發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的教學(xué)實(shí)踐與思考
——基于教材和試題研究的視角*

顏 波

(江蘇省張家港市教師發(fā)展中心 215600)

1 引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》[1]指出，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探究、合作交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷.初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的過程目標(biāo)著重強(qiáng)調(diào)了“經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究”等術(shù)語(yǔ).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》[2]指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展．同時(shí)，《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》[3]在創(chuàng)新教學(xué)組織管理部分也提出：“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動(dòng)式、啟發(fā)式、探究式、體驗(yàn)式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項(xiàng)目設(shè)計(jì)、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開展驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué).”現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造文明的成果，是一個(gè)探究和認(rèn)知的過程.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該基于課程標(biāo)準(zhǔn)的理念展示這一創(chuàng)造性活動(dòng).數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).多年來筆者一直努力踐行“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”教學(xué)，并在教學(xué)實(shí)踐中形成了些許思考，現(xiàn)結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐與思考整理成文，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

2 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的教學(xué)實(shí)踐

在人教A版教科書(2019年版)的主編寄語(yǔ)中有這么一段話：仔細(xì)閱讀教科書，用心揣摩每句話，搞懂每個(gè)例題，在探究、質(zhì)疑、反思中逐漸領(lǐng)悟概念及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，并用簡(jiǎn)明扼要的語(yǔ)言概括出來，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的升華.這個(gè)過程，貌似慢而實(shí)為快，在反復(fù)推敲中悟出學(xué)習(xí)竅門，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，進(jìn)而一通百通，由慢轉(zhuǎn)快，這樣的快是真快，是無(wú)后顧之憂的快，是充滿智慧的快.

2.1 挖掘數(shù)學(xué)教材的文本內(nèi)容來實(shí)施探究教學(xué)

從教學(xué)實(shí)踐來看，教材中適合數(shù)學(xué)探究的問題很多，可以將教材中的數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)、定理等作為探究問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的過程性探究，也可以將教材中典型例、習(xí)題等作為基本探究問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移性探究.

案例1探究與發(fā)現(xiàn)：祖暅原理與柱體、錐體的體積

在研究了柱體與錐體體積之后，可以提出猜想：球的體積如何推導(dǎo)？

師:將半球(圖1)放在平面M上，距底面M為x(0≤x≤r)的截面圓面積為π(R2-x2)=πR2-πx2．由此分析一下，應(yīng)構(gòu)造什么樣的幾何體？

生:面積為πR2-πx2的圖形可以是一個(gè)圓環(huán)，該圓環(huán)外圓半徑為定值R、內(nèi)圓半徑為x，當(dāng)x由0增大到R時(shí)，內(nèi)圓逐漸變大.因此，構(gòu)造的幾何體應(yīng)該是一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面、下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后所得的幾何體(圖1).

師(繼續(xù)提問)：旋轉(zhuǎn)體的母線是拋物線y=x2(0≤y≤H)的一部分，y軸為旋轉(zhuǎn)軸，探討該旋轉(zhuǎn)體的體積.

案例2基本不等式的應(yīng)用——求最值(復(fù)習(xí)課)

這是筆者開設(shè)過的一節(jié)市級(jí)公開課，借助課本上的例、習(xí)題變式教學(xué)示范引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探究問題，從而達(dá)到降低試題的“厚度”與“廣度”，讓學(xué)生深刻把握知識(shí)本質(zhì).本節(jié)主要凸顯基本不等式在求最值中的應(yīng)用.在“一正二定三等”這六字中最難的應(yīng)該是“定”，它蘊(yùn)含了構(gòu)造的方法，教學(xué)中往往被過早的換元技巧講解淡化了，影響學(xué)生對(duì)整體構(gòu)造的理解.筆者根據(jù)課本題進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：

生：為了體現(xiàn)正數(shù)，需要a與b同號(hào).

學(xué)生經(jīng)過教師點(diǎn)撥以及小組合作，得到如下問題：

由課本題出發(fā)，通過設(shè)計(jì)一個(gè)變式讓學(xué)生充分理解應(yīng)用基本不等式求最值的三個(gè)要素，其中核心要素是定值的應(yīng)用．那么定值的關(guān)鍵在于構(gòu)造，教學(xué)中沒有過早用換元法介入，而是讓學(xué)生初步感受整體思想的應(yīng)用，領(lǐng)悟換元法的本質(zhì).然后基于變式的思想鼓勵(lì)學(xué)生自主設(shè)計(jì)問題，從而可以得到一組試題，進(jìn)一步以基本模型的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，通過代換重新得到一組問題；接著繼續(xù)設(shè)置問題，讓學(xué)生自主探究一個(gè)經(jīng)典模型，打破了教學(xué)中對(duì)“1”的代換的理解．這樣設(shè)計(jì)的探究教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過變式探究加強(qiáng)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，也通過變式教學(xué)逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主探究．

