交換環(huán)上的w-弱平坦模與w-弱內(nèi)射模

宋菲菲，喬 磊，夏偉恒

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066)

0 引言

本文恒設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，且所有模都是酉模.眾所周知，平坦模與FP-內(nèi)射模(也稱絕對純模)是模范疇理論和同調(diào)理論中重要的模類,對凝聚環(huán)的刻畫發(fā)揮了重要作用[1].2015年，Gao等[2]利用超有限表現(xiàn)模引入了弱平坦模和弱內(nèi)射模的概念，并把凝聚環(huán)上的一些結(jié)論推廣到了任意環(huán)上.需要指出的是,弱平坦模和弱內(nèi)射模的概念與Bravo等[3]引入的FP∞-內(nèi)射模(絕對clean模)和level模的概念是等價的.

1997年，Wang等[4]介紹了整環(huán)上相對于w-算子的平坦模，即w-平坦模，這里要求w-平坦模是無撓模.隨著Yin等[5]把整環(huán)上的w-模理論推廣到一般交換環(huán)上，w-平坦模的概念也被Kim等[6]推廣到了一般交換環(huán)上.此后，Wang等[7]利用w-平坦?？坍嬃薞N正則環(huán)，Wang等[8]引入了模的w-平坦維數(shù)和環(huán)的w-弱整體維數(shù).

2018年，Xing等[9]引入了絕對w-純模，并利用絕對w-純?？坍嬃薞N正則環(huán).2021年，Wang等[10]引入w-FP-內(nèi)射模，并研究了模的w-FP-內(nèi)射維數(shù)與環(huán)的整體w-FP-內(nèi)射維數(shù).在凝聚環(huán)下，w-FP-內(nèi)射模與絕對w-純模是等價的.本文對經(jīng)典的弱平坦模和弱內(nèi)射模進行w-模化理論研究.首先引入w-弱平坦模和w-弱內(nèi)射模的概念，并討論它們的基本性質(zhì)；其次，研究模的w-弱平坦維數(shù)和w-弱內(nèi)射維數(shù)，給出它們的一些等價刻畫；最后，討論環(huán)的w-超有限表現(xiàn)維數(shù).

1 預(yù)備知識

設(shè)J是R的有限生成理想，若自然同態(tài)φ:R→J*=HomR(J,R)是同構(gòu)，則稱J為R的Glaz-Vasconcelos理想，簡稱GV理想(相關(guān)概念與記號參見文獻[5])，并記J∈GV(R).

設(shè)M為R-模，記torGV(M)={x∈M:存在J∈GV(R)使得Jx=0},則有torGV(M)是M的子模，稱torGV(M)為M的完全GV-撓子模.特別地，若torGV(M)=M，則稱M為GV-撓模.若torGV(M)=0，則稱M為GV-無撓模.

設(shè)M是GV-無撓模，令Mw={x∈E(M):存在J∈GV(R)使得Jx?M},則Mw稱為M的w-包絡(luò)，其中E(M)是M的內(nèi)射包.可以看到，GV-無撓模M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw=M.設(shè)f:M→N是R-模同態(tài).若對R的任何極大w-理想T，fT:MT→NT是RT上的單同態(tài)(滿同態(tài)或同構(gòu))，則f稱為w-單同態(tài)(w-滿同態(tài)或w-同構(gòu)).設(shè)A→B→C是與R-模同態(tài)的序列.若對R的任何極大w-理想T,AT→BT→CT是RT上的正合列，則稱A→B→C為w-正合列[13].

對w-正合列A→B→C→0及任何R-模M，若誘導(dǎo)序列0→M?RA→M?RB→M?RC→0仍是w-正合列，則稱序列0→A→B→C→0為w-純正合列.特別地，若A是R-模B的子模，且序列0→A→B→B/A→0是w-純正合列，則稱A為B的w-純子模[14].設(shè)A是R-模，如果A是每個R-模中的w-純子模，其中包含A作為子模，那么A稱為絕對w-純模[9].

設(shè)X是R上的未定元，令

Sw:={f∈R[X]：c(f)w=R},

其中c(f)表示多項式f的容度.Sw是R[X]中的乘法集，記R{X}=R[X]Sw，稱為R的w-Nagata環(huán).設(shè)M是R-模，定義M{X}=M[X]Sw=R{X}?RM[1].記M+為M的特征模，即M+=HomZ(M,Q/Z).

