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    解析幾何中非對(duì)稱結(jié)構(gòu)問(wèn)題的多層次轉(zhuǎn)化

    2023-03-20 09:49:44黃森霞
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2023年3期
    關(guān)鍵詞:韋達(dá)消元非對(duì)稱

    黃森霞

    (江蘇省常熟中學(xué) 215516)

    解析幾何的圖形本身具有高度對(duì)稱的特點(diǎn),但是在解析幾何問(wèn)題中,往往會(huì)出現(xiàn)一些非對(duì)稱結(jié)構(gòu),比如在處理定點(diǎn)定值這一類問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到結(jié)構(gòu)不對(duì)稱、圖形動(dòng)態(tài)軌跡不對(duì)稱等問(wèn)題.“非對(duì)稱”是指圖形或物體相對(duì)某個(gè)點(diǎn)、直線或者平面而言,在內(nèi)容、大小、形狀和排列上具有差異性.如何將不對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題,是解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵.

    下面是一道以定值問(wèn)題為背景的解析幾何題,筆者在一次課上嘗試從三個(gè)不同的層次將其轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理.

    1 問(wèn)題

    圖1

    (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    2 層次1——對(duì)于韋達(dá)定理非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化

    方法1 和積轉(zhuǎn)化,整體消元

    評(píng)注在目標(biāo)式中,出現(xiàn)了兩根的非對(duì)稱結(jié)構(gòu),不能直接代入韋達(dá)定理進(jìn)行運(yùn)算,此方法是借助于韋達(dá)定理的兩根之和與兩根之積的等量關(guān)系,先將積轉(zhuǎn)化為和,再與單獨(dú)的根合并后重新整合,以此達(dá)到整體消元的目的.其關(guān)鍵式子是λy1y2=μ(y1+y2).

    方法2 部分代換,整體消元

    方法3 平方升冪,曲線代換

    3 層次2——對(duì)于目標(biāo)式非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化

    方法4 轉(zhuǎn)化目標(biāo),韋達(dá)定理

    圖2

    即轉(zhuǎn)化為求證k1k3為定值問(wèn)題.

    方法5 轉(zhuǎn)化目標(biāo),方程同構(gòu)

    方法6 轉(zhuǎn)化目標(biāo),構(gòu)造齊次

    4 層次3——從結(jié)構(gòu)上直接進(jìn)行齊次轉(zhuǎn)化

    方法7 轉(zhuǎn)化目標(biāo),結(jié)構(gòu)齊次

    5 回顧與反思

    對(duì)于本題非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的處理上,三個(gè)層次層層遞進(jìn).

    第一層次是針對(duì)運(yùn)算過(guò)程中的非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的式子,如何利用韋達(dá)定理的對(duì)稱性或者橢圓方程的對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之出現(xiàn)對(duì)稱的可用韋達(dá)定理的結(jié)構(gòu)形式.這一層次的思維要求并不高,適合所有聯(lián)立方程后的韋達(dá)定理不可用的轉(zhuǎn)化,其難點(diǎn)是在計(jì)算中運(yùn)算量較大,需要有一定的計(jì)算功底.

    第二層次是從問(wèn)題的本質(zhì)出發(fā),對(duì)于目標(biāo)式不對(duì)稱的原因進(jìn)行思考,只要將其轉(zhuǎn)化為一條直線與圓錐曲線相交的兩點(diǎn),那么目標(biāo)式必然是對(duì)稱的,而在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中需利用圓錐曲線圖形的對(duì)稱性.橢圓上關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線的斜率之積為定值,剛好可以轉(zhuǎn)化到目標(biāo)式的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)稱結(jié)構(gòu),然后只要正常聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理即可達(dá)到目的.這一層次需要抓住圓錐曲線的本質(zhì),對(duì)其常見(jiàn)結(jié)論有一定的了解,才能順利轉(zhuǎn)化,計(jì)算量相對(duì)減?。?/p>

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