運(yùn)算能力：基于“情境”的培育實(shí)踐

徐海波

［摘? 要］ 情境是培育學(xué)生運(yùn)算能力的重要載體和媒介。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地創(chuàng)設(shè)經(jīng)驗(yàn)性的情境、問題性的情境、操作性的情境、比較性的情境，促進(jìn)學(xué)生有效整合運(yùn)算內(nèi)容，使學(xué)生學(xué)會研究并理解運(yùn)算的每個(gè)步驟，充分感知運(yùn)算的作用。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中除了教會學(xué)生算法，還要教會他們?nèi)ダ斫馄渲械乃憷?，掌握好相?yīng)的策略和運(yùn)算技巧等。只有讓學(xué)生在情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并且積極主動(dòng)地經(jīng)歷運(yùn)算的全過程，才能助推學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造完整的運(yùn)算意義。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算能力；情境培育

在小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)中，運(yùn)算能力是不可缺少的一部分。對于小學(xué)生來說，有效培養(yǎng)其運(yùn)算能力至關(guān)重要，可有效提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)。在學(xué)習(xí)運(yùn)算時(shí)，學(xué)生除了要掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則，更重要的是要理解運(yùn)算的意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)相關(guān)的情境，將相關(guān)的運(yùn)算算理等融入、滲透在情境之中。通過引導(dǎo)學(xué)生的情境感知、情境操作、情境想象等，不斷地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過創(chuàng)設(shè)相應(yīng)的教學(xué)情境，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷運(yùn)算的全過程，從而助推學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造完整的運(yùn)算意義。

一、創(chuàng)設(shè)經(jīng)驗(yàn)性情境，促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算感知

情境的種類很多，主要有經(jīng)驗(yàn)性情境、問題性情境、操作性情境、對比性情境等。不同的情境具有不同的特質(zhì)和不同的育人功能。教師要充分地彰顯情境的育人價(jià)值。首先是基于學(xué)生生活的經(jīng)驗(yàn)性情境。經(jīng)驗(yàn)性情境是情境創(chuàng)設(shè)的一般方式。相較于其他情境，經(jīng)驗(yàn)性情境更貼合學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實(shí)際，也更能獲得學(xué)生的認(rèn)同和響應(yīng)。經(jīng)驗(yàn)性情境能有效地促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算感知，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感受和體驗(yàn)。提升學(xué)生的運(yùn)算能力，不僅要讓學(xué)生“算”，而且要讓學(xué)生理解運(yùn)算的意義和價(jià)值，讓學(xué)生對運(yùn)算不僅“知其然”，更“知其所以然”“知其所以應(yīng)然”。

比如教學(xué)“運(yùn)算律”這部分內(nèi)容，重要的是要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識和理解“運(yùn)算律的內(nèi)容”，把握“運(yùn)算律的形式”，并積極展開“運(yùn)算律的應(yīng)用”。對于抽象的“運(yùn)算律”，教師不應(yīng)機(jī)械、枯燥地說教，而應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生理解“運(yùn)算律”的意義。例如在教學(xué)“加法結(jié)合律”這部分內(nèi)容時(shí)，筆者就創(chuàng)設(shè)了這樣的生活化情境：學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會，班上有25個(gè)男生跳繩，17個(gè)女生跳繩，13個(gè)女生踢毽子，跳繩和踢毽子的一共有多少人？通過這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同維度的思考，如“先求一共有多少人跳繩，再求跳繩和踢毽子的一共有多少人”“先求女生有多少人參加跳繩和踢毽子，再求跳繩和踢毽子的一共有多少人”。通過這樣的經(jīng)驗(yàn)性情境，學(xué)生加深了感知和理解，從事例層面理解了“加法結(jié)合律”的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知的建構(gòu)。不僅如此，筆者在教學(xué)中還引導(dǎo)學(xué)生解讀情境和意義中的算式，通過現(xiàn)成的算式，引導(dǎo)學(xué)生賦予算式意義，并通過意義賦予，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為可能。同時(shí)，學(xué)生在開展運(yùn)算時(shí)能主動(dòng)地將其與生活、經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)，指的是讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待生活，并在思考生活時(shí)用數(shù)學(xué)的大腦去分析問題。

經(jīng)驗(yàn)性情境讓學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)充滿了“生活味”。運(yùn)算不是純粹的紙筆數(shù)理、算理的推演，也不是純邏輯、純形式的計(jì)算，應(yīng)當(dāng)凸顯運(yùn)算的意義。如“四則運(yùn)算”中的加、減、乘、除，“加法代表著合并”“減法是加法的逆運(yùn)算”“乘法是諸多相同加數(shù)加法的簡便運(yùn)算”“除法是乘法的逆運(yùn)算”，等等。通過理解意義，學(xué)生能洞察運(yùn)算的本質(zhì)，體會到法則之間的內(nèi)在聯(lián)系。

