非飽和土的彈塑性本構(gòu)模型探討

摘要：目前大多數(shù)采用的是基于雙應(yīng)力變量來(lái)建立模型，主要是將凈應(yīng)力σ-ua和基質(zhì)吸力s作為兩個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量，建立非飽和土的彈塑性本構(gòu)模型。

關(guān)鍵詞：非飽和土；本構(gòu)模型；應(yīng)力應(yīng)變1BBM模型

土力學(xué)理論發(fā)展以來(lái)，最核心的問(wèn)題之一就是如何確定本構(gòu)關(guān)系［1］。目前從飽和狀態(tài)的土擴(kuò)展到非飽和狀態(tài)需要解決的最主要問(wèn)題是由含水率或吸力變化導(dǎo)致土體體積變化、強(qiáng)度變化和水利性質(zhì)發(fā)生變化，大多數(shù)采用的是基于雙應(yīng)力變量來(lái)建立模型，主要是將凈應(yīng)力σ-ua和基質(zhì)吸力s作為兩個(gè)獨(dú)立的狀態(tài)變量。而Alonso（1990）也是在此基礎(chǔ)上提出了最早的非飽和土本構(gòu)模型（BBM模型）。

在BBM模型的影響下，廣大學(xué)者在該模型基礎(chǔ)上拓展，相繼涌現(xiàn)出了很多非飽和土本構(gòu)模型，并且非飽和土本構(gòu)模型的研究也一度成為土力學(xué)的熱點(diǎn)之一［24］。BBM模型中最重要的是提出了兩條屈服線：一條是非飽和土屈服應(yīng)力隨吸力變化曲線， 簡(jiǎn)稱LC加載濕陷屈服線（Loading-collapse yield curve），由該曲線可預(yù)測(cè)非飽和土的濕化變形特性；另一條非飽和土體屈服是由吸力變化引起的，簡(jiǎn)稱吸力增加屈服線SI （Suction Increase），把該兩條屈服線同時(shí)繪制在坐標(biāo)軸中并與坐標(biāo)軸所圍的區(qū)域稱之為彈性區(qū)，不管應(yīng)力路徑穿過(guò)加載濕陷屈服線還是吸力增加屈服線，土體都會(huì)發(fā)生屈服。而該模型在p-q-s空間中可以用圖1表示，p-s空間中邊界線LC的表達(dá)式為：p0pc=p*0pcλ（0）-kλ（s）-k（1）圖1p-q-s空間內(nèi)的三維應(yīng)力屈服面

其中：p*0、p0為飽和、非飽和土的先期固結(jié)壓力，pc為參考應(yīng)力，與飽和狀態(tài)下臨界狀態(tài)線斜率相同。在修正劍橋模型基礎(chǔ)上，BBM模型采用的屈服函數(shù)仍為橢圓屈服面，該屈服面方程為：f=q2-M2（p+ps）（p0-p）（2）式中：M為非飽和土體的臨界狀態(tài)線的斜率，ps為屈服面與p軸的交點(diǎn)或截距為：ps=ηs（3）式中：s為基質(zhì)吸力，η為常數(shù)。

體積變化性質(zhì)是土的一種最根本特征。飽和土只需要考慮應(yīng)力對(duì)體變的影響，并假定飽和土各向等壓固結(jié)中孔隙比或比體積沿正常固結(jié)線（NCL， Normal Consolidation Line）變化，與有效應(yīng)力的自然對(duì)數(shù)之間近似滿足線性關(guān)系，即：v=N-λlnp′=N-λln（p-uw）（4）式中：p為平均應(yīng)力，v和p′分別表示飽和土的比體積和平均有效應(yīng)力；N是當(dāng)p′=1 kPa時(shí)對(duì)應(yīng)的孔隙比；λ為飽和正常固結(jié)線e-lnp′的斜率。

