整合教材資源，優(yōu)化課堂教學

梁慧慧　徐爭　楊光偉

［摘? 要］ 有理數(shù)的乘法法則既是教學的重點，也是數(shù)學的難點. 文章通過比較四版本教材中“有理數(shù)的乘法法則”這一內(nèi)容的編寫方式，以人教版教材為基礎，并整合其他版本教材的課程資源，進而提出優(yōu)化的教學設計.

［關鍵詞］ 有理數(shù)的乘法法則；教材整合；教學設計；優(yōu)化教學

教材是教師實現(xiàn)教學目標、實施課堂教學的重要資源，教師對教材的理解和把握直接影響課堂教學的效果. 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：教師應創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材［1］. 《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》也指出：教材素材的選取應盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，以利于學生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程，發(fā)展抽象能力、推理能力［2］. 當前，初中數(shù)學教材各版本秉承“一標多本”的宗旨，凸顯編者對課程標準的理解與把握，以各自鮮明的特點體現(xiàn)課程標準的理念與要求，為教師的課堂教學提供了較大的選擇空間，也為整合各版本教材優(yōu)勢、優(yōu)化課堂教學提供了可能.

有理數(shù)乘法是繼有理數(shù)的加減法之后的又一種基本運算，其既是有理數(shù)運算的深入，又是進一步學習有理數(shù)除法、乘方的基礎，對后續(xù)代數(shù)學習也具有至關重要的作用，因此該內(nèi)容是教學的重點. 同時，“負負得正”的符號運算法則的教學也是“世界性的難題”，其不像正數(shù)的乘法那樣有比較明顯的現(xiàn)實意義，對學生來說較為抽象［3］，因此也是教學的難點. 鑒于此，文章對初中數(shù)學現(xiàn)行的四版本教材中“有理數(shù)的乘法法則”這部分內(nèi)容進行對比分析，取各家之長，整合設計，從而達到優(yōu)化課堂教學的目的.

教材內(nèi)容編寫與安排的分析

選取人教版［4］、浙教版［5］、蘇科版［6］、北師大版［7］四個版本的初中數(shù)學教材為研究對象，“有理數(shù)的乘法法則”均位于四版本教材中“有理數(shù)的乘法”的第1課時，該內(nèi)容在課程標準中的教學目標為：掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算（以三步以內(nèi)為主）；能運用有理數(shù)的運算解決簡單的問題［1］.

1. 課堂引入的比較與分析

浙教版、北師大版 設置水位變化的現(xiàn)實情境，將水位的變化過程數(shù)學化，分別用正、負表示水位的上升與下降，引出兩個正數(shù)相乘、一負一正兩個數(shù)相乘的情況，并引導學生回顧小學所學乘法的意義，把乘法看作相同數(shù)字之和來解決問題.

蘇科版 同樣設置水位變化的現(xiàn)實情境，引導學生借助生活經(jīng)驗得出水位變化結(jié)果.

人教版 類比有理數(shù)的加法，指出引入負數(shù)后將產(chǎn)生新的乘法運算規(guī)則，并提出如何進行運算的問題.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提到：教材應為學生提供豐富的問題情境［2］. 各版本教材的引入方式不盡相同，主要包括復習舊知和創(chuàng)設情境. 人教版從學生已有認知水平出發(fā)，力求引發(fā)學生認知沖突，激發(fā)學生對新知的探究欲望. 其他三版教材選擇學生身邊實例為學習素材，使有理數(shù)的乘法運算得到具體形象的支撐，同時又體現(xiàn)了數(shù)學在現(xiàn)實生活中的重要性.

2. 法則探究的比較與分析

人教版 設置三個“思考”，引導學生觀察算式的因數(shù)與積的變化規(guī)律，若按照原有的運算規(guī)律仍然成立則填寫運算結(jié)果，并分別從符號和絕對值兩個角度歸納“正數(shù)×正數(shù)”“正數(shù)×負數(shù)”“負數(shù)×正數(shù)”以及“負數(shù)×負數(shù)”的計算規(guī)則，最后總結(jié)出有理數(shù)的乘法法則.

北師大版 先采用水位變化的現(xiàn)實模型進行探究，在水庫水位隨時間變化的情境中，分別用正、負表示水位的上升與下降，借助乘法的意義列式計算，得到“正正相乘”和“異號兩數(shù)相乘”的規(guī)則. 在“負負相乘”的運算規(guī)則探究中，北師大版與人教版所用方法相同，均是通過計算、找規(guī)律、推廣規(guī)律得出結(jié)論.

