高考數(shù)學(xué)中的“本手”“妙手”“俗手”
——2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試卷分析

?湖北襄陽市第二中學(xué) 戴 輝

作為“雙減”后的高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷，因其題型新、難度高、計算量大，充滿挑戰(zhàn)而久居熱搜.但這些“超難”的數(shù)學(xué)命題卻符合“雙減”背景下以能力立意的命題原則，符合新課標數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方向，回歸數(shù)學(xué)基本定義，強調(diào)用數(shù)學(xué)語言表達問題，用數(shù)學(xué)思維解決問題，提升學(xué)生綜合素質(zhì)，達到選拔人才的目的.

1 重在“本手”之基礎(chǔ)能力考查

試題回歸數(shù)學(xué)考綱本源，主要考查基本概念、常見方法、傳統(tǒng)考點.三角函數(shù)部分主要考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)、解三角形(6，18)；數(shù)列部分主要考查數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列求通項、數(shù)列求和(17)；立體幾何主要考查空間幾何體的位置關(guān)系、求角、求各種距離及八大定理(4，8，9，19)；圓錐曲線主要考查求圓錐曲線的方程、定義、直線和曲線的位置關(guān)系(11，14，16，21)；概率統(tǒng)計主要考查計數(shù)原理、條件概率、數(shù)字特征及統(tǒng)計分析(5，13，20)；導(dǎo)數(shù)主要考查構(gòu)造函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(7，10，12，15，22).

從學(xué)科整體意義和思想價值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧,有效檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思維和方法的掌握程度.

回歸數(shù)學(xué)思想本源.試題考查綜合運用各種數(shù)學(xué)思想的能力，試卷貫穿對函數(shù)與方程思想(6，8，12，15，16，21)、數(shù)形結(jié)合思想(3，4，8，9，10，11，12，14，16，19，21，22)、分類討論思想(5，8，13，14，22)、化歸與整合思想(8，12，17，18，22)以及思維能力、運算能力、空間想象能力、實踐能力與創(chuàng)新意識等全方位的考查.

重視數(shù)學(xué)抽象符號和數(shù)學(xué)推理的考查.數(shù)學(xué)符號是對數(shù)學(xué)問題的抽象和概括，提高數(shù)學(xué)抽象符號的理解運算能力,才能加深對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解.第12題要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對稱性、導(dǎo)數(shù)的概念以及它們之間的聯(lián)系，對數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高要求，對抽象數(shù)學(xué)符號思維的考查也很深入.第20題用條件概率證明也是較復(fù)雜的抽象字母的運算，考查學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

2 貴在“妙手”之命題“三增三減”

2.1 一增“思考量”減“刷題量”

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點和選拔功能的需要，試題的難度設(shè)計有層次性，在思維的靈活性和深刻性，方法的綜合性、探究性等方面科學(xué)把握試題的思維深度，要求學(xué)生具備解決較復(fù)雜問題的綜合素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，體現(xiàn)高考數(shù)學(xué)的選拔功能.

第7題極具挑戰(zhàn)性.如果用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的思路求解，需要學(xué)生有很強的觀察能力和構(gòu)造函數(shù)的能力.如果用二項式定理展開式求解，也需要學(xué)生的觀察力和思維能力以及對放縮法和估算法的靈活運用.如果用泰勒公式估算，要求學(xué)生深入鉆研課本上的習(xí)題并加以拓展或者有競賽功底.第12小題考查學(xué)生抽象思維能力，需要學(xué)生有較強的邏輯思維能力，若缺乏對函數(shù)及導(dǎo)數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵的理解，則刷再多的題也是白搭.第14小題，要求學(xué)生寫出一條直線方程，為不同層次的考生給了不同層次的思維空間，對知識之間的聯(lián)系、直觀想象素養(yǎng)、數(shù)形結(jié)合思想作了深入的考查，鼓勵學(xué)生運用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析和解決問題，考查思維的靈活性和深刻性，具有很好的區(qū)分度.解答題17題把構(gòu)造數(shù)列、用疊乘法求通項和用裂項法求和數(shù)列的三個難點糅合在一起，每一步都需要學(xué)生思考透徹，形成閉環(huán)式知識系統(tǒng).解答題20題考查學(xué)生對條件概率定義的理解及代數(shù)的證明，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 二增“新題型”減“套路題”

