可得g′(p)=(1-p)2-2p(1-p)=(3p-1)(p-1).

點評：在處理與解決實際應(yīng)用問題中的概率統(tǒng)計變量時，對于一些高次函數(shù)等情況，經(jīng)?？梢酝ㄟ^構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)，結(jié)合高次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來確定對應(yīng)高次函數(shù)的單調(diào)性，由此確定該函數(shù)的極值或最值等相關(guān)問題，為實際應(yīng)用與判斷提供理論基礎(chǔ).

概率統(tǒng)計問題與函數(shù)的交匯應(yīng)用問題，綜合性較強，往往可以借助二次函數(shù)、基本初等函數(shù)或分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決與隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差相關(guān)的最值問題；或借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點，從而確定概率統(tǒng)計問題中的最優(yōu)解來決策與應(yīng)用等.這些概率統(tǒng)計與函數(shù)的交匯融合問題，其本質(zhì)仍是以概率統(tǒng)計為主導(dǎo)進行問題情境創(chuàng)設(shè)，利用函數(shù)的性質(zhì)或?qū)?shù)這一工具加以輔助求解或綜合應(yīng)用，實現(xiàn)基本數(shù)學(xué)知識之間的交匯融合，促進學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識與數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的提升.