二、創(chuàng)設(shè)問題性情境，促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算思考

“問題”是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力引擎。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要學(xué)會創(chuàng)設(shè)“問題性情境”。借助“問題性情境”，學(xué)生可以更好地開展運(yùn)算思考。“問題”是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是學(xué)生開展運(yùn)算學(xué)習(xí)的動(dòng)力所在。因此，“問題”是學(xué)生展開思考的支撐，能幫助學(xué)生更好地開展數(shù)學(xué)計(jì)算工作。教師不僅要善于研發(fā)問題，而且要善于修正、完善問題，要讓“問題”既契合數(shù)學(xué)運(yùn)算知識的本質(zhì)，又能切入學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”。

可見，開展問題性情境教學(xué)，可以讓學(xué)生的運(yùn)算思考從低階走向高階。比如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，教師不能只讓學(xué)生掌握運(yùn)算的形式，如“先用第二個(gè)因數(shù)個(gè)位上的數(shù)分別乘第一個(gè)因數(shù)每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)”“從個(gè)位乘起，再用第二個(gè)因數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)因數(shù)每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)”“最后把兩次乘得的積相加”，更要引導(dǎo)學(xué)生思考“用第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位、十位分別乘第一個(gè)因數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)的意義”，即“第一次相乘代表有多少個(gè)一”“第二次相乘代表有多少個(gè)十”。教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)具體的問題情境來啟發(fā)學(xué)生對算理的理解。如“用個(gè)位上的2乘12代表什么？”“代表2千克蘋果多少元？”“用十位上的3乘12代表什么？”“代表30千克蘋果多少元？”“30千克蘋果可以看成多少個(gè)10千克蘋果？”“所以用十位上的3乘12得到的積表示什么？應(yīng)該怎樣書寫？”等等。通過問題的指引，學(xué)生能夠熟悉“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”運(yùn)算過程中的每一步計(jì)算的算理。通過引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識每一步的算理，能讓學(xué)生有效地建構(gòu)運(yùn)算法則，認(rèn)識運(yùn)算的內(nèi)在機(jī)理。問題情境不僅富有生活性、經(jīng)驗(yàn)性，同時(shí)還富有啟發(fā)性、引導(dǎo)性。借助問題情境，教師能激發(fā)學(xué)生對“算理”的深入思考、深刻探究，能助推學(xué)生對“算法”積極且有意義的建構(gòu)和創(chuàng)造。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生基于“情境”自發(fā)地提出相關(guān)的問題。例如學(xué)生在運(yùn)算過程中會積極主動(dòng)地反思：這一步運(yùn)算算的是什么？這一步為什么這樣算？這一步運(yùn)算為什么這樣書寫？等等。相較于教師提出的問題，學(xué)生所提的問題更具有現(xiàn)實(shí)性、啟發(fā)性、引導(dǎo)性。如在上述的教學(xué)過程中，面對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的運(yùn)算，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生提出問題，并針對問題開展深入的分析與研究。“問題”能將學(xué)生帶入運(yùn)算的“核心地帶”。

三、創(chuàng)設(shè)操作性情境，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提升

構(gòu)建運(yùn)算法則時(shí)，教師一定要將抽象的算理演繹過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具身性操作。創(chuàng)設(shè)操作性情境，能促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算探究、運(yùn)算建構(gòu)。心理學(xué)研究表明，小學(xué)生以直觀思維為主，再融入具體思維。因此，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算法操作時(shí)，要注意將算法操作與算理結(jié)合起來。創(chuàng)設(shè)操作性情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算法探究時(shí)，一定要激發(fā)學(xué)生的運(yùn)算思維和運(yùn)算想象，避免讓學(xué)生淪為單純的“操作工”。

比如教學(xué)“十幾減9”這部分內(nèi)容時(shí)，部分教師往往不注重引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)多樣化的算法，而僅僅著眼于學(xué)生“會計(jì)算”。其實(shí)，多元化算法能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。實(shí)踐證明，學(xué)生的運(yùn)算方法在建構(gòu)時(shí)非常豐富，如“平十法”“破十法”“依次相減法”“算減想加法”等。教師要善于對學(xué)生的算法操作進(jìn)行引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將算法操作轉(zhuǎn)化為算法建構(gòu)。以“13減9”的教學(xué)為例，當(dāng)學(xué)生拿出1捆小棒和3根小棒之后，教師要啟發(fā)學(xué)生：1捆小棒和3根小棒代表多少？從這么多的小棒中拿掉9根小棒可以怎樣拿？你準(zhǔn)備先拿幾根小棒，再拿幾根小棒？哪一種拿法更方便快捷？通過對操作的指導(dǎo)和比較，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)多樣化的算法，并對算法進(jìn)行比較。在這個(gè)過程中，教師尤其要突出“13減9”的核心算法——“破十法”?！皬?捆小棒中可以直接拿出幾根小棒？”“還剩幾根？”“可以將這剩下的1根和幾根合并起來？”“13減9可以怎樣算？”具身性的操作情境可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的算法探究。通過比較，學(xué)生可以明確各種算法的特點(diǎn)，如“破十法”的快捷、“平十法”的巧妙、“依次相減法”的繁雜、“算減相加法”的自然等。這些多樣化的算法是學(xué)生具身性操作抽象化、形式化、數(shù)學(xué)化的產(chǎn)物。在這個(gè)過程中，操作讓運(yùn)算算理有效外顯，也讓數(shù)學(xué)學(xué)科的算理得到有效的體現(xiàn)。同時(shí)，算理讓操作有所指向，即算理可以讓學(xué)生的操作有針對性、方向性、目的性等。教師要促成學(xué)生的具身性操作有效地轉(zhuǎn)化為運(yùn)算法則，內(nèi)化為運(yùn)算素養(yǎng)。

