探究學(xué)生“錯誤”，優(yōu)化教學(xué)策略

張麗娟

［摘? 要］ 對于錯誤，部分教師常借助大量相似的練習(xí)題來幫助學(xué)生完成認(rèn)知體系的完善和解法的強(qiáng)化，以此提升解題準(zhǔn)確率. 但學(xué)生考試時錯誤依然會重現(xiàn)，可見借助練習(xí)題進(jìn)行知識的強(qiáng)化并不是最優(yōu)策略. 文章以“錯解”為出發(fā)點，重點剖析了錯因，并提出了一些行之有效的解決策略，以期通過教學(xué)方法的優(yōu)化幫助學(xué)生走出思維誤區(qū)，以此促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的優(yōu)化和解題能力的提升.

［關(guān)鍵詞］ 錯誤；錯因；解決策略

問題提出

高二上學(xué)期學(xué)習(xí)了“計數(shù)原理”，為了檢測學(xué)生對該知識點的掌握情況，在期中考試時筆者給出了這樣兩道題：

題1：把5個不同的掛墜分給5人，恰有1人沒有分到掛墜的不同方法有多少種？

題2：A，B，C，D，E站成一排，A不在排頭，B不在中間的不同排法有多少種？

這兩道題以學(xué)生熟悉的生活為背景，主要考查學(xué)生對排列組合和計算原理相關(guān)知識點的掌握情況，難度適中. 該類問題在新知教學(xué)時筆者重點講解過，也做過相當(dāng)多的練習(xí)，因此對于學(xué)生來說并不陌生.但是從試卷反饋來看，這兩道題的得分率并不高，學(xué)生解題時暴露出了多種典型錯誤.

對于題1，典型錯誤有以下幾種：

（1）先從5個掛墜中任選4個，分給5人中的4人，有C×A=600種分法；剩下的一個分給剛拿到掛墜的同學(xué)，所以有4種分法，故共有4×600=2400種分法.

（2）先從5個掛墜中任選2個，分給5人中的1人，有C×C=50種分法，再將余下的3個掛墜分給3人，有A=6種分法，故共有50×6=300種分法.

（3）恰有1人沒有拿到掛墜相當(dāng)于將5個掛墜分給4人，這樣先從5人中任選4人，有C種分法，而每個人又有5種分法，所以有54種分法，因此總共有C×54=3125種分法.

對于題2，典型錯誤有以下幾種：

（1）若A不在排頭，則A有4個位置；B不在中間，A站在4個位置中的1個，則B有3個位置，余下的可以站在其他任何位置，有A種排法，故共有4×3×A=72種排法.

（2）先不考慮特殊位置，共有A種排法，其中A在排頭有A種排法，B在中間有A種排法，于是共有A－2A=72種排法.

（3）若B在排頭，有A種排法；若B不在排頭，有A·C·A=72種排法，于是共有A+72=96種排法.

為了便于錯因梳理，筆者通過交流整理了一些典型錯誤，以期通過思維重現(xiàn)幫助學(xué)生找到錯因，這樣既可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能提升學(xué)生的解題能力.

錯因分析

從學(xué)生的實際反饋來看，解題時之所以錯誤率較高，主要有以下幾個原因：

1. 對計數(shù)原理的掌握不到位

在一些概念、公式和定理的教學(xué)中，部分教師急于求成，簡單地給出概念后就想借助“題?！睆?qiáng)化訓(xùn)練，這樣學(xué)生對概念、定理等基礎(chǔ)知識的掌握往往不夠牢固，因此應(yīng)用這些基礎(chǔ)知識解決問題時容易“張冠李戴”. 對于計數(shù)原理，它是學(xué)生解決計數(shù)問題最基本、最重要的依據(jù)，關(guān)鍵是讓學(xué)生理解“完成一件事”具體指什么，以何種方式來完成.

首先，解題時先讓學(xué)生設(shè)計好如何來“完成一件事”，而不是在沒有搞清楚這件事該如何完成的情況下就盲目套用，這樣容易因?qū)栴}理解不清而使學(xué)生解題時出現(xiàn)模棱兩可、含糊不清的情況. 例如對于題1，研究的對象為掛墜，即將掛墜全部分掉，且滿足其中4人都能分到掛墜，而在實際解題時，部分學(xué)生將研究的對象定為人，這樣就會出現(xiàn)幾個人分一個掛墜的情況，顯然與實際不符，即因為研究對象定位錯誤而造成了錯解，如錯解（3）.

其次，在“完成一件事”時要搞清楚是分類完成的，還是分步完成的.如果是分類完成的，就要做到不重復(fù)、不遺漏；如果是分步完成的，每步缺一不可，而且每步環(huán)環(huán)相扣，保證其完整性、統(tǒng)一性. 解題時，學(xué)生容易將以上兩種方法搞混淆，從而造成錯誤. 例如題1的錯解（2），將余下的3個掛墜分給3人，到底是哪3人呢？關(guān)鍵步驟的缺失，勢必造成錯解.