2 主要結(jié)論

顯然，弱平坦模、GV-撓模和w-平坦模都是w-弱平坦模.弱內(nèi)射模、絕對w-純模都是w-弱內(nèi)射模.若R是凝聚環(huán)，則超有限表現(xiàn)模與有限表現(xiàn)模是等價的，即w-弱內(nèi)射模與w-FP-內(nèi)射模(絕對w-純模)是等價的，且w-弱平坦模與w-平坦模是等價的.

引理1設(shè)T是R的極大w-理想,M是超有限表現(xiàn)R-模，N是R-模，則

證明考慮R-模正合列

0→A→F→M→0,

其中F為有限生成投射模.由M是超有限表現(xiàn)模及文獻[18]引理2.3可知，A是超有限表現(xiàn)模.對任何T∈w-Max(R)，考慮以下兩行為正合列

由文獻[1]定理2.6.16(1)可知θ1,θ2是同構(gòu).因此，θ是同構(gòu). 】

命題1GV-撓模是w-弱內(nèi)射模.

設(shè)A是環(huán)，E是A-模.在A×E中定義：

其中r1,r2∈A,x1,x2∈E，則A×E是環(huán)，稱為A通過模E的平凡擴張，記為A∝E[19].

下面例1說明w-弱平坦模(w-弱內(nèi)射模)不一定是w-平坦模(絕對w-純模).

例1設(shè)K是域且E是無限秩的K-向量空間，設(shè)R=K∝E是K關(guān)于E的平凡擴張.由文獻[19]定理3.4可知，每個超有限表現(xiàn)R-模是投射的，因此每個R-模是弱平坦(弱內(nèi)射)的，也是w-弱平坦(w-弱內(nèi)射)的.由于R不是VN正則環(huán)，所以存在一個R-模不是w-平坦模(絕對w-純模).

弱平坦模(弱內(nèi)射模)是w-弱平坦模(w-弱內(nèi)射模)，反之不一定成立.下面的例2和例3分別說明了這兩個事實.

例2設(shè)(R,T)是2維Noether正則局部環(huán)(一定是整環(huán))，則T是由長度為2的正則序列x,y生成，于是T=(x,y)是GV-理想.故M:=R/T是GV-撓模，從而是w-弱平坦模，但M不是弱平坦模，否則M是GV-無撓模，導(dǎo)致M=0矛盾.

例3設(shè)(R,T)是2維Noether正則局部環(huán)(一定是整環(huán))，則T是由長度為2的正則序列x,y生成，于是T=(x,y)是GV-理想.故M:=R/T是GV-撓模，從而是w-弱內(nèi)射模.注意到，R-模N是可除模當(dāng)且僅當(dāng)對R的任何非零因子s有N=sN.假設(shè)M:=R/T是可除模，取0≠a∈J(R)，則M=aM.但M是有限生成模，故由中山引理知M=R/T=0，即R=T.這與T是真理想矛盾，故M不是可除模，從而不是內(nèi)射模.由于在Noether環(huán)下內(nèi)射模與弱內(nèi)射模是等價的，因此M不是弱內(nèi)射模.

命題2(1)設(shè){Mi}i∈I是一簇R-模，則⊕Mi是w-弱平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-弱平坦模.

(2)設(shè){Ni}i∈I是一簇R-模，則⊕Ni是w-弱內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每個Ni是w-弱內(nèi)射模.

(2)類似于(1)的證明，由同構(gòu)關(guān)系

即得(參見文獻[1]定理3.9.2(1)). 】

弱平坦模關(guān)于直積是封閉的,但對于w-弱平坦模并不成立.文獻[20]例2.1說明在Noether環(huán)條件下，w-平坦模的直積并不總是w-平坦模,因此w-弱平坦模的直積并不總是w-弱平坦模.

命題3(1)設(shè)M是R{x}-模,若M作為R-模是w-弱平坦模，則M作為R-模是弱平坦的.

(2)設(shè)T∈w-Max(R)，M是RT-模.M作為R-模是w-弱平坦模，則M作為R-模是弱平坦模.

命題4(1)設(shè)N是R{x}-模.若N作為R-模是w-弱內(nèi)射模，則N作為R-模是弱內(nèi)射的.

(2)設(shè)T∈w-Max(R)，N是RT-模.若N作為R-模是w-弱內(nèi)射模，則N作為R-模是弱內(nèi)射模.

證明證明類似于命題3. 】

命題5(1)若對任何極大w-理想T，有MT是弱平坦RT-模，則M是w-弱平坦模.

(2)若對任何極大w-理想T，有NT是弱內(nèi)射RT-模，則N是w-弱內(nèi)射模.

