基于課堂教學的數學建模能力培養(yǎng)策略研究*

?西華師范大學數學與信息學院 許則林 高 明

1 問題的提出

數學具有重要的價值，數學教育在培養(yǎng)各項能力全面發(fā)展的應用型、創(chuàng)新型人才中起著不可或缺的作用.數學建模是數學學習的一種方式，也是連接現實世界與數學世界的一座橋梁.數學建模是解決現實問題的基本手段之一，在現實生活中占據重要地位.因此，培養(yǎng)學生的數學建模能力至關重要，優(yōu)質的培養(yǎng)策略會帶來事半功倍的效果.本文中先對中學生數學建模能力培養(yǎng)的現狀進行分析，再結合新人教版高中數學教材與課堂教學，給出培養(yǎng)學生數學建模能力的策略.

2 中學生數學建模培養(yǎng)現狀

將數學建模納入高中數學課程并不是最近幾年才提出的，它已有著將近20年的歷史，但數學建模課程的實施卻一直存在很多問題.主要表現在以下幾個方面：一是學生的數學建模意識薄弱，在面對現實問題時，無從下手；二是對數學建模流程不熟悉，沒有數學建模的經驗；三是學生模型選擇的能力弱，在建模時不知道如何選擇合適的數學模型；四是學生計算能力較弱，在求解數學模型時，無法下筆.

3 數學建模能力的培養(yǎng)策略

3.1 在例題講解中滲透建模思想，增強建模意識

例題是教師向學生示范解題技巧，傳遞知識的重要橋梁.新教材中有關數學建模的例題數量，相對于舊教材來說提高了百分之四，這些例題往往都與現實生活相聯系，涉及物理、化學、經濟等方方面面.教師可以利用這些例題，在講解的過程中逐漸向學生滲透數學建模思想.接下來，筆者結合圖1中的例題進行簡述.

圖1

首先可以讓學生思考如何建立三種投資方案所對應的函數模型.通過分析題干，易知方案一可以采用常函數，方案二可以采用一次函數，方案三可以采用指數函數.接下來指導學生用計算機畫出三個函數的圖象并制作累計收益的表格.通過分析圖象與表格可知：投資1～6天，可以選擇方案一；投資7天，可以選擇方案一或方案二；投資8～10天，可以選擇方案二；投資11天(含11天)可以選擇方案三.

該例題貼合生活實際，符合學生的認知基礎.通過對該例題的講解，可以讓學生體會到數學建模的實用性，明白數學來源于現實生活，最終也要為現實服務.其實，在教材中還有很多類似的例題，如必修一第三章的個人所得稅問題、煙花高度問題，第四章第四節(jié)(對數函數)中溶液濃度的測量問題，第五章第七節(jié)中彈簧振幅問題和交變電流問題，等等.在講解這些例題的時候，既要講解題技巧和方法，也要著重介紹例題的現實背景.這能增強學生數學建模的意識，讓學生能夠在今后的生活中學會用從數學建模的視角看待世界，有意識地去發(fā)現和提出問題，體會現實與數學之間的關聯性.

3.2 開展小組探究活動，熟悉數學建模流程

當擁有數學建模意識之后，學生雖然學會了從數學的視角去看待問題，但并不一定能夠獨立地用數學的手段去解決實際問題.究其原因，是他們對數學建模的流程還不熟悉，沒有積累起數學建模經驗.為了讓學生能夠清晰地理解數學建模的每一個步驟的實施過程.教師可以專門用幾節(jié)課來開展數學建模的專題學習，在課上通過共同探究實際案例來讓學生經歷數學建模的流程，接著再對數學建模的每個流程進行系統(tǒng)講解.在熟悉數學建模流程后，可以通過小組合作學習的方式讓學生共同解決一個生活實際問題.新教材數學必修一中專門給出了一個數學建?；顒拥膶嵗@個問題是這樣的：某種綠茶需要用85 ℃的熱水沖泡，當茶水溫度降至60 ℃時飲用口感最佳，當天室內氣溫為25 ℃，那么剛沖泡的綠茶大約要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？教師可以將學生分成幾個小組，每個小組五名成員.在小組內，再確定一名課題負責人，讓每位同學都有明確的分工.拿到這個問題后，各個小組對該問題進行了討論.大家一致認為：“茶水的溫度是隨著時間的變化而變化的，即茶水溫度是關于時間的函數.”但是有學生提出了自己的疑惑：“既然茶水溫度是關于時間的函數，那么函數模型又該如何選取？”有學生認為：“可以先收集茶水隨溫度變化的數據，再畫出圖象.分析曲線的變化規(guī)律，選取適合圖象的函數模型”.受到該學生的啟發(fā)，大家開始分工合作.在一個小組內，一名學生通過計時器和溫度計等工具收集數據，其他同學在對數據進行分析的基礎上畫出了圖象，建立了合適的函數模型并對模型進行檢驗，最后將數據代入模型中進行計算求解，獲得答案.在這一系列的數學建模過程，雖然有些組選取的模型不同，但他們最終都算得沖泡一杯口感最佳的茶水所需時間大約是7分鐘.在求解得到最終答案后，每個小組還需要對答案進行檢驗.