式（4）寫成增量形式為：dv=-λdpp-uw-λd（-uw）p-uw（5）從式（5）中可以看出體積變化是由平均應(yīng)力與孔隙水壓兩部分引起的，并且當(dāng)平均應(yīng)力和孔隙水壓絕對(duì)值的增量大小相等時(shí)對(duì)土體會(huì)產(chǎn)生同樣的變形，而非飽和土由于增加了吸力對(duì)土體體變也會(huì)有很大的影響，BBM及早期提出的一些非飽和土本構(gòu)模型，雖然考慮了除含水率或吸力之外的其他因素，比如土體所處的干濕狀態(tài)，初始施加的應(yīng)力以及應(yīng)力路徑等對(duì)土體變形的影響，以及吸力或者含水率對(duì)強(qiáng)度、剛度和先期固結(jié)應(yīng)力的影響。但都不能描述由于應(yīng)力或吸力變化引起的飽和度變化，也不能用于模擬非飽和土吸力循環(huán)下的水力滯后特性。

23種本構(gòu)關(guān)系

現(xiàn)有非飽和土本構(gòu)模型的研究中，主要從式（4）飽和土體變方程中擴(kuò)展到非飽和土，主要考慮應(yīng)力和吸力相互獨(dú)立、應(yīng)力和吸力相結(jié)合和介于這兩者之間3個(gè)方面建立本構(gòu)關(guān)系。

2.1應(yīng)力和吸力相互獨(dú)立的方法

該方法是將應(yīng)力變化與吸力變化導(dǎo)致的土體體積變化分開考慮，孔隙比（e）或比體積（v=1+e）與凈應(yīng)力和吸力之間的關(guān)系如下：v=N-λvplnp--λvslns+uatuat（6）式中：p-=p-uw為凈平均應(yīng)力；N為當(dāng)p-=1 kPa和s=0 kPa時(shí)的比體積；λvp為v-lnp-的斜率，稱為應(yīng)力作用下的壓縮系數(shù)；λvs為v-lns的斜率，稱為吸力作用下的收縮系數(shù)；僅考慮超過(guò)屈服吸力塑性變形范圍的數(shù)值，uat用于消除s=0時(shí)方程的奇異性。

2.2應(yīng)力與吸力相結(jié)合的方法

該方法通常將兩個(gè)變量?jī)魬?yīng)力p-=p-uw和基質(zhì)吸力s=ua-uw用一個(gè)表達(dá)式表示出來(lái)，其有效應(yīng)力形式為：p′=p-+f（s）（7）式中：f（s）為基質(zhì)吸力的函數(shù)，根據(jù)式（7）可將式（4）擴(kuò)展到非飽和狀態(tài)，即：v=N-λlnp′=N-λln［p-+f（s）］（8）式中：N為當(dāng)p′=1 kPa時(shí)的比體積。通常假定N為常數(shù)，不受吸力大小的影響。

2.3介于應(yīng)力和吸力之間的方法

Sheng等采用雙應(yīng)力變量將式（5）擴(kuò)展到非飽和土，提出了著名的SFG模型，就是介于應(yīng)力和吸力之間的方法模型，其增量形式可表述如下：dv=-λvpdp-p-+f（s）-λvs（s）dsp-+f（s）（9）式中：λvp是一個(gè)材料常數(shù)，與吸力無(wú)關(guān)，λvs則是一個(gè)隨著吸力變化的參數(shù)，飽和時(shí)λvp=λvs。

3應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

對(duì)黃土而言其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線描述了土體受力時(shí)的不同狀態(tài)，根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線不同建立不同的本構(gòu)模型，從而更全面地對(duì)土體的力學(xué)特性做進(jìn)一步的闡述。并根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的不同主要分為軟化型和硬化型本構(gòu)關(guān)系，軟化型又分為弱軟化型和強(qiáng)軟化型，硬化型又分為弱硬化型和強(qiáng)硬化型。