2.2 通過對(duì)試題的研究與開發(fā)來實(shí)施探究教學(xué)

高中每學(xué)期的期末試題、高三的歷次?？碱}以及高考題都有很高的研究和開發(fā)價(jià)值，代表了命題專家的研究水平．一線教師應(yīng)該通過對(duì)試題的開發(fā)研究引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)研究試題，從而避免就題論題的現(xiàn)象，也加深學(xué)生對(duì)試題的理解，這樣才能夠深刻領(lǐng)悟知識(shí)本質(zhì).試題凝結(jié)著命題人的心血和智慧，深入學(xué)習(xí)、研究試題，探究其一般結(jié)論或改編其結(jié)構(gòu)產(chǎn)生“新”的問題，能有效提升教師的解題能力和研究水平，同時(shí)可以帶動(dòng)學(xué)生對(duì)試題的探究，從而培養(yǎng)起探究數(shù)學(xué)問題的興趣.基于這樣的觀點(diǎn)，筆者嘗試從一道?？碱}出發(fā)組織教學(xué)，以便激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí).

案例3(?？碱}講評(píng))已知拋物線M:y2=4x.過點(diǎn)(0，1)的直線l與拋物線M交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)F(-1，0)的直線FP，F(xiàn)Q與拋物線M分別交于點(diǎn)D(異于點(diǎn)P)，E(異于點(diǎn)Q)．證明：直線DE的斜率為定值.(學(xué)生解答后，提煉本題的思想核心，然后提出如何設(shè)置問題對(duì)本題進(jìn)行探究.)

合作探究1 將點(diǎn)F(-1，0)換成F(1，0)，那么直線DE的斜率為定值嗎？

思考：已知拋物線M:y2=4x，F(xiàn)(-1，0).斜率為1的直線l與拋物線交于點(diǎn)D，E，直線DF,EF分別與拋物線交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)D)，Q(異于點(diǎn)E).證明：直線PQ恒過定點(diǎn).

合作探究4 將F(-1，0)改為F(1，0)，可得直線PQ恒過定點(diǎn)(0，1).

合作探究5 已知拋物線M:y2=4x，F(xiàn)(a，0).斜率為m的直線l與拋物線交于點(diǎn)D，E，直線DF,EF分別與拋物線交于點(diǎn)P(異于點(diǎn)D)，Q(異于點(diǎn)E)．證明：直線PQ恒過定點(diǎn).(答案：直線PQ恒過定點(diǎn)(0，-am))

本題基于拋物線方程的結(jié)構(gòu)特征及拋物線上兩點(diǎn)間直線方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來設(shè)計(jì)教學(xué)，通過特殊到一般的改變問題引導(dǎo)學(xué)生探究試題．學(xué)生在共同合作下得到了一系列探究問題；繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從逆向的角度對(duì)問題進(jìn)行設(shè)計(jì)，繼續(xù)開展探究．從本題的效果看，學(xué)生感受到了問題探究的思路與方法，進(jìn)一步理解了知識(shí)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，從而學(xué)會(huì)了更好地解題.

(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點(diǎn).

通過解答此題，你可以有哪些探究？(給學(xué)生一周的時(shí)間思考)

結(jié)果收集如下：

針對(duì)新高考模式下開放題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)生分別從條件和結(jié)論出發(fā)設(shè)計(jì)了如下兩個(gè)探究：

在以下三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)填在橫線處進(jìn)行證明.

本題基于橢圓第三定義的理解以及斜率之積為定值與直線過定點(diǎn)兩個(gè)模型，引導(dǎo)學(xué)生探究本題，留給學(xué)生的時(shí)間較多，讓學(xué)生對(duì)本題深入研究并提出一些探究想法．在整個(gè)過程中學(xué)生的思維得到了激活，能力得到了鍛煉，研究興趣得到了激發(fā).