通過以上的小組探究活動，學生不僅熟悉了數學建模的流程，提升了數學建模能力，同時也培養(yǎng)了合作交流能力，提升了自主學習能力.

3.3 教學中滲透數學思想方法，提升學生模型選擇的能力

在數學建模的過程中想要快速地選擇合適的數學模型，必須體會解決問題的過程中所需要用到的數學思想方法.數學思想方法是一般思想方法在數學領域中的具體應用，它既包含了層次分析法、線性規(guī)劃、回歸分析等統(tǒng)計方法，也包含了數形結合、分類討論等數學思想方法.學生只有在掌握了某種數學思想方法的前提下，才有可能會運用這種思想方法，因此他們的頭腦中必須儲備一定量的數學方法.教師在日常的課堂教學中，可以向學生滲透有關數學建模的具體思想方法.例如，在講“分段函數”時，教師需要著重滲透分類討論與數形結合思想.在這一節(jié)中，有這樣一道練習題：某城市對居民生活用水實行“階梯水價”，不超過12 m3的部分，水價為3元/m3.超過12 m3但不超過18 m3的部分，水價為6元/m3.超過18 m3的部分，水價為9元/m3.若某用戶本月繳納水費48元，求該用戶本月用水量.

顯而易見，要想解決這個問題，學生需要具備分類討論與數形結合思想.只有積累了這些數學思想方法，學生才能自然想到選取分段函數作為數學模型，畫出不同區(qū)間段上的函數圖象，再結合圖象進行討論求解.對于“統(tǒng)計”這一章節(jié)中，求父子身高相關度等問題，可以向學生介紹線性規(guī)劃的方法.對于涉及求最短路徑、最長路徑等問題，可以向學生講解層次分析法.當學生再次遇到類似的數學問題時，他們自然而然就能將這些數學思想方法進行遷移并應用，進而選擇到合適的數學模型.

3.4 建模后及時交流討論，培養(yǎng)學生模型檢驗能力

當學生完成數學建模的全部流程后，教師還可以與學生一起對建模的過程與結果進行總結與反思.教師可以要求每個小組撰寫一份研究報告，并派一名代表在課堂上展示研究成果.接下來教師可以與學生一起對建模步驟、建模結果展開交流，提出質疑并進行辯論，開展教師評價、學生自評和學生互評.例如，在教完“解三角形”這一章后，可以向學生呈現這樣一道問題：在可以自己選擇工具的情況下，你能想到用什么方法測量廣州電視塔的高度？

由于剛學完解三角形的知識，有些學生想到了可以利用正弦定理轉化邊角關系，提出：“可以選擇一根長度已知的竹竿，先將竹竿垂直豎立在點A處，竹竿的另一端點為點B，測出A,B兩點與塔頂的仰角，結合上面的條件，再利用正弦定理和正切函數可以算出塔的高度.”還有部分學生結合所學的物理知識，提出：“可以選擇一個鐵球和計時器作為測量工具，將小球從塔頂扔下，讓小球做自由落體運動，測出下落時間，算出的下落高度即為塔高.”還有學生想到了相似三角形的知識，提出：“可以選擇竹竿和卷尺作為測量工具，測出竹竿的長度、竹竿影子的長度和塔的影子的長度，再結合相似三角形對應邊成比例算出塔高.”有些學生還想到了海拔升高，對應的氣溫和氣壓會發(fā)生變化，可以利用溫度計和氣壓表測出塔頂的溫度和氣壓，再選擇合適的函數模型算出塔高.

這是一道開放性的題目，切合生活實際.學生提出了很多方法，教師可以與學生一起對這些方法進行評價反思，探討這些方法的可行性、操作的難易程度等.經歷數學建?；顒拥慕涣饔懻摵?，學生的數學模型檢驗能力得到了提升.在交流中，學生能夠相互借鑒、取長補短，數學建模能力最終也在不斷提升.

4 結束語

數學建模能力的培養(yǎng)是一個長期的過程，在課前要對數學建?；顒舆M行精心設計，在課中要有意識地滲透數學建模思想，在完成數學建?；顒雍笠皶r交流討論.數學建模是學習的一種方式，可以提升自我.數學建模能力的培養(yǎng)也符合社會對人才培養(yǎng)的期望，通過數學建模，個體最終能夠達到自我價值與社會價值的雙重實現.