浙教版 同樣先采用水位變化的現(xiàn)實模型進行探究，得到“正正相乘”和“負正相乘”的運算規(guī)則；再結(jié)合相反數(shù)的性質(zhì)進行探究，在比較3×2=6與（-3）×2=-6的基礎上，啟發(fā)學生悟出中間結(jié)論：改變相乘兩數(shù)中一個數(shù)的符號，其積變?yōu)樵瓉矸e的相反數(shù)；最后將中間結(jié)論應用到3×（-2）與（-3）×（-2）的計算中，進而歸納出有理數(shù)的乘法法則.

蘇科版 運用水位變化的現(xiàn)實模型進行探究，用正、負表示水位的上升與下降以及幾天后的水位與幾天前的水位，引導學生結(jié)合生活經(jīng)驗得出變化結(jié)果，并把變化過程與結(jié)果數(shù)學化，分別得到（+4）×（+3）=+12，（+4）×（-3）=-12，（-4）×（+3）=-12和（-4）×（-3）=+12四個等式，進而從符號和絕對值兩個角度歸納有理數(shù)的乘法法則.

“有理數(shù)的乘法法則”是為了在數(shù)系擴充時，保持運算律的一致性而做出的合理規(guī)定［8］. 但初一學生的認知水平有限，因此可讓學生通過經(jīng)歷法則的探索過程，體會規(guī)則的合理性. 四版本教材得到法則途徑主要有兩種，即借助數(shù)學規(guī)律和借助現(xiàn)實情境. 借助數(shù)學規(guī)律，如人教版和北師大版借助的幾個相同負數(shù)的和的規(guī)律，浙教版借助的相反數(shù)規(guī)律；借助現(xiàn)實情境，如蘇科版、浙教版和北師大版的水位變化. 四版本教材各有利弊，北師大版未對“正數(shù)×負數(shù)”進行探究，只探究“負正相乘”就歸納出了異號兩數(shù)相乘的運算規(guī)則，直接默認了有理數(shù)的乘法滿足交換律，但邏輯上“法則規(guī)定在前，交換律滿足在后”；蘇科版采用現(xiàn)實情境，其意圖是為學生提供直觀解釋，但涉及時間和空間兩個維度的正負，對學生抽象思維能力要求較高［9］；浙教版探究中起關鍵作用的是中間結(jié)論，但學生不免產(chǎn)生疑惑，僅由“正數(shù)×正數(shù)”和“負數(shù)×正數(shù)”所得的中間結(jié)論是否具有一般性呢？人教版實質(zhì)上是運用了乘法分配律，弗賴登塔爾稱之為“歸納外推法”，也是運算系統(tǒng)“和諧性的模式直觀”［10］，但實踐證明由于初一學生的認知水平有限，直接應用歸納外推法，他們不易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律［11］，因此，筆者認為可以將其他三個版教材中有理數(shù)乘法教學的現(xiàn)實模型的直觀與人教版內(nèi)有理數(shù)乘法法則探究過程進行融合，從而降低學生的探究難度.

3. 運算步驟演示的比較與分析

浙教版、北師大版、蘇科版 均未獨立設置運算步驟的演示.

人教版 給出兩個應用有理數(shù)乘法法則進行計算的算式作為運算范例，分別為（-5）×（-3）和（-7）×4，并從符號和絕對值兩個角度標注應用有理數(shù)乘法法則進行計算的關鍵步驟.

筆者了解到即使教材中未單獨說明有理數(shù)乘法運算的具體步驟，教師在教學中也會明確說明并進行演示. 但筆者認為本節(jié)課最重要的是要落實到按照法則進行乘法運算上，教材的演示說明更能讓學生明確按照運算法則進行計算的關鍵步驟，從而掌握運算法則的應用技巧.

4. 倒數(shù)概念形成的比較與分析

學生在小學階段已經(jīng)學過非負數(shù)范圍內(nèi)倒數(shù)的概念，而在有理數(shù)范圍內(nèi)倒數(shù)的概念與之前學過的倒數(shù)概念一致，學生不難掌握，因此筆者認為無須舉過多例子進行概念生成.

5. 例題和習題安排的比較與分析

例題的編寫在某種程度上能反映編者對教學重點、難點的把握［12］. 四版本教材在例題設計上均以兩個負有理數(shù)的乘法運算為主，可見有理數(shù)的乘法法則是教學的重點，兩個負有理數(shù)的乘法法則是教學的難點. 有理數(shù)的運算練習需保證一定的量，注意各題型之間的互補，避免枯燥訓練. 從數(shù)量來看，無論是例題還是習題，蘇科版都最少；從形式來看，人教版中習題的形式是最多的（見表1）.