3 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力的幾點(diǎn)思考

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生積極探究

創(chuàng)設(shè)問題情境是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師通過營(yíng)造氛圍或提出預(yù)設(shè)問題，并使當(dāng)下的問題情境與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生矛盾沖突，學(xué)生憑借已有的知識(shí)不能獨(dú)立理解或解決這一矛盾沖突，必須用到新知識(shí)或新方法，從而產(chǎn)生對(duì)新知識(shí)或新方法學(xué)習(xí)的迫切愿望，進(jìn)而激發(fā)起強(qiáng)烈的求知欲．創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題情境的目的就是使學(xué)生明確數(shù)學(xué)探究的目標(biāo)，起到激疑誘思、打破原有認(rèn)知平衡的效能[4].只有當(dāng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣時(shí)，他們才能從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變到“我想學(xué)”，再到“我要學(xué)”.為了讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，教師在課堂上創(chuàng)設(shè)一些懸念和情景，啟發(fā)學(xué)生把生活中的現(xiàn)象與學(xué)習(xí)的內(nèi)容相結(jié)合,對(duì)之進(jìn)行探究和思考，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平時(shí)學(xué)習(xí)的知識(shí)對(duì)解決生活中的實(shí)際問題很有幫助，由此引起學(xué)生的注意，喚起學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的好奇心，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.精心備課、突出重點(diǎn)、找準(zhǔn)問題，課堂上留下足夠的時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)起來、有足夠的內(nèi)容讓學(xué)生動(dòng)起來，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，趣中生“疑”，讓學(xué)生在質(zhì)疑中發(fā)現(xiàn)問題，圍繞問題各抒己見、深入學(xué)習(xí).

3.2 營(yíng)造開放環(huán)境，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究

學(xué)習(xí)中開放的探究環(huán)境，需要教師轉(zhuǎn)變觀念．教學(xué)中經(jīng)常有教師認(rèn)為這是“浪費(fèi)時(shí)間”，其實(shí)不然，往往這樣的學(xué)生未來更有創(chuàng)造力，這樣的教學(xué)才符合課標(biāo)要求、才落實(shí)了國(guó)家教育要求.為此，創(chuàng)造開放的環(huán)境可以從如下幾方面入手：要善于培養(yǎng)“敢問”的學(xué)生,教師要讓學(xué)生深入分析并把握知識(shí)間的聯(lián)系，提出恰當(dāng)?shù)?、富有啟發(fā)性的問題,啟迪和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，同時(shí)用多種方法引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、分析、猜想、歸納、類比、聯(lián)想等思想方法主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、創(chuàng)造性地解決問題；要善于鼓勵(lì)“不同”的見解,引導(dǎo)學(xué)生廣開思路，重視發(fā)散思維，鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異,大膽探究;要善于看見“特別”的地方.在教學(xué)中，教師要注意發(fā)現(xiàn)并肯定學(xué)生的探究性成果，尤其應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的特別之處、高明之處,使學(xué)生探索的光華得以展現(xiàn)，使學(xué)生探究的自信心不斷增強(qiáng).布置“開放”的作業(yè)能有效幫助學(xué)生形成探究意識(shí).比如高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的實(shí)踐與探索部分常常被忽略，而恰恰是這種類型的作業(yè)更能激發(fā)學(xué)生的探究意識(shí).還有一些探究作業(yè)需要學(xué)生分工合作來進(jìn)行，并且沒有所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案.學(xué)生先要確立主題并主動(dòng)查閱資料，進(jìn)行內(nèi)容的篩選與整合.這種作業(yè)因?yàn)榕c生活和現(xiàn)實(shí)社會(huì)，甚至與科技發(fā)展緊密相連，所以能為學(xué)生創(chuàng)設(shè)廣闊的空間，對(duì)學(xué)生而言，更能激發(fā)他們的創(chuàng)造意識(shí)，每一步都是他們?nèi)碌奶剿?，真正達(dá)到以作業(yè)促探究.

3.3 組建興趣團(tuán)隊(duì)，培養(yǎng)學(xué)生合作探究

培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力是教師需要用心用智去完成的一項(xiàng)系統(tǒng)工程,它包括培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與合作興趣、敢于質(zhì)疑、積極創(chuàng)新、獲得成功體驗(yàn)、習(xí)得探究方法等多方面的內(nèi)容.教師應(yīng)結(jié)合教育實(shí)踐和理論學(xué)習(xí),循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力.課堂上，教師要教給學(xué)生合作探究的方法,如：人人發(fā)言、組內(nèi)展示，組長(zhǎng)匯總、組間分享，學(xué)生點(diǎn)評(píng)、教師點(diǎn)撥.學(xué)生可以在合作探究中獲取新知、獲得感悟、提高學(xué)習(xí)力.在學(xué)習(xí)過程中，我們不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究,而且要鼓勵(lì)創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，讓學(xué)生創(chuàng)造性地學(xué)習(xí).實(shí)際教學(xué)中，作為教師，要善于提升學(xué)生“自學(xué)”的能力，讓學(xué)生能用科學(xué)的方法主動(dòng)探求知識(shí)，讓他們成為敢于質(zhì)疑問難、個(gè)性充分發(fā)展的學(xué)習(xí)的主人.在提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中，教師要發(fā)揮好主導(dǎo)作用，教師需要經(jīng)常啟發(fā)、適時(shí)點(diǎn)撥、積極引導(dǎo)，需要長(zhǎng)期、有計(jì)劃地進(jìn)行培養(yǎng)．這樣的教學(xué)方式才可以激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生探究能力，開展創(chuàng)造性的學(xué)習(xí).