兩道上海高中自招平面幾何題的解析與思考

李鐘全

(江蘇省南京市中華中學(xué) 210019)

1 背景簡(jiǎn)介

上海高中自主招生考試是由上海各所高中自主命題的入學(xué)考試，主要為了招收學(xué)有特長(zhǎng)和有潛力的學(xué)生．自主招生考試主要考查的是學(xué)科知識(shí)，有的學(xué)校還設(shè)置了面試環(huán)節(jié)．理科自招題型較為偏競(jìng)賽題，題目新穎且拓展性強(qiáng)，部分?jǐn)?shù)學(xué)、物理題涉及高中內(nèi)容，類似于某些城市的特長(zhǎng)生招生考試．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)解讀》中指出：在目前的高中數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)成為密切聯(lián)系的整體，這是將“幾何與代數(shù)”作為主線的主要原因．在小學(xué)、初中以及高中，需要學(xué)習(xí)很多圖形，對(duì)這些圖形可以從以下幾個(gè)方面整體把握：幾何圖形分類、圖形研究基本問(wèn)題、研究圖形基本思想方法、幾何直觀——形數(shù)結(jié)合[1]．這些內(nèi)容主要涉及平面向量、復(fù)數(shù)、立體幾何模型、空間向量、解析幾何等單元體系，而這些知識(shí)主要是與初中平面幾何相聯(lián)系展開研究，其中尤以圓為背景的問(wèn)題居多．本文剖析以下兩道典型試題．

2 典例分析

圖1

分析對(duì)于這類圖形具有對(duì)稱性的問(wèn)題，幾何法與代數(shù)法應(yīng)該都是行之有效的方法．先嘗試用幾何法分析：本題已知條件是三角形內(nèi)一個(gè)點(diǎn)至三頂點(diǎn)的距離，類似于費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題中三個(gè)距離之和的最小值，故可以嘗試運(yùn)用證明費(fèi)馬點(diǎn)的方法，通過(guò)旋轉(zhuǎn)三角形構(gòu)造全等去求解．

說(shuō)明 本題也可以將△CDB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，處理方法大致相同，讀者可自己嘗試．

圖2

圖3

點(diǎn)評(píng)本題是一道非常簡(jiǎn)約的初中平面幾何問(wèn)題，但非常巧妙地銜接了初、高中的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法．其中幾何法中滲透了射影幾何中旋轉(zhuǎn)變換的觀點(diǎn)，非常巧妙．代數(shù)法運(yùn)用勾股定理(余弦定理)將幾何問(wèn)題代數(shù)化，化為邊的方程組，通過(guò)方程思想求解．最后結(jié)合平面幾何相關(guān)定理，運(yùn)用解析法巧妙地求出點(diǎn)的位置即為半徑大小，體現(xiàn)解析幾何的核心思想．本題的解法圍繞圓這一核心內(nèi)容觸類旁通，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等重要核心思想．本題非常巧妙地考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，對(duì)于一道初升高自主招生題來(lái)說(shuō)具有較好的選拔功能．

思考在初中平面幾何教學(xué)中教師會(huì)教授許多相似的構(gòu)型，如順相似、逆相似、旋轉(zhuǎn)相似等．本題的解法1就是通過(guò)旋轉(zhuǎn)相似的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解．平面幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)重視基本圖形和結(jié)構(gòu)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)常見(jiàn)的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而為高中幾何的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)．

試題2如圖4，冬奧會(huì)期間甲、乙兩名滑冰運(yùn)動(dòng)員分別在圓形滑冰場(chǎng)的⊙O點(diǎn)A，B處，OB=20 m,OA=15 m,且OA⊥OB．乙以5 m/s的速度從點(diǎn)B沿著圓形滑冰場(chǎng)⊙O邊順時(shí)針?lè)较蚧?，在乙離開點(diǎn)B的同時(shí)，甲也以5 m/s的速度從點(diǎn)A沿著一條直線滑行，這條直線能使甲、乙在給定速度下最早相遇，則最早相遇的時(shí)間在( )(s)內(nèi)[3]．

圖4

A.(0,5) B.(5,6) C.(6,7) D.(7,10)

由相交弦定理知AC·AC1=AD·AD1，則(AC-AC1)2=(AC+AC1)2-4AC·AC1<(AD+AD1)2-4AD·AD1=(AD-AD1)2．顯然AC-AC1>0，AD-AD1>0，故AC-AC1

①+②得AC

由ABt≥AB=25，得t≥5，則乙至少滑行了25 m．

從而t<7，所以答案選C．

圖5

點(diǎn)評(píng)本題是一道以圓為背景的上海高中自招題，學(xué)生易從圖形角度分類討論去發(fā)現(xiàn)范圍．若運(yùn)用高中方法，則滲透了高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的核心能力與思想方法——等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程，而且作為證明過(guò)程也非常嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與邏輯推理等核心素養(yǎng)．可見(jiàn)多角度分析問(wèn)題能夠全面綜合提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及素養(yǎng)．

思考在教學(xué)中教師要帶領(lǐng)學(xué)生熟悉與圓相關(guān)的基本模型和結(jié)論，如本題解法1中用到了相交弦定理．除此之外，我們還要讓學(xué)生熟悉并常用圓冪定理(切割線定理等)．解法2中運(yùn)用的余弦定理和求導(dǎo)的方法是高中用于處理與圖形有關(guān)的邊角關(guān)系最值的常見(jiàn)做法，教師不能回避或淡化該類方法，而應(yīng)選擇和學(xué)生一起分析求解過(guò)程，為學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升提供必要的支持．

3 結(jié)束語(yǔ)

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出：高考考查特別重視“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”的“四層”考查內(nèi)容，其中“關(guān)鍵能力”是支撐和反映學(xué)生專業(yè)素質(zhì)特點(diǎn)的基本才能體現(xiàn)．關(guān)鍵能力中第三方面就是包含了所有重要思維能力的思維學(xué)習(xí)知識(shí)能力群，主要分為形象和抽象思維能力、綜合歸納能力、演繹與推理能力、批判思維能力、辯證與統(tǒng)一綜合能力等[4]．在筆者看來(lái)，獨(dú)立、有創(chuàng)造性地思考是首要能力，能夠多視角、發(fā)散地、逆向地解決問(wèn)題，就需要我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)通過(guò)一題多解、正反分析論證、變式探究等途徑加以落實(shí)．好的高考、自招和競(jìng)賽題就擔(dān)負(fù)了如此的任務(wù)和功效，它要求學(xué)習(xí)者發(fā)掘新問(wèn)題、使用新辦法、處理新問(wèn)題、得出新結(jié)果．學(xué)生若能不斷反思總結(jié)自身解決新問(wèn)題的過(guò)程，必然能達(dá)到中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系的要求，以適應(yīng)并達(dá)到高校通過(guò)強(qiáng)基計(jì)劃、自主招生選拔優(yōu)秀人才的需要．

初中平面幾何的教學(xué)，要讓學(xué)生明白什么是“嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)”，什么是嚴(yán)密的邏輯推理．邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)要滲透、貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程．在高中學(xué)習(xí)內(nèi)容板塊(函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與探究)的概念、命題、證明等教學(xué)過(guò)程中，都應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有邏輯地思考、表述、交流問(wèn)題，不斷全面提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．