試題突出對學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識系統(tǒng).多知識點綜合考查的題目增多.第12題對數(shù)學(xué)符號的理解、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、偶函數(shù)的定義、圖象的平移、函數(shù)圖象的對稱問題都作了深刻的考查，體現(xiàn)知識的相互交匯融合，要求學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)和綜合解題能力.第20題考查運用條件概率的公式進行證明，對數(shù)學(xué)抽象符號的理解及代數(shù)證明題有很高要求.第17題考查了構(gòu)造法求數(shù)列、疊乘法求通項、裂項求和，一道題把數(shù)列主要的知識揉在一起，強調(diào)知識的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建立知識體系.第18題把倍角、半角公式與用正、余弦定理解三角形組合在一起，是一種全新組合.第19題一改傳統(tǒng)第一問用“八大定理”來證明線線、線面、面面的平行和垂直的關(guān)系，而是求點到面的距離，考查學(xué)生的應(yīng)變能力.第20題以現(xiàn)實生活中的醫(yī)療衛(wèi)生為例，關(guān)注數(shù)學(xué)運用，設(shè)計統(tǒng)計概率應(yīng)用題，考查學(xué)生對獨立性檢驗、條件概率定義的理解，考查代數(shù)證明，改變以往主要對運算的考查，引導(dǎo)師生重視實驗和數(shù)學(xué)運用，特別是回歸數(shù)學(xué)定義的考查，都是減少套路的新穎題型，極具創(chuàng)新.總之，每一道大題無論從知識的交叉考查力度、難易的坡度，還是試題的樣式都煥然一新.

2.3 三增“重點內(nèi)容”減“面面俱到”

從數(shù)學(xué)知識面上看，重點知識重點考.其中第7，10，12，15，22題全部考查導(dǎo)數(shù)知識，共計32分.高中導(dǎo)數(shù)內(nèi)容是聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶,是整個微積分學(xué)中的基礎(chǔ)部分，也是最重要的部分，有助于考查學(xué)生進入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力.第5，14，20題考查統(tǒng)計，計20分.在當今信息時代，概率統(tǒng)計知識在科學(xué)研究、工程技術(shù)、人文社會科學(xué)以及經(jīng)濟生活中的作用越來越重要，高中的概率與統(tǒng)計知識是大學(xué)學(xué)習(xí)概率論與統(tǒng)計論的基礎(chǔ).第11，14，16，21題考查解析幾何，計27分.考查了直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的知識，重點考查學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力.第16小題以橢圓為載體，考查解析幾何中的“設(shè)而不求”法以及橢圓的第一定義；用弦長公式，思路常規(guī)，但運算量大；如果用焦點弦坐標公式，運算量小，但思維靈活性高；用橢圓的焦點弦傾斜角公式來求是最快的，但只有那些特別善于鉆研的學(xué)生才知道這個公式.第4，8，9，19題考查立體幾何，計27分.重點考查學(xué)生的空間想象能力.第9題考查線線角及線面角，選取正方體的對角線以及對角面這些代表性的幾何元素，考查基本點、線、面的關(guān)系，八大定理的證明以及三種角的計算能力.

3 規(guī)避“俗手”之妙招

3.1 “運算量大”的應(yīng)對妙招

第7，8，11，12，15，16小題均涉及大量運算，第21題連續(xù)兩問都需要大量計算.第11，16，21三道解析幾何題更是把運算考到極致，運算耗去太多時間，并且這三題有重復(fù)計算的嫌疑.比如第16題大部分學(xué)生只會想到用弦長公式求解，而用弦長公式就要求將直線與橢圓方程聯(lián)立再用韋達定理計算，這樣一個填空題就變成一道大題的運算量，短時間內(nèi)根本無法算出，就算算出來了，也變相擠占了解其他題的時間；同時這個運算和21題的直線和雙曲線方程聯(lián)立用韋達定理計算明顯是重復(fù)的.大多數(shù)學(xué)生做不完試卷.應(yīng)對大題妙招，首先預(yù)估計算量，選擇最優(yōu)解題法：轉(zhuǎn)化條件→選定主元→代入運算.而每一步都需要掌握多種方法和技巧，練好本手，提高效率.應(yīng)對小題妙招，拓寬知識面，挖掘常見的二級結(jié)論.比如第16小題用焦點弦傾斜角公式最快.

3.2 “坡度大辨識度小”的應(yīng)對妙招

第7小題是導(dǎo)數(shù)壓軸題的難度，放在此位置，“坡度”有些陡.第8小題運算量大.填空題基本沒有送分題.第17，18題，以往是“送分題”或分步送分，但今年考生得分要么零分，要么滿分.應(yīng)對妙招：全面理解，吃透原理，避免死記硬背、刷題突擊，提升分析推理能力以及靈活運用多個知識點綜合解決問題能力.

3.3 “難度大區(qū)分度小”的應(yīng)對妙招

整個試卷逐題看，不是特別難，但是把較多中偏難題放在一起，感覺學(xué)了三年數(shù)學(xué)就像沒有學(xué)習(xí)一樣.應(yīng)對妙招是科學(xué)合理安排答題順序、培養(yǎng)應(yīng)考心態(tài).改變學(xué)習(xí)方式，不僅學(xué)會，更要會用；不僅要練，更會復(fù)盤，從多個角度分析思考問題.

求木之長者必固其根本，欲流之遠者必浚其泉源，練好本手、方得妙手.思維量大，僅僅靠“刷題”不行；運算量大，盲目“刷題”亦不行.規(guī)避俗手方法:只有立足基本功，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，融會貫通，培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力、計算能力，提高空間想象能力，隨機應(yīng)變，夯實綜合運用數(shù)學(xué)思想解決問題的能力，轉(zhuǎn)變應(yīng)試思想，才是高考備考必須具備的新思路.