解析幾何中非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問(wèn)題的多層次轉(zhuǎn)化

黃森霞

(江蘇省常熟中學(xué) 215516)

解析幾何的圖形本身具有高度對(duì)稱的特點(diǎn)，但是在解析幾何問(wèn)題中，往往會(huì)出現(xiàn)一些非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，比如在處理定點(diǎn)定值這一類問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到結(jié)構(gòu)不對(duì)稱、圖形動(dòng)態(tài)軌跡不對(duì)稱等問(wèn)題．“非對(duì)稱”是指圖形或物體相對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或者平面而言，在內(nèi)容、大小、形狀和排列上具有差異性．如何將不對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題，是解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵．

下面是一道以定值問(wèn)題為背景的解析幾何題，筆者在一次課上嘗試從三個(gè)不同的層次將其轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理．

1 問(wèn)題

圖1

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2 層次1——對(duì)于韋達(dá)定理非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化

方法1 和積轉(zhuǎn)化，整體消元

評(píng)注在目標(biāo)式中，出現(xiàn)了兩根的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，不能直接代入韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算，此方法是借助于韋達(dá)定理的兩根之和與兩根之積的等量關(guān)系，先將積轉(zhuǎn)化為和，再與單獨(dú)的根合并后重新整合，以此達(dá)到整體消元的目的．其關(guān)鍵式子是λy1y2=μ(y1+y2)．

方法2 部分代換，整體消元

方法3 平方升冪，曲線代換

3 層次2——對(duì)于目標(biāo)式非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化

方法4 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，韋達(dá)定理

圖2

即轉(zhuǎn)化為求證k1k3為定值問(wèn)題．

方法5 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，方程同構(gòu)

方法6 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，構(gòu)造齊次

4 層次3——從結(jié)構(gòu)上直接進(jìn)行齊次轉(zhuǎn)化

方法7 轉(zhuǎn)化目標(biāo)，結(jié)構(gòu)齊次

5 回顧與反思

對(duì)于本題非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的處理上，三個(gè)層次層層遞進(jìn).

第一層次是針對(duì)運(yùn)算過(guò)程中的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的式子，如何利用韋達(dá)定理的對(duì)稱性或者橢圓方程的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之出現(xiàn)對(duì)稱的可用韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)形式．這一層次的思維要求并不高，適合所有聯(lián)立方程后的韋達(dá)定理不可用的轉(zhuǎn)化，其難點(diǎn)是在計(jì)算中運(yùn)算量較大，需要有一定的計(jì)算功底．

第二層次是從問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā)，對(duì)于目標(biāo)式不對(duì)稱的原因進(jìn)行思考，只要將其轉(zhuǎn)化為一條直線與圓錐曲線相交的兩點(diǎn)，那么目標(biāo)式必然是對(duì)稱的，而在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中需利用圓錐曲線圖形的對(duì)稱性.橢圓上關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線的斜率之積為定值，剛好可以轉(zhuǎn)化到目標(biāo)式的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)，然后只要正常聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理即可達(dá)到目的．這一層次需要抓住圓錐曲線的本質(zhì)，對(duì)其常見(jiàn)結(jié)論有一定的了解，才能順利轉(zhuǎn)化，計(jì)算量相對(duì)減?。?/p>