再次，部分學(xué)生不能從整體視角去分析問題，運(yùn)用分步原理解決問題時，因?qū)Σ脚c步之間的關(guān)系理解不清而出現(xiàn)重復(fù)和遺漏的情況. 例題2的錯解（1），先確定A有4種位置可站，若A站在中間，則B可以站在任意位置，所以B有4種位置可站，可見解題時出現(xiàn)了遺漏，而且第一步執(zhí)行對第二步造成了影響，因此這樣分步并不滿足分步原理中的每步都要做到相互獨立、互不影響的原則. 又如題1的錯解（1），若將前面兩步聯(lián)系在一起進(jìn)行分析，容易發(fā)現(xiàn)兩步中存在相同的方法數(shù)，如“將A，B，C，D，E中的A，B，C，D四個掛墜分別分給甲、乙、丙、丁4人，還有一個掛墜E分給甲”與“將B，C，D，E四個掛墜分別分給甲、乙、丙、丁4人，還有一個掛墜A分給甲”是同一種方法，顯然各步相互影響，這樣看似“有序”的結(jié)果出現(xiàn)了重復(fù).

可見，若對兩種計數(shù)原理掌握得不夠充分，極易產(chǎn)生重復(fù)和遺漏，使得看似有序的問題變得雜亂無章. 在教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生整體意識和全局意識的培養(yǎng)，讓學(xué)生掌握原理的真正內(nèi)涵.

2. 缺乏必要的認(rèn)知基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)知識間存在著一定的聯(lián)系，新知教授大多是學(xué)生原有認(rèn)知體系上的一種建構(gòu)和發(fā)展. 但排列組合問題較為特殊，它所研究的內(nèi)容與之前所學(xué)知識并無太多關(guān)系，加上排列組合問題較為抽象，解法靈活，對學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，同時學(xué)生又缺乏一定的解題經(jīng)驗，使得學(xué)生因缺乏必要的認(rèn)知基礎(chǔ)而找不到解題的突破口.

另外，排列組合問題大多以生活實際問題為背景，要求學(xué)生具有知識和解題經(jīng)驗的同時還要具有一定的生活經(jīng)驗. 但部分高中生的生活經(jīng)驗較為匱乏，使得他們因不能準(zhǔn)確理解題意而造成解題時生搬硬套，有時候還會出現(xiàn)定式思維. 例如題1，有部分學(xué)生認(rèn)為，只要確保5人中的4人有掛墜，然后將剩余的1個掛墜分給4人中的任意一人就能順利完成這件事. 可見，由于學(xué)生的定式思維使得解題出現(xiàn)了負(fù)遷移，最終影響了解題效果.

3. 轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)

轉(zhuǎn)化能力是學(xué)生順利解題所具備的基本能力和基本素養(yǎng)，由于同一問題往往有多種等價表征的方式，若學(xué)生解決問題時能夠有效地將問題向自己熟悉的內(nèi)容轉(zhuǎn)化，則可以化解問題的難度，同時通過類比相關(guān)或相似的問題找到合理的解決方案. 但實際解題時，部分學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識不強(qiáng)，很難等價轉(zhuǎn)化問題，不能有效地將已有的解題經(jīng)驗轉(zhuǎn)化成解題能力，無法完成知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)以及解題方法的正遷移，最終影響解題準(zhǔn)確率，這應(yīng)引起教師重視. 排列組合問題較為靈活，往往可以將同一命題等價轉(zhuǎn)化成多種形式，使得解法多樣化. 例如題1，“把5個不同的掛墜分給5人，恰有1人沒有分到”等價于“把5個不同的掛墜分給4人，其中1人有2個，其他每人1個”，還等價于“把5個不同的掛墜分給4人，每人至少有1個”. 做這樣的等價轉(zhuǎn)化后，學(xué)生自然知曉應(yīng)先分掛墜，有C種分法，再分人，有A種分法，從而借助等價轉(zhuǎn)化有效規(guī)避因研究對象不清而造成錯解.

教學(xué)策略的優(yōu)化

分析以上錯解不難發(fā)現(xiàn)，之所以學(xué)生解題會出現(xiàn)錯誤，與教師的“教”息息相關(guān). 該部分內(nèi)容具有一定的獨立性，其在高考中的占分比不高，因此并未引起師生的重視. 若想有效提升學(xué)生求解該部分試題的準(zhǔn)確率，教師應(yīng)重視兩個計數(shù)原理的教學(xué)，注重學(xué)生思維過程的展示和剖析，進(jìn)而通過思維的碰撞和交流，幫助學(xué)生夯實基礎(chǔ)，同時通過思想方法的提煉，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，讓學(xué)生能夠用發(fā)展的、全局的眼光去思考問題、分析問題，有效實施解題策略.