3.1強(qiáng)軟化型黃土試樣的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ1-σ3=Etε1（10）

Et=（σ1-σ3）iεi（11）

q=σ1-σ3=ε1（a+cε1）（a+bε1）2（12）式中：a、b和c均為試驗(yàn)參數(shù)。

3.2弱軟化型黃土試樣的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ1-σ3=λεM1eNε1（13）式中：λ、M和N是關(guān)于σ1-σ3的函數(shù)，通過(guò)對(duì)式（13）求導(dǎo)，可得到黃土試樣的切線模量如下式：Et=d（σ1-σ3）dσ1=（σ1-σ3）（Mε1+N）（14）3.3強(qiáng)硬化型黃土試樣的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ1-σ3=β1εα11（15）式中：α1、β1為常數(shù)。

上式對(duì)ε1求導(dǎo)可得切線模量E1為：Et=d（σ1-σ3）dσ1=α1β1α11（σ1-σ3）1-1α1（16）3.4弱硬化型黃土試樣的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σ1-σ3=ε1a+bε1（17）式中：a、b為試驗(yàn)參數(shù)，弱硬化型黃土試樣的切線模量E1為：Et=1-Rf（1-sinφ）（σ1-σ3）2ccosφ+2σ3sinφ2Kpaσ3pan（18）

式中：K、Rf、c、φ和n均為試驗(yàn)常數(shù)，Pa為大氣壓力。

4結(jié)論

基于對(duì)黃土本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式的總結(jié)，為更好地提出黃土本構(gòu)模型提供了便利。劉祖典等（1997）通過(guò)對(duì)不同類型的黃土的濕陷變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的研究，得出原狀黃土的應(yīng)力應(yīng)變曲線受圍壓和沉積時(shí)代影響，并且通過(guò)試驗(yàn)分析推導(dǎo)得出關(guān)于黃土彈塑本構(gòu)方程。沈珠江（1994）將損傷力學(xué)引入土力學(xué)，并提出用以描述黃土軟化現(xiàn)象的彈塑性損傷模型。夏旺民（2009）基于損傷力學(xué)和塑性力學(xué)理論建立了黃土的彈塑性損傷本構(gòu)模型。王麗琴等（2017）提出了一種新的非線性模型，該模型把黃土不同的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式歸一為一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，并且把應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的切線模量數(shù)學(xué)表達(dá)式也得到統(tǒng)一。李旭東等（2019）在側(cè)限條件下，通過(guò)在不同含水率和不同壓實(shí)度下做了大量試驗(yàn)，得出應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線，再利用自建GunaryEXT模型擬合這些曲線，并在此基礎(chǔ)上利用割線模量法建立壓實(shí)黃土的加載變形本構(gòu)模型。褚峰等（2019）將相應(yīng)的黃土結(jié)構(gòu)損傷比引入屈服函數(shù)中，在試驗(yàn)相關(guān)參量的基礎(chǔ)上與硬化參量之間的相關(guān)關(guān)系，推導(dǎo)出在壓剪條件下結(jié)構(gòu)性黃土損傷本構(gòu)模型。

參考文獻(xiàn)：

［1］劉祖典. 黃土力學(xué)與工程［M］. 西安： 陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1997：115127.

［2］沈珠江. 黃土的損傷力學(xué)模型探索［C］∥第七屆土力學(xué)及基礎(chǔ)工程學(xué)術(shù)會(huì)議論文集. 北京： 中國(guó)建筑工業(yè)出版社， 1994：145149.

［3］夏旺民， 郭新明， 郭增玉， 等. 黃土彈塑性損傷本構(gòu)模型［J］. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)， 2009，28（S1）： 3239.

［4］王麗琴， 鹿忠剛， 邵生俊. 黃土非線性應(yīng)力應(yīng)變新模型及對(duì)比研究［J］. 巖土工程學(xué)報(bào)， 2017（9）：3435.