證明(1)設(shè)F是超有限表現(xiàn)R-模,則FT是超有限表現(xiàn)RT-模.由文獻[1]定理3.4.12有

(2)設(shè)F是超有限表現(xiàn)R-模，則FT是超有限表現(xiàn)RT-模.由引理1有

引理2[21]設(shè)N是R-模.對于正整數(shù)n≥1，以下結(jié)論等價：

(1)N是n-表示的.

(2)對于正向指標(biāo)集J上的正向系(Mj)j∈J及每個i

是雙射.

命題6(1)w-弱平坦模類關(guān)于正向極限封閉.

(2)w-弱內(nèi)射模類關(guān)于正向極限封閉.

(2)設(shè){Ni}i∈I是w-弱內(nèi)射模的正向系統(tǒng).由引理2，對任何超有限表現(xiàn)模F，有

證明(1)M是w-弱平坦模，則對每個超有限表現(xiàn)模F，存在正合列

0→G→Fn-2→…→F0→F→0,

(2)與(1)的證明類似. 】

命題8(1)設(shè)0→A→B→C→0是R-模正合列，其中C是w-弱平坦模，則A是w-弱平坦模當(dāng)且僅當(dāng)B是w-弱平坦模.

(2)設(shè)0→A→B→C→0是R-模正合列，其中A是w-弱內(nèi)射模，則B是w-弱內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)C是w-弱內(nèi)射模.

推論1設(shè)M是GV-無撓R-模，則M是w-弱平坦模當(dāng)且僅當(dāng)Mw是w-弱平坦模.

證明由文獻[1]命題6.2.5(2)有Mw/M是GV-撓模，自然也是w-弱平坦模.由短正合列

0→M→Mw→Mw/M→0

及命題8(1)即可得證. 】

定理1設(shè)0→A→B→C→0是R-模w-正合列，其中B是w-弱平坦模.若0→A→B→C→0是w-純正合列，則C是w-弱平坦模.

弱平坦模的每個純子模是弱平坦模，弱內(nèi)射模的每個純子模是弱內(nèi)射模[2].w-弱平坦模與w-弱內(nèi)射模的w-純子模也有類似的結(jié)果.

命題9w-弱平坦模的每個w-純子模是w-弱平坦的.

證明設(shè)A是w-弱平坦模B的w-純子模，令C=B/A，則0→A→B→C→0是w-純正合列.由定理1有C是w-弱平坦模，由文獻[6]定理3.2有w-正合列

命題10w-弱內(nèi)射模的每個w-純子模是w-弱內(nèi)射的.

HomR(F,B)→HomR(F,C)→0

定義2設(shè)M是R-模，記M+=HomR(M,E0)，其中E0=∏{E(R/T):T∈w-Max(R)}是GV-無撓內(nèi)射模，稱之為M的廣義特征模.

引理3[23]設(shè)P是素理想，M是R-模，則MP=0當(dāng)且僅當(dāng)HomR(M,E(R/P))=0.

命題11(1)M是GV-撓模當(dāng)且僅當(dāng)M+=0.

(2)M是GV-無撓模當(dāng)且僅當(dāng)M可嵌入到E0的一些直積.

證明(1)若M+=0,則

即HomR(M,E(R/T))=0.于是對任意T∈w-Max(R),由引理3有MT=0，即M是GV-撓模.反之，由文獻[1]習(xí)題6.22可得.

則θ是一個單同態(tài),因此M可嵌入E0的一些直積. 】

由N，F(xiàn)0是超有限表現(xiàn)的及文獻[24]引理3.60可知θ1，θ2是同構(gòu)，因此θ是同構(gòu). 】

證明證明類似于引理4，需要用到相伴同構(gòu)定理. 】

命題12設(shè)M是R-模，則以下結(jié)論等價：

(1)M是w-弱平坦模.

(2)M+是弱內(nèi)射模.

(3)M+是w-弱內(nèi)射模.

(2)?(3).由弱內(nèi)射模是w-弱內(nèi)射?？傻?

命題13設(shè)M是R-模，則以下結(jié)論等價：

(1)M是w-弱內(nèi)射模.

(2)M+是弱平坦模.

(3)M+是w-弱平坦模.

(2)?(3).由弱平坦模是w-弱平坦射?？傻?

推論2在凝聚環(huán)R上，以下結(jié)論成立：

(1)M是w-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是FP-內(nèi)射模，當(dāng)且僅當(dāng)M+是w-FP-內(nèi)射模.

(2)M是絕對w-純模當(dāng)且僅當(dāng)M+是平坦模，當(dāng)且僅當(dāng)M+是w-平坦模.

命題14設(shè)M是R-模，則以下結(jié)論等價：

(1)w-wfdR(M)≤n.