操作性情境是一種半直觀、半具體的情境，也是一種具身認(rèn)知的情境。操作性情境能幫助學(xué)生建立操作的表象，而操作表象是學(xué)生算法建構(gòu)的基礎(chǔ)。操作是學(xué)生運(yùn)算思維的外援性支撐，運(yùn)算思維是操作的內(nèi)隱性支援。置身于操作性情境之中，學(xué)生能夠積極主動(dòng)地實(shí)踐和探究。學(xué)生在做中學(xué)、在做中思、在做中悟，“做與思”緊密結(jié)合、相伴相融。通過操作，學(xué)生能夠積極主動(dòng)地建構(gòu)、創(chuàng)造算法。

四、創(chuàng)設(shè)比較性情境，促進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算整合

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，很多算法的表現(xiàn)形態(tài)不同，但其本質(zhì)還是相通的。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)比較性的情境，將不同的算法納入其中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生進(jìn)行算法的有效整合，助推學(xué)生建構(gòu)更高階的算法，形成一種算法的“大概念”“高觀點(diǎn)”。這些算法的“大概念”“高觀點(diǎn)”有助于學(xué)生對算法的積極遷移和應(yīng)用。

比如教學(xué)“小數(shù)加減法”這部分運(yùn)算的時(shí)候，筆者就放手讓學(xué)生探究。如對于“3.25+1.8”這樣的小數(shù)位數(shù)不同的小數(shù)加減法，學(xué)生很容易受到“整數(shù)加減法”法則表述的負(fù)遷移影響，將小數(shù)的末位對齊。為此，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索，如給小數(shù)加上單位，變成“3.25元+1.8元”“3.25千克+1.8千克”等。借助“元和元合并”“角和角合并”“千克和千克合并”“克和克合并”，學(xué)生能更好地理解算理。借助生活事例，學(xué)生能積極主動(dòng)地建構(gòu)算法。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生對算式本身進(jìn)行思考：十分位上的數(shù)和哪個(gè)數(shù)位上的數(shù)對齊？百分位上的數(shù)呢？將什么對齊就能保證十分位上的數(shù)和十分位上的數(shù)對齊、百分位上的數(shù)和百分位上的數(shù)對齊？如此，學(xué)生就能深刻地理解“小數(shù)點(diǎn)對齊”是“小數(shù)加減法”法則的“牛鼻子”。同時(shí)，筆者將“整數(shù)加減法”法則與“小數(shù)加減法”法則進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生認(rèn)識到“小數(shù)加減法”和“整數(shù)加減法”的內(nèi)在一致性——都是數(shù)位對齊，都是計(jì)數(shù)單位相同。通過比較，學(xué)生能形成更加上位的認(rèn)知，即“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。這樣的一種加減法運(yùn)算的上位認(rèn)知，不僅能促進(jìn)學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法，而且有助于學(xué)生的積極遷移，對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的法則具有重要的意義和價(jià)值。

創(chuàng)設(shè)比較性情境，不僅有助于學(xué)生掌握相關(guān)運(yùn)算的法則，而且有助于學(xué)生把握相關(guān)運(yùn)算法則之間的關(guān)系。從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)科中的諸多算法都具有結(jié)構(gòu)性和整體性。在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生比較算法法則，能讓學(xué)生在變（法則的具體表現(xiàn)及形態(tài)不同）與不變（算理相同）中形成更深層次的感悟。這樣的一種比較，能讓學(xué)生把握相關(guān)算法的共同點(diǎn)與差異。

學(xué)生的運(yùn)算能力、運(yùn)算素養(yǎng)等的培育并不是一蹴而就的。教師要通過引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法、理解算理，在他們的心里建構(gòu)運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算圖式。運(yùn)算圖式是一種內(nèi)隱的算法，是沉積在學(xué)生心里的算理的凝聚。這種“凝聚”是必要的、必需的，它能有效地指導(dǎo)學(xué)生的外在運(yùn)算。在教學(xué)時(shí)，教師要注意算法的構(gòu)建，使學(xué)生更好地理解算理，讓學(xué)生掌握相關(guān)的運(yùn)算策略、運(yùn)算技巧等。這些運(yùn)算策略、運(yùn)算技巧不依靠教師外在的灌輸，而依靠學(xué)生內(nèi)在的感悟。只有這樣，才能有效地提升學(xué)生的運(yùn)算能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。