1. 抓好兩個計數(shù)原理的教學(xué)

縱觀排列組合整章內(nèi)容，兩個計數(shù)原理不單肩負(fù)著理論上的奠基作用，還體現(xiàn)著解題的重要思想方法，其是本章教學(xué)內(nèi)容的核心和靈魂，貫穿整個章節(jié)的始終，因此理應(yīng)引起師生重視. 但在實際教學(xué)中，有關(guān)兩個計數(shù)原理的教學(xué)不多，課時安排較少，部分教師并未帶領(lǐng)學(xué)生深入剖析計數(shù)原理，而是將太多精力放在解題方法和解題技巧的歸納總結(jié)上，這使得學(xué)生對計數(shù)原理的理解不夠深入，當(dāng)學(xué)生面對一些新的、復(fù)雜的問題時往往束手無策. 其實在教學(xué)中，若想讓學(xué)生真的學(xué)懂學(xué)會，應(yīng)淡化“題型技巧”的運(yùn)用，注重兩個計數(shù)原理的教學(xué)，幫助學(xué)生厘清“分步”和“分類”的區(qū)別，深刻揭示兩個計數(shù)原理的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從問題的本質(zhì)上去思考和解決問題，這樣一定可以達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

2. 注重學(xué)生思維過程的展示

排列組合與其他章節(jié)的內(nèi)容略有不同，其更具生活味、靈活性，題目稍加變化就能成為一道全新的問題，因此解題時基本沒有題型可以模仿；加上學(xué)生思維方式的差異，因此“完成一件事”的過程存在多樣性，解法多樣，就連錯解也是五花八門. 為了更好地理解學(xué)生，幫助學(xué)生分析具體存在的問題，教學(xué)中教師要給學(xué)生營造一個平等和諧的空間來展示思維過程，通過學(xué)生思維過程的剖析，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解知識，順利完成知識的內(nèi)化. 不過，在實際教學(xué)中，部分教師感覺高中課堂時間寶貴，學(xué)生的解題方法多種多樣，若讓學(xué)生一一展示則會消耗較多的時間，這樣難以保證教學(xué)計劃的有效實施，因此他們更愿意將一些典型試題和方法灌輸給學(xué)生，讓學(xué)生模仿，以此促使學(xué)生掌握相關(guān)的解題技能. 但從實際反饋可以看到，靠“灌輸”和“題?！辈⒉荒茏寣W(xué)生很好地掌握解題方法，解題時他們依然漏洞百出. 同時，由于學(xué)生的思維過程沒有呈現(xiàn)出來，因此教師未能很好地理解學(xué)生，學(xué)生對教師的解法也似懂非懂，久而久之就出現(xiàn)了“懂而錯”的現(xiàn)象. 為了改變這一現(xiàn)象，教師要為學(xué)生提供一定的空間和時間使其充分表達(dá)，通過互動交流讓學(xué)生更好地理解“如何分類”“如何分步”“分步是否完整”“分類是否缺漏”……通過多角度剖析原理，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 錯解往往蘊(yùn)含著豐富的信息，若能讓學(xué)生充分展示出來，有助于學(xué)生找到真正的錯因，有助于學(xué)生跳出思維誤區(qū)，提升學(xué)生解決問題的能力.

在教學(xué)中，教師要多為學(xué)生提供一些互動交流的機(jī)會，讓學(xué)生從不同的角度去思考問題，將有助于學(xué)生豐富解題經(jīng)驗，深化對問題的理解，同時通過交流可以有效拉近師生的距離，使課堂更具凝聚力.

3. 加強(qiáng)學(xué)生思維策略的指導(dǎo)

由于排列組合知識較為獨立，與其他高中數(shù)學(xué)知識沒有太多聯(lián)系，解法也別具一格，很難將已有知識和經(jīng)驗遷移至本章問題的探究中，因此學(xué)生的解題經(jīng)驗比較匱乏，這要求教師加強(qiáng)思維策略的指導(dǎo)，以此促進(jìn)學(xué)生分析問題和解決問題能力的提升. 不過，在實際教學(xué)中，部分教師過多強(qiáng)調(diào)解題技巧，過多關(guān)注特殊的解法，忽視對一些通性通法的探究，造成學(xué)生缺失普適性思維而使解題方法出現(xiàn)了局限性.

對于計數(shù)問題，應(yīng)關(guān)注以下思維策略的指導(dǎo).

（1）整體思考的策略

對于排列組合問題，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生站在整體的高度去思考，真正弄清楚要完成什么事情，如何完成，怎樣才算真正完成. 只有真正搞清楚問題的來龍去脈，學(xué)生才能設(shè)計出完整的、合理的解決問題的程序與步驟，進(jìn)而順利解決問題.

（2）正反結(jié)合的策略

同一問題往往具有不同的兩面，計數(shù)問題在這方面更為突出. 有時候，若從正面“選純法”無法找到解決問題的突破口，不妨換個角度，利用“去雜法”來求解，通過正反轉(zhuǎn)化來提升學(xué)生的解題效率，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

（3）化抽象為具體的策略

計數(shù)問題普遍較為抽象，學(xué)生理解起來較為困難，解題時思路容易混亂，從而出現(xiàn)遺漏和重復(fù). 在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過表格、樹狀圖等方式將思維過程更加直觀地展示出來，使問題向直觀化、具體化轉(zhuǎn)變，有利于問題的解決.

總之，教師不要過多地關(guān)注解題技巧，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生深入領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，掌握解決問題的通法，這樣學(xué)生才能在普適性思維策略的指導(dǎo)下找到合理的解決問題的方法，以此提升思維品質(zhì).