(4)若序列0→Fn→Fn-1→…→F0→M→0是正合列，其中F0,F1,…,Fn-1是w-弱平坦模，則Fn也是w-弱平坦模.

(5)若序列0→Fn→Fn-1→…→F0→M→0是正合列，其中F0,F1,…,Fn-1是弱平坦模，則Fn也是w-弱平坦模.

證明(1)?(2).由定義3(i)可得.

(4)?(5).由弱平坦模是w-弱平坦?？傻?

命題15設(shè)R是環(huán)，N是R-模，則以下結(jié)論等價：

(1)w-widR(N)≤n.

(4)若序列0→N→E0→…→En-1→En→0是正合列，其中E0,E1,…,En-1是w-弱內(nèi)射模，則En也是w-弱內(nèi)射模.

(5)若序列0→N→E0→…→En-1→En→0是正合列，其中E0,E1,…,En-1是弱內(nèi)射模，則En也是w-弱內(nèi)射模.

證明與命題14的證明類似. 】

命題16設(shè)0→A→B→C→0是R-模正合列，若w-wfdR(B)

命題17設(shè)0→A→B→C→0是R-模正合列，若w-widR(B)

證明與命題16的證明類似. 】

引理6[17]設(shè)M是有限表現(xiàn)R-模，則以下結(jié)論等價：

(1)M是w-分裂模.

(2)M是w-投射模.

(3)M是w-平坦模.

(4)對于R的任何極大w-理想T，有MT是自由RT-模.

命題18對于任何n≥0，以下結(jié)論等價：

(1)對于所有超有限表現(xiàn)R-模F，有w-sdR(F)≤n.

(2)對于所有超有限表現(xiàn)R-模F，有w-fdR(F)≤n.

證明(1)?(2).由引理6及超有限表現(xiàn)模是有限表現(xiàn)模知，當(dāng)F是超有限表現(xiàn)模時，F(xiàn)是w-分裂模當(dāng)且僅當(dāng)F是w-平坦模.

(1)?(3).由文獻[17]命題3.3可得.

(2)?(4).由文獻[8]命題2.3可得. 】

設(shè)R是任何環(huán)，sp.gldim(R)=sup{pdRM:M是超有限表現(xiàn)R-模}稱為R的超有限表現(xiàn)維數(shù).

定義4設(shè)R是任何環(huán)，w-sp.gldim(R)=sup{w-sdR(M):M是超有限表現(xiàn)R-模}稱為R的w-超有限表現(xiàn)維數(shù).

引理7[17]設(shè)R是環(huán)，則以下結(jié)論等價：

(1)對任何R-模M，pdR(M)=w-sdR(M).

(2)對任何R-模M，fdR(M)=w-fdR(M).

(3)R是DW環(huán).

定理2若R是DW環(huán)，則

w-sp.gldim(R)=sp.gldim(R).

證明由引理7可證. 】

定理3設(shè)R是任何環(huán)，則

(1)w-sp.gldim(R)≤w-w.gl.dim(R);當(dāng)R是凝聚環(huán)時，w-sp.gldim(R)=w-w.gl.dim(R).

(2)w-sp.gldim(R)=sup{w-widR(M):M是R-模}=sup{w-wfdR(M):M是R-模}.

證明(1)假設(shè)w-w.gl.wid(R)=n<∞.設(shè)M是超有限表現(xiàn)模，則存在一個正合列

0→Pn→Pn-1→…→P0→M→0,

其中P0,P1,…,Pn-1是有限生成投射模，Pn是w-平坦模.由文獻[18]引理2.3知Pn是超有限表現(xiàn)模，自然是有限表現(xiàn)模.由引理6知Pn是w-分裂模，因此w-sdR(M)≤n,即w-sp.gldim(R)≤n.

由于R是凝聚環(huán)，所以超有限表現(xiàn)模與有限表現(xiàn)模是等價的.由引理7有w-分裂模與w-平坦模是等價的.此時，w-分裂維數(shù)與w-平坦維數(shù)也是等價的.結(jié)合文獻[8]命題3.3即可得證.

(2)由命題18可得. 】

推論3對任何R-模，以下結(jié)論等價：

(1)w-sp.gldim(R)=0.

(2)每個R-模是w-弱內(nèi)射模.

(3)每個R-模是w-弱平坦模.

(4)每個超有限表現(xiàn)模是w-分裂模.

推論3表明，如果R是凝聚環(huán)，則可以在w-sp.gldim(R)=0的條件下給出VN正則環(huán)的一個刻畫.