整合多版本教材的教學設計

在對比研讀四個版本教材的基礎上，筆者以人教版為母版，整合各版本教材進行以下教學設計.

1. 創(chuàng)設情境，引入新知

（1）近幾天上虞區(qū)普降大雨，曹娥江的水位每天升高3厘米，請問4天后，江水上漲了多少厘米？

（2）雨過天晴，江水開始回落，水位每天下降3厘米，請問4天后水位下降了多少？

如果用正號表示水位上升，負號表示水位下降，你能列式計算嗎？

設計意圖 為了克服人教版的探究過于形式化的缺點，借鑒浙教版和北師大版，以真實問題情境為切入點，引導學生從水位變化的情境中抽象出數(shù)學算式. （1）列式為3×4，（2）列式為（-3）×4，通過復習小學所學的乘法意義進行運算.

2. 觀察歸納，探究新知

自主探究1：嘗試計算下列算式的結(jié)果.

3×3=______ （-1）×3=______

2×3=______ （-2）×3=______

1×3=______ （-3）×3=______

0×3=______

（1）觀察這些乘法算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）從符號和絕對值兩個角度觀察這些算式，你能得出什么結(jié)論？

設計意圖 借鑒人教版進行探究，構造一組形如□×3的算式，讓學生通過把乘法看作相同數(shù)字之和得出結(jié)果，并引導學生在自主探究的基礎上概括出“隨著前一乘數(shù)逐次遞減1，積逐次減3”這一變化規(guī)律，一方面讓學生直觀感受到該規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立，另一方面為后續(xù)探究做好鋪墊，讓學生知道如何觀察、如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 教師引導學生從符號和絕對值兩個角度觀察算式，學生通過小組合作發(fā)現(xiàn)“正數(shù)乘正數(shù)，積是正數(shù)；負數(shù)乘正數(shù)，積是負數(shù). 積的絕對值等于各乘數(shù)絕對值的積”的結(jié)論，從而得到具體兩類情況的結(jié)果，既降低了歸納概括的難度，也為后面的探究學習奠定了基礎.

自主探究2：計算下列算式的結(jié)果.

3×3=______ 3×1=______

3×2=______ 3×0=______

（1）類比上述過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）要使上述規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立，你認為下列橫線上應該填什么數(shù)？

3×（-1）=______

3×（-2）=______

3×（-3）=______

（3）類比自主探究1與自主探究2，從符號和絕對值兩個角度觀察這些算式，你能得出什么結(jié)論？

設計意圖 在自主探究1的基礎上，構造一組形如3×□的算式，學生通過模仿獨立解決三個小題，并進一步概括法則“異號兩數(shù)相乘，積的符號為負，積的絕對值為各乘數(shù)絕對值的積”，既使學生感受法則的合理性，又培養(yǎng)學生類比推理、歸納概括的能力.

自主探究3：結(jié)合自主探究1的結(jié)論，計算下列算式.

（-3）×4=_____ （-3）×3=_____

（-3）×2=_____ （-3）×1=_____

（1）觀察這些式子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）按照上述規(guī)律，下面的橫線上可以各填什么數(shù)？

（-3）×0=_________

（-3）×（-1）=______

（-3）×（-2）=______

（-3）×（-3）=______

（3）類比自主探究1、2、3，從符號和絕對值兩個角度觀察這些算式，你能得出什么結(jié)論？

設計意圖 自主探究3是在自主探究1和自主探究2的基礎上拾級而上. 讓學生在“使這個規(guī)律在引入負數(shù)后仍然成立”的指引下，根據(jù)前面的經(jīng)驗，獨立歸納、概括“負數(shù)乘負數(shù)，積是正數(shù)”的結(jié)論，培養(yǎng)學生類比、歸納等數(shù)學關鍵能力.

