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      對2022年上海高考數(shù)學第20題的思考

      2023-03-27 13:25:50上海市七寶中學李佳偉管恩臣
      中學數(shù)學 2023年5期
      關鍵詞:雙曲線最值橢圓

      ?上海市七寶中學 李佳偉 李 霞 管恩臣

      1 前言

      圓錐曲線是解析幾何的核心內容,是高中數(shù)學的重點、難點,也是高考命題的熱點之一.根據(jù)考綱的要求,理科對橢圓、拋物線的概念、標準方程、幾何性質的要求屬于掌握的內容,對雙曲線是了解的內容;文科只對橢圓是掌握的內容,對雙曲線、拋物線是了解的內容.縱觀福建近幾年的高考也可以看出這一點,橢圓是高考必考的內容,其次是拋物線,考得最少的是雙曲線.其中,最值問題可以涉及中學數(shù)學各個內容的方方面面,它在高考中的地位十分突出.最值問題可以以各種知識作為背景進行考查,涉及高中數(shù)學主干知識與方法,要求考生有扎實的數(shù)學基本功及良好的數(shù)學思維能力.由此可以理解有關橢圓的最值問題在高考中的重要地位.而橢圓的參數(shù)方程因為其特點,可以把圓錐曲線的最值問題中復雜的計算轉化成三角函數(shù)最值問題,從而可以大大減少計算過程和強度,是解決橢圓最值問題一個很重要且很巧妙的手段.下面筆者結合2022年上海高考數(shù)學第20題,分析參數(shù)方程在最值問題中的巧妙應用.

      2 試題呈現(xiàn)與分析解答

      圖1

      (1)若a=2,AM的中點在軸上,求點M的坐標;

      (3)若Γ上存在點P到直線l的距離為d,且滿足d+|PF1|+|PF2|=6,當a變化時,求d的最小值.

      分析:本題第(2)問利用直角三角形中三角比的定義能夠得到a與b的關系,從而求出b的值;第(3)問的難點在于如何選參數(shù),主要有以下幾種途徑.①構建點P含參數(shù)的軌跡方程;②設點P含參數(shù)的坐標;③設直線l′含參數(shù)的方程.

      第(3)問的思維導圖如圖2所示.

      圖2

      試題解答:

      (1)由題意,得c2=2,b2=2.

      另外,本題第(3)問還有如下兩種解法.

      設P(acosθ,bsinθ),則

      解法二:(設直線l′含參數(shù)的方程)當橢圓Γ在點P處的切線l′與直線l平行時,點P到直線l的距離d最大或最小,設此時切線l′方程為x+y+m=0.

      2(a2-1)x2+2a2mx+a2(m2-a2+2)=0.

      由Δ=0,得m2=2(a2-1).

      從以上的解答過程可以看到,利用參數(shù)法求解,其計算量遠遠小于常規(guī)方法的計算量,從而提高答題的正確率.因此,在解決相關橢圓的最值問題時,可以優(yōu)先考慮參數(shù)法.

      3 試題延伸與推廣

      解:如圖3,設橢圓Γ的右焦點為P(2,0),點M在橢圓Γ的內部,直線MP與橢圓Γ交于A,B兩點,則由橢圓定義可得|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|.

      圖3

      由三角形的性質,得

      -|MP|≤|NM|-|NP|≤|MP|.

      點評:變式2直接運用代數(shù)法難度較大,考慮到F是橢圓的左焦點,聯(lián)想橢圓的定義,設右焦點為P,得到|NF|+|NM|=8+|NM|-|NP|,然后再利用三角形的性質解決,體現(xiàn)了借助橢圓定義與平面幾何知識解題的特點.

      圖4

      解:由題意,得直線AM的方程為x-2y+4=0.

      設直線PQ的方程為x-2y+t=0,與橢圓Γ的方程聯(lián)立,可得4x2+2tx+t2-48=0.

      由Δ=4t2-16(t2-48)>0,得-8

      點評:先借助弦長公式、兩條平行線間的距離公式、勾股定理等求出|QN|2,然后再運用二次函數(shù)的性質求解,體現(xiàn)了函數(shù)思想.

      圖5

      又A(-4,0),所以直線AP的方程為

      設B為直線x=-6與x軸的交點,則

      點評:變式4屬于多動點問題,由于P,Q兩點的運動引起了點M,N的運動,因此將P設為主動點,以其坐標為參變量表示出S△APQ+S△AMN,最后借助基本不等式求得最值,體現(xiàn)了基本不等式的工具作用.

      通過以上問題的解決,可以得到求解這類最值的兩種常用思路:①從圖形入手,借助橢圓的定義、三角形的性質等平面幾何知識來分析;②選定參變量,表示出所求的幾何(或代數(shù))量,然后根據(jù)解析式的特點,借助導數(shù)、基本不等式、函數(shù)與三角函數(shù)的性質等知識來處理.

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