思考1：綜合上述結(jié)論，類比有理數(shù)的加法法則，你能試著歸納出有理數(shù)的乘法法則嗎？

設計意圖 教師給學生時間和空間去發(fā)現(xiàn)和探究，引導學生類比有理數(shù)的加法法則的歸納過程，從同號兩數(shù)、異號兩數(shù)、與零的運算三個維度歸納有理數(shù)的乘法法則，完成有理數(shù)的乘法法則的完整構建，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

思考2：若規(guī)定曹娥江的江水上漲為正、下降為負、幾小時后為正、幾小時前為負，如何用“水位變化速度、時間與變化量”解釋3×（-4）= -12，（-3）×（-4）=12，（-3）×0=0呢？

設計意圖 借鑒蘇科版，但不同的是此時現(xiàn)實情境的功能不是幫助學生提煉法則，而是在法則明晰的情況下，理解有理數(shù)的乘法法則的現(xiàn)實意義，幫助學生從現(xiàn)實情境角度感知抽象的數(shù)學法則，更好地理解法則的合理性.

思考3：類比有理數(shù)加法的運算步驟，應用有理數(shù)的乘法法則進行計算時，應按照怎樣的步驟進行計算？你能舉例說明嗎？

設計意圖 借鑒人教版明晰運算步驟，先由學生獨立思考回答，后由教師選擇算式進行完整的演示，同時要求學生說出計算的依據(jù)，從而明確按照法則計算的關鍵步驟.

3. 例題講解，鞏固新知

設計意圖 選自浙教版和北師大版，通過一組不同層面、視角的算式計算，一方面檢測學生對有理數(shù)的乘法法則的掌握情況，規(guī)范解答格式，并給出有理數(shù)范圍內(nèi)互為倒數(shù)的規(guī)定；另一方面強化有理數(shù)的乘法法則中“符號”的問題，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，使學生形成對有理數(shù)乘法運算步驟的共性認知，發(fā)展學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng).

例2 用正負數(shù)表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負. 登山隊攀登一座山峰，每登高1 km氣溫的變化量為-6℃，攀登3 km后，氣溫有什么變化？

設計意圖 選自人教版，利用有理數(shù)乘法解決實際問題，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值.

例3 已知a，b是有理數(shù)，用“＞”或“＜”填空：

（1）如果a＞0，b＜0，那么a×b__0；

（2）如果a＜0，b＜0，那么a×b__0；

（3）a×b＞0，a+b＜0，那么a__0，b__0.

設計意圖 本例題由人教版第39頁的練習題改編而得，通過對乘法法則的字母表達式的變式應用，使乘法法則更具一般化，進一步鞏固乘法法則，同時讓學生感受分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想，提升學生的邏輯推理核心素養(yǎng).

4. 回顧反思，總結(jié)新知

（1）本節(jié)課我們學習了哪些內(nèi)容？有理數(shù)的乘法法則是什么？什么是倒數(shù)？如何求一個數(shù)的倒數(shù)？

（2）有理數(shù)乘法運算需注意什么？有理數(shù)乘法運算的基本步驟是什么？如何說明“負負得正”的合理性？

設計意圖 引導學生從知識內(nèi)容、學習過程兩個方面進行小結(jié)，培養(yǎng)學生的歸納能力和語言表達能力，以及善于反思的良好習慣，同時使學生品嘗收獲的喜悅，增強學習的信心.

5. 課后作業(yè)（略）

思考與啟示

1. 教師需接觸各具特色的教材

各版本教材雖在知識組織上基本一致，但在知識呈現(xiàn)方式和素材選取上各具特色. 各版本教材對于同一概念、定理，因其不同的背景實例、應用角度和呈現(xiàn)方式以及不同的例題和習題，均可帶來多角度的理解. 因此，要使教學成為極富創(chuàng)造性和個性化的活動，教師不應只是將教學內(nèi)容局限于固定版本的教材，而應廣泛取“材”，合理選“材”，并以選用版本教材為主，吸收其他版本教材的優(yōu)點進行二次開發(fā)、有機融合，從而優(yōu)化教學設計，達到優(yōu)化課堂教學的目的.

2. 教師需創(chuàng)造性地使用教材

崔允漷指出，教師不是教科書的執(zhí)行者，而是教學方案的開發(fā)者. 課程標準也指出，教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造［1］. 此外，美國學者研究表明，教師通常會以某種方式積極修改教科書中的內(nèi)容并進行創(chuàng)作［13］. 這就要求教師認真研讀課程標準，既要依據(jù)教材，理解教材，領會編者意圖，對教材所呈現(xiàn)的教學內(nèi)容進行深入分析，又要不拘泥于教材，能根據(jù)課程標準的基本要求以及學生的認知水平，充分利用地方資源、網(wǎng)上資料、優(yōu)秀課例等對教學內(nèi)容進行融合統(tǒng)整，實現(xiàn)最優(yōu)化教學，使教學素材既符合知識本身的邏輯結(jié)構，又符合學生的認知規(guī)律.

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